صفحة 116 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 القانون العام لحل المعادلات التربيعية

المفاهيم الأساسية

القانون العام: صيغة رياضية لحل أي معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة القياسية ax^2 + bx + c = 0، حيث a \neq 0.

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

الهدف من الدرس

حل معادلات تربيعية صعبة

#### مثال: h = -4.9t² + 117t + 42 = 0

القانون العام

اشتقاق القانون من الصورة القياسية

#### 1. ax² + bx + c = 0

#### 2. اقسم على a: x² + (b/a)x + c/a = 0

#### 3. اطرح c/a: x² + (b/a)x = -c/a

#### 4. أكمل المربع: x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

#### 5. حلل الطرف الأيسر: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

#### 6. خاصية الجذر: x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

#### 7. اطرح b/2a: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الصيغة النهائية

#### x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

خطوات التطبيق

#### 1. كتابة المعادلة على الصورة: ax^2 + bx + c = 0

#### 2. تحديد قيم a و b و c

#### 3. التعويض في القانون العام

#### 4. تبسيط المقدار تحت الجذر (المميز)

#### 5. إيجاد قيم x

مثال توضيحي (من الصفحة)

#### حل: x^2 - 10x - 11 = 0

##### 1. a=1, b=-10, c=-11

##### 2. x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}

##### 3. x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2}

##### 4. x = \frac{10 \pm 12}{2}

##### 5. الحلان: x = 11 أو x = -1

المميز

تعريف: b^2 - 4ac

دوره: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية

حالة خاصة

#### إذا كان المميز = 0

##### نحصل على جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

```

نقاط مهمة

• القانون العام يحل أي معادلة تربيعية، حتى لو لم تكن قابلة للتحليل.
• الخطوة الأولى والأساسية هي كتابة المعادلة على الصورة القياسية: ax^2 + bx + c = 0.
• المميز هو المقدار تحت الجذر في القانون العام: b^2 - 4ac.
• إذا كان المميز يساوي صفراً، فإن للمعادلة حلاً واحداً مكرراً (جذر نسبي مزدوج).

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- القانون العام على الرغم من أن طريقة التحليل إلى العوامل قد تكون الأسهل لحل بعض المعادلات التربيعية، إلا أن القانون العام يحل أي معادلة تربيعية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- القانون العام لحل المعادلة التربيعية التعبير اللفظي: يمكن حل المعادلة التربيعية المكتوبة على الصورة : ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 باستعمال القانون: x= -b±√b2-4ac 2a مثال : x²+5x+6=0→x= -5±√52-4(1)(6) 2(1) --- SECTION: مثال 1 --- معادلة لها جذران نسبيان حل المعادلة: 11 = x2 - 10x باستعمال القانون العام. أولا اكتب المعادلة على الصورة 0 = ax 2 + bx + c ، وحدد قيم كل من a b c . ax² + bx + c = 0 ↓ ↓ ↓ x² - 10x = 11 ← 1x² - 10x - 11 = 0 ثم عوض بعد ذلك بتلك القيم في القانون العام. x = -b±√b2-4ac 2a القانون العام عوض عن a بالعدد 1 ، بالعدد 10 - ، C بالعدد 11 = -(-10) ± √(-10)2-4(1)(-11) 2(1) 10 ± √100 + 44 اضرب = 2 10 ± √144 بسط = 2 √144 = 12 x = 10 ± 12 2 اكتب X على صورة معادلتين = 10-12 2 أو x = 10 + 12 2 بسط = -1 = 11 وعليه يكون الحلان هما: 11، 1-. تحقق عوض كلتا القيمتين في المعادلة الأصلية. x² - 10x = 11 x²- 10x = 11 (11)²- 10(11) ≟ 11 (-1)²- 10(-1) ≟ 11 121- 110 ≟ 11 1+10 ≟ 11 ✓ 11 = 11 ✓ 11 = 11 --- SECTION: تحقق من فهمك --- x² + 6x = 16 (1A 2x² + 25x + 33 = 0 (1B عندما يكون ما تحت الجذر في القانون العام صفرًا، فإننا نحصل على جذر نسبي واحد، ويكون حل المعادلة في هذه الحالة هو هذا الجذر النسبي، ولكنه مكرر مرتين . 116 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447