الأمثلة 5,6,7 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأعداد المركبة (تمارين)

المفاهيم الأساسية

المعاوقة الكلية: مجموع المعاوقات في أجزاء الدائرة الكهربائية (عدد مركب).

فرق الجهد: حاصل ضرب شدة التيار في المعاوقة، حسب الصيغة V = C \cdot I .

المستوى المركب: مستوى يشبه المستوى الحقيقي، حيث تمثل الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي.

خريطة المفاهيم

```markmap

الأعداد المركبة

ضرب الأعداد المركبة

تطبيق في الحياة: الدوائر الكهربائية ذات التيار المتناوب

#### الصيغة: V = C · I

##### حيث:

###### V: فرق الجهد

###### C: شدة التيار (عدد مركب)

###### I: المقاومة (عدد مركب)

##### خطوات الحل (مثال 6):

###### 1. الصيغة الرياضية

###### 2. طريقة التوزيع بالترتيب

###### 3. الضرب

###### 4. التعويض بـ i² = -1

###### 5. جمع الحدود المتشابهة

قسمة الأعداد المركبة

طريقة الحل:

#### 1. ضرب كل من البسط والمقام في مرافق المقام

#### 2. تبسيط الناتج باستخدام i² = -1

#### 3. كتابة الناتج على الصورة a + bi

إرشاد للدراسة:

#### يمكن حل بعض المسائل بضرب البسط والمقام في i- للاختصار

تمارين الصفحة 112

تبسيط الجذور التربيعية للأعداد السالبة

#### مثال: \sqrt{-81}

#### مثال: \sqrt{-32}

ضرب وقوى الوحدة التخيلية (i)

#### مثال: (4i)(-3i)

#### مثال: i^{40}

#### مثال: i^{63}

حل معادلات تربيعية

#### مثال: 4x^2 + 32 = 0

#### مثال: 2x^2 + 24 = 0

إيجاد قيم المتغيرات الحقيقية في معادلات مركبة

#### مثال: 3a + (4b + 2)i = 9 - 6i

#### مثال: 4b - 5 + (-a - 3)i = 7 - 8i

العمليات الأساسية على الأعداد المركبة

#### الجمع: (-1 + 5i) + (-2 - 3i)

#### الطرح: (7 + 4i) - (1 + 2i)

#### الضرب: (6 - 8i)(9 + 2i)

#### القسمة: \frac{3 - i}{4 + 2i}

تطبيق فيزيائي (كهرباء)

#### جمع شدتي تيار مركبتين لإيجاد الشدة الكلية

تمارين الصفحة 113

العمليات على الأعداد المركبة (تمارين 36-49)

#### الجمع والطرح

##### مثال: (-3+i)+(-4-i)

##### مثال: (11 - 8i) - (2 - 8i)

#### الضرب

##### مثال: (1+2i)(1-2i)

##### مثال: (3+5i)(5-3i)

##### مثال: (1 + i)(2 + 3i)(4 - 3i)

#### القسمة

##### مثال: \frac{2i}{1+i}

##### مثال: \frac{4 - i\sqrt{2}}{4 + i\sqrt{2}}

تطبيقات في الكهرباء

#### إيجاد المعاوقة الكلية (جمع)

##### مثال: (8 + 7i) + (4i - 13)

#### إيجاد فرق الجهد (ضرب)

##### مثال: V = (6 + 3i) \cdot (5 - i)

#### إيجاد شدة التيار (قسمة)

##### مثال: C = \frac{20 - 12i}{6 - 4i}

العمليات على كثيرات الحدود ذات معاملات مركبة

#### جمع كثيرات الحدود

##### مثال: [7 + (5 + 4i)x + ix^2] + [8i - (2 + 6i)x + 3x^2]

#### طرح كثيرات الحدود

##### مثال: [6 - (5 - 5i)x + (4i + 3)x^2] - [(2 + i)x^2 – ix + 5 + i]

التمثيل البياني في المستوى المركب (تمرين 55)

#### تمثيل العدد المركب كنقطة

#### إكمال متوازي الأضلاع لإيجاد مجموع عددين مركبين

```

نقاط مهمة

• الصفحة تحتوي على مجموعة تمارين متنوعة على العمليات الأساسية للأعداد المركبة (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة).
• هناك تركيز على تطبيق الأعداد المركبة في مسائل الكهرباء باستخدام الصيغة V = C \cdot I .
• تتضمن التمارين عمليات على كثيرات حدود ذات معاملات مركبة (الجمع والطرح).
• يوجد تمرين (55) يربط بين الجمع التحليلي والتمثيل البياني للأعداد المركبة في المستوى المركب باستخدام متوازي الأضلاع.

الأمثلة 5,6,7

أوجد ناتج كل مما يأتي:

(-3+i)+(-4-i)

(11 - 8i) - (2 - 8i)

(1+2i)(1-2i)

(3+5i)(5-3i)

(4-i)(6-6i)

\frac{2i}{1+i}

\frac{5}{2+4i}

\frac{5+i}{3i}

(4 - 6i) + (4 + 6i)

(8 - 5i) - (7 + i)

(-6 - i)(3 - 3i)

(1 + i)(2 + 3i)(4 - 3i)

\frac{4 - i\sqrt{2}}{4 + i\sqrt{2}}

\frac{2 - i\sqrt{3}}{2 + i\sqrt{3}}

كهرباء: تبلغ المعاوقة في أحد أجزاء دائرة كهربائية 8 + 7i أوم، وفي الجزء الآخر منها 4i - 13 أوم. اجمع هذين العددين المركبين لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة الكهربائية.

كهرباء: استعمل الصيغة V = C . I، حيث V فرق الجهد، و C شدة التيار، و I المعاوقة في حل السؤالين 52 , 51 :

إذا كانت شدة التيار في دائرة كهربائية 6 + 3i أمبير ، والمعاوقة i - 5 أوم ، فكم يكون فرق الجهد ؟

إذا كان فرق الجهد في دائرة كهربائية 12i - 20 فولت ، والمعاوقة 4i - 6 أوم ، فكم تكون شدة التيار ؟

أوجد ناتج جمع 7 + (5 + 4i)x + ix2 إلى 8i - (2 + 6i)x + 3x2 .

بسط العبارة: [6 - (5 - 5i)x + (4i + 3)x2] - [(2 + i)x2 – ix + 5 + i] .

الكهرباء هي عدد من التأثيرات الفيزيائية تشمل مجموعة متنوعة من الظواهر الناتجة عن وجود شحنة كهربائية وتدفقها. وتضم هذه الظواهر البرق والكهرباء الساكنة، والمجال والحث الكهرومغناطيسيين.

تمثيلات متعددة ستكتشف في هذه المسألة جمع الأعداد المركبة في المستوى المركب. فالمستوى المركب يشبه إلى حد بعيد المستوى الحقيقي، وفيه تكون الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي. a) بيانيا : مثل العدد 4 + 3 بيانيا في المستوى المركب، وذلك برسم قطعة مستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة (34) ، وسم تلك النقطة A. b) بيانيا : مثل العدد 5 - 2i - بيانيا في المستوى المركب وذلك برسم قطعة مستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة (5-2)، وسمها B. c) بيانيا : إذا كانت النقطتان A.B ونقطة الأصل ثلاثة رؤوس لمتوازي أضلاع فأكمل رسمه بإضافة النقطة الرابعة C . d) تحليليا : ما العدد المركب الذي تمثله النقطة C ؟ وما العلاقة بين النقاط A,B,C؟

وزارة التعليم My of Education الدرس 13- الأعداد المركبة 2011347

--- SECTION: الأمثلة 5,6,7 --- الأمثلة 5,6,7 أوجد ناتج كل مما يأتي: --- SECTION: 36 --- (-3+i)+(-4-i) --- SECTION: 37 --- (11 - 8i) - (2 - 8i) --- SECTION: 38 --- (1+2i)(1-2i) --- SECTION: 39 --- (3+5i)(5-3i) --- SECTION: 40 --- (4-i)(6-6i) --- SECTION: 41 --- \frac{2i}{1+i} --- SECTION: 42 --- \frac{5}{2+4i} --- SECTION: 43 --- \frac{5+i}{3i} --- SECTION: 44 --- (4 - 6i) + (4 + 6i) --- SECTION: 45 --- (8 - 5i) - (7 + i) --- SECTION: 46 --- (-6 - i)(3 - 3i) --- SECTION: 47 --- (1 + i)(2 + 3i)(4 - 3i) --- SECTION: 48 --- \frac{4 - i\sqrt{2}}{4 + i\sqrt{2}} --- SECTION: 49 --- \frac{2 - i\sqrt{3}}{2 + i\sqrt{3}} --- SECTION: 50 --- كهرباء: تبلغ المعاوقة في أحد أجزاء دائرة كهربائية 8 + 7i أوم، وفي الجزء الآخر منها 4i - 13 أوم. اجمع هذين العددين المركبين لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة الكهربائية. كهرباء: استعمل الصيغة V = C . I، حيث V فرق الجهد، و C شدة التيار، و I المعاوقة في حل السؤالين 52 , 51 : --- SECTION: 51 --- إذا كانت شدة التيار في دائرة كهربائية 6 + 3i أمبير ، والمعاوقة i - 5 أوم ، فكم يكون فرق الجهد ؟ --- SECTION: 52 --- إذا كان فرق الجهد في دائرة كهربائية 12i - 20 فولت ، والمعاوقة 4i - 6 أوم ، فكم تكون شدة التيار ؟ --- SECTION: 53 --- أوجد ناتج جمع 7 + (5 + 4i)x + ix2 إلى 8i - (2 + 6i)x + 3x2 . --- SECTION: 54 --- بسط العبارة: [6 - (5 - 5i)x + (4i + 3)x2] - [(2 + i)x2 – ix + 5 + i] . --- SECTION: الربط مع الحياة --- الكهرباء هي عدد من التأثيرات الفيزيائية تشمل مجموعة متنوعة من الظواهر الناتجة عن وجود شحنة كهربائية وتدفقها. وتضم هذه الظواهر البرق والكهرباء الساكنة، والمجال والحث الكهرومغناطيسيين. --- SECTION: 55 --- تمثيلات متعددة ستكتشف في هذه المسألة جمع الأعداد المركبة في المستوى المركب. فالمستوى المركب يشبه إلى حد بعيد المستوى الحقيقي، وفيه تكون الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي. a) بيانيا : مثل العدد 4 + 3 بيانيا في المستوى المركب، وذلك برسم قطعة مستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة (34) ، وسم تلك النقطة A. b) بيانيا : مثل العدد 5 - 2i - بيانيا في المستوى المركب وذلك برسم قطعة مستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة (5-2)، وسمها B. c) بيانيا : إذا كانت النقطتان A.B ونقطة الأصل ثلاثة رؤوس لمتوازي أضلاع فأكمل رسمه بإضافة النقطة الرابعة C . d) تحليليا : ما العدد المركب الذي تمثله النقطة C ؟ وما العلاقة بين النقاط A,B,C؟ a. مثل العدد 4 + 3 بيانيا في المستوى المركب، وذلك برسم قطعة مستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة (34) ، وسم تلك النقطة A. b. مثل العدد 5 - 2i - بيانيا في المستوى المركب وذلك برسم قطعة مستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة (5-2)، وسمها B. c. إذا كانت النقطتان A.B ونقطة الأصل ثلاثة رؤوس لمتوازي أضلاع فأكمل رسمه بإضافة النقطة الرابعة C . d. ما العدد المركب الذي تمثله النقطة C ؟ وما العلاقة بين النقاط A,B,C؟ وزارة التعليم My of Education الدرس 13- الأعداد المركبة 2011347