القانون العام والمميز - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: القانون العام والمميز

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 القانون العام والمميز

المفاهيم الأساسية

القانون العام (Quadratic Formula): صيغة لحل أي معادلة تربيعية، مشتقة من إكمال المربع للمعادلة العامة.

المميز (Discriminant): الجزء تحت الجذر في القانون العام (b² - 4ac)، ويحدد عدد ونوع جذور المعادلة.

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

الهدف من الدرس

حل معادلات تربيعية صعبة

#### مثال: h = -4.9t² + 117t + 42 = 0

القانون العام

اشتقاق القانون من الصورة القياسية

#### 1. ax² + bx + c = 0

#### 2. اقسم على a: x² + (b/a)x + c/a = 0

#### 3. اطرح c/a: x² + (b/a)x = -c/a

#### 4. أكمل المربع: x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

#### 5. حلل الطرف الأيسر: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

#### 6. خاصية الجذر: x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

#### 7. اطرح b/2a: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الصيغة النهائية

#### x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

مثال توضيحي

حل: 2x² + 8x + 1 = 0

#### 1. اقسم على 2: x² + 4x + 1/2 = 0

#### 2. اطرح 1/2: x² + 4x = -1/2

#### 3. أكمل المربع: x² + 4x + (2)² = -1/2 + (2)²

#### 4. حلل وبسط: (x + 2)² = 7/2

#### 5. خاصية الجذر: x + 2 = ±√(7/2)

#### 6. الحل: x = -2 \pm \sqrt{\frac{7}{2}}

#### 7. الصيغة المبسطة: x = \frac{-4 \pm \sqrt{14}}{2}

المميز

تعريف: b^2 - 4ac

دوره: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية

```

نقاط مهمة

  • القانون العام هو أداة شاملة لحل أي معادلة تربيعية، خاصة الصعبة التي لا يمكن حلها بالتحليل.
  • اشتقاق القانون يعتمد على مهارة سابقة هي إكمال المربع.
  • المميز هو المقدار الموجود تحت الجذر في القانون العام، وسيتم شرح كيفية استخدامه لمعرفة عدد الجذور فيما بعد (وفقاً للإشارة في قسم "والآن").

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

القانون العام والمميز

نوع: محتوى تعليمي

القانون العام والمميز

نوع: NON_EDUCATIONAL

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

The Quadratic Formula and the Discriminant

نوع: محتوى تعليمي

The Quadratic Formula and the Discriminant

لماذا ؟

نوع: محتوى تعليمي

لماذا ؟ أطلق سهم نحو هدف على الأرض، ويمكن التعبير عن ارتفاعه عن الأرض بالدالة التربيعية: h = -4.9t² + 117t + 42 حيث h ارتفاع السهم بعد t ثانية من إطلاقه، وللتنبؤ بالزمن اللازم لوصول السهم إلى الهدف، نحل المعادلة: -4.9t² + 117t + 42 = 0 ومن الصعب حل هذه المعادلة باستعمال التحليل إلى العوامل، أو التمثيل البياني، أو إكمال المربع.

فيما سبق :

نوع: محتوى تعليمي

فيما سبق : درست حل معادلات تربيعية بإكمال المربع. ( مهارة سابقة)

والآن :

نوع: محتوى تعليمي

والآن : أحل معادلات تربيعية باستعمال القانون العام. أستعمل المميز لأحدد عدد جذور معادلة تربيعية وأنواعها.

المفردات

نوع: محتوى تعليمي

المفردات القانون العام Quadratic Formula المميز discriminant

القانون العام

نوع: محتوى تعليمي

القانون العام: تمكنت سابقاً من حل بعض المعادلات التربيعية بالتمثيل البياني، أو بالتحليل إلى العوامل، أو باستعمال خاصية الجذر التربيعي، أو بإكمال المربع، أو باستعمال القانون العام؛ وهو قانون يمكن استعماله لحل أية معادلة تربيعية، ويمكن اشتقاق هذا القانون من خلال حل معادلة تربيعية على الصورة القياسية.

الحالة العامة

نوع: محتوى تعليمي

الحالة العامة ax² + bx + c = 0

نوع: محتوى تعليمي

معادلة تربيعية على الصورة القياسية

نوع: محتوى تعليمي

x² + b/a x + c/a = 0

نوع: محتوى تعليمي

اقسم كلا الطرفين على a

نوع: محتوى تعليمي

x² + b/a x = -c/a

نوع: محتوى تعليمي

اطرح c/a من كلا الطرفين

نوع: محتوى تعليمي

x² + b/a x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

نوع: محتوى تعليمي

أكمل المربع

نوع: محتوى تعليمي

(x + b/2a)² = -c/a + b²/4a²

نوع: محتوى تعليمي

حلل الطرف الأيسر

نوع: محتوى تعليمي

(x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

نوع: محتوى تعليمي

بسط الطرف الأيمن

نوع: محتوى تعليمي

x + b/2a = ± √(b² - 4ac) / 2a

نوع: محتوى تعليمي

خاصية الجذر التربيعي

نوع: محتوى تعليمي

x = -b/2a ± √(b² - 4ac) / 2a

نوع: محتوى تعليمي

اطرح b/2a من كلا الطرفين

نوع: محتوى تعليمي

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

نوع: محتوى تعليمي

بسط

نوع: محتوى تعليمي

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

نوع: محتوى تعليمي

تعرف المعادلة: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a بالقانون العام لحل المعادلات التربيعية.

مثال

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2x²+8x+1=0

نوع: محتوى تعليمي

معادلة تربيعية على الصورة القياسية

نوع: محتوى تعليمي

x² + 4x + 1/2 = 0

نوع: محتوى تعليمي

اقسم كلا الطرفين على a

نوع: محتوى تعليمي

x² + 4x = -1/2

نوع: محتوى تعليمي

اطرح و من كلا الطرفين

نوع: محتوى تعليمي

x²+4x+(4/2)²=-1/2+(4/2)²

نوع: محتوى تعليمي

أكمل المربع

نوع: محتوى تعليمي

(x+2)²=-1/2+(4/2)²

نوع: محتوى تعليمي

حلل الطرف الأيسر

نوع: محتوى تعليمي

(x + 2)² = 7/2

نوع: محتوى تعليمي

بسط الطرف الأيمن

نوع: محتوى تعليمي

x+2= ± √(7/2)

نوع: محتوى تعليمي

خاصية الجذر التربيعي

نوع: محتوى تعليمي

x= -2± √(7/2)

نوع: محتوى تعليمي

اطرح b/2a من كلا الطرفين

نوع: محتوى تعليمي

x= (-4 ± √14) / 2

نوع: محتوى تعليمي

بسط

نوع: METADATA

115

نوع: محتوى تعليمي

الدرس 2-3 القانون العام والمميز

📄 النص الكامل للصفحة

القانون العام والمميز رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa The Quadratic Formula and the Discriminant --- SECTION: لماذا ؟ --- لماذا ؟ أطلق سهم نحو هدف على الأرض، ويمكن التعبير عن ارتفاعه عن الأرض بالدالة التربيعية: h = -4.9t² + 117t + 42 حيث h ارتفاع السهم بعد t ثانية من إطلاقه، وللتنبؤ بالزمن اللازم لوصول السهم إلى الهدف، نحل المعادلة: -4.9t² + 117t + 42 = 0 ومن الصعب حل هذه المعادلة باستعمال التحليل إلى العوامل، أو التمثيل البياني، أو إكمال المربع. --- SECTION: فيما سبق : --- فيما سبق : درست حل معادلات تربيعية بإكمال المربع. ( مهارة سابقة) --- SECTION: والآن : --- والآن : أحل معادلات تربيعية باستعمال القانون العام. أستعمل المميز لأحدد عدد جذور معادلة تربيعية وأنواعها. --- SECTION: المفردات --- المفردات القانون العام Quadratic Formula المميز discriminant --- SECTION: القانون العام --- القانون العام: تمكنت سابقاً من حل بعض المعادلات التربيعية بالتمثيل البياني، أو بالتحليل إلى العوامل، أو باستعمال خاصية الجذر التربيعي، أو بإكمال المربع، أو باستعمال القانون العام؛ وهو قانون يمكن استعماله لحل أية معادلة تربيعية، ويمكن اشتقاق هذا القانون من خلال حل معادلة تربيعية على الصورة القياسية. --- SECTION: الحالة العامة --- الحالة العامة ax² + bx + c = 0 معادلة تربيعية على الصورة القياسية x² + b/a x + c/a = 0 اقسم كلا الطرفين على a x² + b/a x = -c/a اطرح c/a من كلا الطرفين x² + b/a x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² أكمل المربع (x + b/2a)² = -c/a + b²/4a² حلل الطرف الأيسر (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a² بسط الطرف الأيمن x + b/2a = ± √(b² - 4ac) / 2a خاصية الجذر التربيعي x = -b/2a ± √(b² - 4ac) / 2a اطرح b/2a من كلا الطرفين x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a بسط x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a تعرف المعادلة: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a بالقانون العام لحل المعادلات التربيعية. --- SECTION: مثال --- مثال 2x²+8x+1=0 معادلة تربيعية على الصورة القياسية x² + 4x + 1/2 = 0 اقسم كلا الطرفين على a x² + 4x = -1/2 اطرح و من كلا الطرفين x²+4x+(4/2)²=-1/2+(4/2)² أكمل المربع (x+2)²=-1/2+(4/2)² حلل الطرف الأيسر (x + 2)² = 7/2 بسط الطرف الأيمن x+2= ± √(7/2) خاصية الجذر التربيعي x= -2± √(7/2) اطرح b/2a من كلا الطرفين x= (-4 ± √14) / 2 بسط 115 الدرس 2-3 القانون العام والمميز

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: 2) هواتف: يرغب مصطفى في شراء هاتف نقال، ويمكنه أن يختاره بلون فضي (S) أو أسود (B) أو أحمر (R)، وأن يكون بكاميرا (C) أو بدونها (NC). ويمكنه أن يحصل على سماعات (H) و/ أو غطاء للجهاز (W). مثل فضاء العينة لهذا الموقف بالرسم الشجري.

الإجابة: س2: الخيارات: اللون {S, B, R}، الكاميرا {C, NC}، الملحقات {Ø, H, W, HW} عدد النواتج: 3 × 2 × 4 = 24 فضاء العينة: {(S, C, Ø), ..., (R, NC, HW)}

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من خيارات في السؤال: - **اللون:** هناك 3 خيارات: فضي (S)، أسود (B)، أحمر (R). - **الكاميرا:** هناك خياران: مع كاميرا (C)، أو بدون كاميرا (NC). - **الملحقات:** هناك 4 خيارات: لا شيء (Ø)، سماعات فقط (H)، غطاء فقط (W)، أو كليهما معاً (HW).
  2. **الخطوة 2 (فهم المطلوب):** المطلوب هو تمثيل فضاء العينة لهذا الموقف باستخدام الرسم الشجري. فضاء العينة هو مجموعة جميع النواتج (الاحتمالات) الممكنة عند اختيار مصطفى لهاتفه. نبدأ الرسم الشجري من جذر (البداية)، ثم نرسم فروعاً تمثل كل خيار متاح في كل مرحلة.
  3. **الخطوة 3 (بناء الرسم الشجري - المرحلة الأولى: اللون):** من نقطة البداية، نرسم 3 فروع تمثل خيارات اللون: فرع للفضي (S)، فرع للأسود (B)، وفرع للأحمر (R).
  4. **الخطوة 4 (المرحلة الثانية: الكاميرا):** في نهاية كل فرع من فروع الألوان الثلاثة، نرسم فرعين جديدين يمثلان خيار الكاميرا: فرع لـ (C) وفرع لـ (NC). حتى الآن، لدينا 3 × 2 = 6 مسارات محتملة (مثل: S→C, S→NC, B→C, ...).
  5. **الخطوة 5 (المرحلة الثالثة والأخيرة: الملحقات):** في نهاية كل فرع من فروع الكاميرا الستة، نرسم 4 فروع تمثل خيارات الملحقات الأربعة: (Ø)، (H)، (W)، (HW). هذا يعني أن كل مسار من المسارات الستة السابقة سيتفرع إلى 4 مسارات جديدة.
  6. **الخطوة 6 (حساب عدد النواتج وفهم فضاء العينة):** لحساب إجمالي عدد النواتج (عدد نهايات الرسم الشجري)، نضرب عدد الخيارات في كل مرحلة: عدد النواتج = (3 خيارات لون) × (2 خيار للكاميرا) × (4 خيارات للملحقات) = 3 × 2 × 4 = **24** ناتجاً محتملاً. فضاء العينة هو مجموعة كل هذه النواتج الـ 24. يمكن كتابتها كمجموعة من الثلاثيات المرتبة (اللون، الكاميرا، الملحقات). مثال على النواتج: - (S, C, Ø) يعني: هاتف فضي، مع كاميرا، بدون ملحقات. - (B, NC, H) يعني: هاتف أسود، بدون كاميرا، مع سماعات فقط. - (R, NC, HW) يعني: هاتف أحمر، بدون كاميرا، مع سماعات وغطاء. إذن، الإجابة هي رسم شجرة تبدأ بثلاثة فروع (للألوان)، يتفرع كل منها إلى فرعين (للكاميرا)، ويتفرع كل من تلك الفروع إلى أربعة فروع (للملحقات)، ليصبح العدد الكلي للنواتج **24** ناتجاً.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

إذا كانت قيمة المميز في معادلة تربيعية تساوي صفراً، فماذا يعني ذلك بالنسبة لجذورها؟

  • أ) أن للمعادلة جذرين حقيقيين مختلفين.
  • ب) أن للمعادلة جذرين مركبين.
  • ج) أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
  • د) أن للمعادلة جذراً حقيقياً واحداً مكرراً (أو جذرين متساويين).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أن للمعادلة جذراً حقيقياً واحداً مكرراً (أو جذرين متساويين).

الشرح: 1. القانون العام: x = (-b ± √(المميز)) / 2a. 2. إذا كان المميز = 0، فإن √(المميز) = 0. 3. تصبح الصيغة: x = (-b ± 0) / 2a = -b/2a. 4. إذن، هناك قيمة واحدة فقط لـ x، تسمى جذراً مكرراً.

تلميح: عندما يكون المميز صفراً، يختفي جزء ± في القانون العام.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هو القانون العام لحل المعادلات التربيعية على الصورة القياسية ax² + bx + c = 0؟

  • أ) x = (-b ± √(b² + 4ac)) / 2a
  • ب) x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a
  • ج) x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
  • د) x = (-b ± √(4ac - b²)) / 2a

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الشرح: 1. القانون العام مشتق من حل المعادلة التربيعية القياسية بإكمال المربع. 2. يعطي حلول المعادلة (جذورها) مباشرة بمجرد التعويض بقيم a و b و c. 3. الصيغة النهائية هي: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

تلميح: يحتوي القانون على جذر تربيعي وإشارة ±.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما اسم المقدار الموجود تحت الجذر التربيعي في القانون العام (b² - 4ac)؟ وما أهميته؟

  • أ) يسمى المعامل الرئيسي، ويحدد انفتاح القطع المكافئ.
  • ب) يسمى المميز (discriminant)، ويحدد عدد جذور المعادلة التربيعية وأنواعها.
  • ج) يسمى الحد الثابت، ويحدد تقاطع المنحنى مع محور الصادات.
  • د) يسمى الجذر التربيعي، ويحدد قيمة أحد حلول المعادلة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يسمى المميز (discriminant)، ويحدد عدد جذور المعادلة التربيعية وأنواعها.

الشرح: 1. المميز هو المقدار b² - 4ac داخل الجذر في القانون العام. 2. إذا كان المميز > 0، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين مختلفين. 3. إذا كان = 0، فإن لها جذراً حقيقياً مكرراً. 4. إذا كان < 0، فإن لها جذرين مركبين.

تلميح: يبدأ اسمه بحرف 'م' ويرتبط بتمييز نوع الحلول.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوة الأولى في اشتقاق القانون العام من المعادلة القياسية ax² + bx + c = 0؟

  • أ) إضافة (b/2a)² إلى طرفي المعادلة.
  • ب) نقل الحد الثابت (c) إلى الطرف الآخر.
  • ج) أخذ الجذر التربيعي للطرفين.
  • د) قسمة جميع الحدود على معامل x² (a).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: قسمة جميع الحدود على معامل x² (a).

الشرح: 1. ابدأ بالصورة القياسية: ax² + bx + c = 0. 2. الخطوة الأولى هي قسمة جميع الحدود على a (بفرض a ≠ 0). 3. النتيجة: x² + (b/a)x + (c/a) = 0. هذه الخطوة أساسية للاستمرار في عملية إكمال المربع.

تلميح: تهدف هذه الخطوة لجعل معامل x² مساوياً لـ 1 لتسهيل إكمال المربع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب