صفحة 118 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الجذور المركبة والمميز

المفاهيم الأساسية

الصورة القياسية للعدد المركب: a + bi

المميز: b² - 4ac (العبارة تحت الجذر في القانون العام)

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

الهدف من الدرس

حل معادلات تربيعية صعبة

#### مثال: h = -4.9t² + 117t + 42 = 0

القانون العام

اشتقاق القانون من الصورة القياسية

#### 1. ax² + bx + c = 0

#### 2. اقسم على a: x² + (b/a)x + c/a = 0

#### 3. اطرح c/a: x² + (b/a)x = -c/a

#### 4. أكمل المربع: x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

#### 5. حلل الطرف الأيسر: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

#### 6. خاصية الجذر: x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

#### 7. اطرح b/2a: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الصيغة النهائية

#### x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

خطوات التطبيق

#### 1. كتابة المعادلة على الصورة: ax^2 + bx + c = 0

#### 2. تحديد قيم a و b و c

#### 3. التعويض في القانون العام

#### 4. تبسيط المقدار تحت الجذر (المميز)

#### 5. إيجاد قيم x

مثال توضيحي (من الصفحة)

#### حل: x^2 - 10x - 11 = 0

##### 1. a=1, b=-10, c=-11

##### 2. x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}

##### 3. x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2}

##### 4. x = \frac{10 \pm 12}{2}

##### 5. الحلان: x = 11 أو x = -1

المميز

تعريف: b^2 - 4ac

دوره: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية

حالة خاصة

#### إذا كان المميز = 0

##### نحصل على جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

##### مثال: x^2 + 8x + 16 = 0

###### 1. a=1, b=8, c=16

###### 2. x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2}

###### 4. x = -4 (مكرر مرتين)

#### إذا كان المميز > 0 وليس مربعاً كاملاً

##### نحصل على جذرين غير نسبيين

##### مثال: 2x^2 - 6x - 7 = 0

###### 1. a=2, b=-6, c=-7

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{4}

###### 4. x = \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}

###### 5. الحلان التقريبيان: x \approx -0.9 أو x \approx 3.9

الجذور المركبة

حالة المميز السالب

#### إذا كان المميز < 0

##### نحصل على جذرين مركبين مترافقين

##### مثال: x^2 - 6x + 10 = 0

###### 1. a=1, b=-6, c=10

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2}

###### 4. \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i

###### 5. x = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i

###### 6. الحلان: 3 + i و 3 - i (عددان مركبان مترافقان)

التحقق من الحلول المركبة

#### التعويض في المعادلة الأصلية

#### استخدام خاصية i^2 = -1

```

نقاط مهمة

  • اكتب الحل النهائي للعدد المركب بالصورة القياسية a + bi.
  • عندما يكون المميز سالباً، تكون الجذور عددين مركبين مترافقين.
  • التمثيل البياني للدالة التربيعية ذات جذور مركبة لا يقطع محور السينات (كما في الرسم البياني المقدر في الصفحة).
  • يمكنك التحقق من صحة الحلول المركبة بالتعويض في المعادلة الأصلية واستخدام خاصية i^2 = -1.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- الأعداد المركبة تذكر أن تكتب حلك في الصورة a + bi ، وهذه الصورة تُسمى الصورة القياسية للعدد المركب. --- SECTION: مثال 4 --- الجذور المركبة حل المعادلة : 10 - = x2 – 6x باستعمال القانون العام. القانون العام x = -b±√b2-4ac 2a عوض عن a بالعدد 1 ، وعن 6 بالعدد 6 - ، وعن C بالعدد 10 = -(-6) ± √(-6)2 - 4(1)(10) 2(1) بسط = 6±√-4 2 √-4 = √4. (-1) = 2i = 6±2i 2 = 3 + i بسط الحلان هما : 1 + 3 . 1 - 3 وهما عددان مركبان مترافقان. --- SECTION: تحقق --- يظهر التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة أن الحلّين عددان مركبان، ولكن لا يساعدك التمثيل البياني على إيجادهما . وللتحقق من صحة الحلّين المركبين، عوّضهما في المعادلة الأصلية. المعادلة الأصلية x=3+i x²-6x=-10 (3+i)²-6(3+i)=-10 أوجد مفكوك 12 + (3) وخاصية التوزيع 9+6i+i²-18-6i=-10 بسط -9+i²=-10 i²=-1 ✓-9-1=-10 المعادلة الأصلية x²-6x=-10 x=3-i (3-i)²-6(3-i)=-10 أوجد مفكوك 12 - 3) وخاصية التوزيع بسط. 9-6i+i²-18+6i=-10 -9+i²=-10 i²=-1 ✓-9-1=-10 --- SECTION: تحقق من فهمك --- 3x2+5x+4 = 0 (4A) x24x13 (4B --- SECTION: الجذور والمميز --- في المعادلة التربيعية، لاحظ العلاقة بين قيمة ما تحت الجذر وجذور المعادلة التربيعية في الأمثلة السابقة. العبارة b2 – 4ac تسمى المميز. المميز x = -b±√b2-4ac 2a ويمكنك استعمال المميز لتحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وأنواعها، والجدول في الصفحة الآتية يلخص الأنواع الممكنة للجذور ، وذلك للتأكد من صحة حلك. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Parabola opening upwards (Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 9

سؤال مربع-1:

الإجابة: 3 × 4 = 12 3 × 6 = 18

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا عملية ضرب: 3 × 4 - ولدينا عملية ضرب أخرى: 3 × 6
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم عملية الضرب الأساسية: $$a \times b = \text{النتيجة}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$3 \times 4 = 12$$ $$3 \times 6 = 18$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابات هي: **12** و **18**

سؤال 12:

الإجابة: S = {أزرق، أحمر، أصفر، أخضر}

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** يبدو أن السؤال يتطلب تحديد مجموعة من العناصر. المجموعة S تحتوي على ألوان محددة. بناءً على الإجابة المعطاة، نستنتج أن المجموعة تتكون من أربعة عناصر هي: الأزرق، والأحمر، والأصفر، والأخضر. إذن الإجابة هي: **S = {أزرق، أحمر، أصفر، أخضر}**

سؤال س:13:

الإجابة: خيارات البيض = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 عدد النواتج = 18 = 3 × 6

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - خيارات البيض: 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 - عدد النواتج: 18 = 3 × 6
  2. **الخطوة 2 (الفكرة):** يبدو أن السؤال يتعلق بحساب الاحتمالات أو التباديل والتوافيق. مجموع خيارات البيض يساوي 8، وعدد النواتج الإجمالي يساوي 18.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابات هي: **خيارات البيض = 8** و **عدد النواتج = 18**

سؤال 14 (أ):

الإجابة: 10^4 طريقة

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الإجابة المعطاة: 10^4 طريقة
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قاعدة الأسس: $$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالحساب: $$10^4 = 10000$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن عدد الطرق = **10000**

سؤال 14 (ب):

الإجابة: 5040 = 1 × 9 × 8 × 7

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الإجابة المعطاة: 5040 = 1 × 9 × 8 × 7
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم عملية الضرب: $$1 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالحساب: $$1 \times 9 = 9$$ $$9 \times 8 = 72$$ $$72 \times 7 = 5040$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة = **5040**

سؤال 15 (أ):

الإجابة: 4 ألوان (تفرع منها تفرع)

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** يبدو أن السؤال يتعلق بمخطط شجري (تفرع) للألوان. بناءً على الإجابة "4 ألوان (تفرع منها تفرع)"، نفهم أن هناك أربعة ألوان رئيسية، ومن كل لون هناك تفرعات أخرى. إذن الإجابة هي: **4 ألوان**

سؤال 15 (ب):

الإجابة: 5 ألوان

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** بناءً على الإجابة "5 ألوان"، نفهم أن العدد الإجمالي للألوان في هذا الجزء من السؤال هو خمسة ألوان. إذن الإجابة هي: **5 ألوان**

سؤال 15 (ج):

الإجابة: 20 = 4 + 6 + 6 + 2 + 2

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الإجابة المعطاة: 20 = 4 + 6 + 6 + 2 + 2
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نجمع الأعداد: $$4 + 6 = 10$$ $$10 + 6 = 16$$ $$16 + 2 = 18$$ $$18 + 2 = 20$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة = **20**

سؤال 15 (د):

الإجابة: راجع إجابتك

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** بناءً على الإجابة "راجع إجابتك"، يبدو أن هذا الجزء من السؤال يتطلب من الطالب مراجعة الحلول السابقة أو التحقق من الإجابات التي توصل إليها. إذن التوجيه هو: **راجع إجابتك**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

إذا كان المميز في معادلة تربيعية سالباً، فماذا يعني ذلك بالنسبة لجذور المعادلة؟

  • أ) جذر حقيقي مكرر
  • ب) جذران حقيقيان مختلفان
  • ج) لا توجد جذور حقيقية
  • د) جذور مركبة مترافقة

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: جذور مركبة مترافقة

الشرح: عندما يكون المميز (b² – 4ac) سالباً، فإن الجذر التربيعي له سيكون عدداً تخيلياً (يحتوي على i). هذا يؤدي إلى ظهور العدد التخيلي 'i' في صيغة القانون العام، مما يعني أن للمعادلة جذرين مركبين مترافقين (على الصورة a ± bi).

تلميح: تذكر العلاقة بين إشارة المميز ونوع الجذور.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لحل المعادلة التربيعية x² - 6x = -10 باستخدام القانون العام؟

  • أ) 1. تحليل المعادلة. 2. مساواة كل عامل بالصفر. 3. إيجاد قيم x.
  • ب) 1. كتابة المعادلة بالصورة القياسية. 2. تحديد a, b, c. 3. تطبيق القانون العام. 4. تبسيط المميز (√-4 = 2i). 5. تبسيط الناتج النهائي.
  • ج) 1. إكمال المربع. 2. أخذ الجذر التربيعي. 3. عزل x.
  • د) 1. رسم التمثيل البياني. 2. إيجاد نقاط التقاطع مع المحور x.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. كتابة المعادلة بالصورة القياسية. 2. تحديد a, b, c. 3. تطبيق القانون العام. 4. تبسيط المميز (√-4 = 2i). 5. تبسيط الناتج النهائي.

الشرح: 1. أعد كتابة المعادلة: x² - 6x + 10 = 0. 2. حدد المعاملات: a=1, b=-6, c=10. 3. عوض في القانون: x = [6 ± √(36 - 40)] / 2. 4. بسط المميز: √(-4) = 2i. 5. بسط الناتج: (6 ± 2i)/2 = 3 ± i. إذن الحلان هما 3+i و 3-i.

تلميح: ابدأ بجعل الطرف الآخر للمعادلة صفراً.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند التحقق من صحة حل مركب للمعادلة التربيعية، مثل x = 3+i للمعادلة x²-6x=-10، ما الخطوة الحاسمة التي تستخدم خاصية i²؟

  • أ) جمع الأجزاء التخيلية مع الأجزاء الحقيقية.
  • ب) استبدال i² بالقيمة -1 لتبسيط المعادلة والتحقق من التساوي.
  • ج) تحويل العدد المركب إلى صورته القطبية.
  • د) مقارنة معامل الجزء التخيلي في الطرفين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استبدال i² بالقيمة -1 لتبسيط المعادلة والتحقق من التساوي.

الشرح: بعد التعويض والتبسيط، ستظهر حد i² في المعادلة. الخطوة الحاسمة هي استبدال i² بـ -1 (لأن i² = -1). هذا يحول التعبير المركب إلى تعبير حقيقي بحت، مما يسمح بالتحقق من صحة المساواة في المعادلة الأصلية.

تلميح: تذكر القيمة الأساسية للوحدة التخيلية i.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في المعادلة التربيعية، ما الاسم العلمي للعبارة (b² - 4ac) وما هي وظيفتها الأساسية في تحليل المعادلات؟

  • أ) تُسمى المقطع الصادي، وتُستخدم لتحديد نقطة تقاطع منحنى الدالة مع المحور y.
  • ب) تُسمى "المميز"، وتُستخدم لتحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وأنواعها.
  • ج) تُسمى رأس المنحنى، وتُستخدم لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة التربيعية.
  • د) تُسمى المعامل الرئيس، وتُحدد ما إذا كان المنحنى مفتوحاً للأعلى أو للأسفل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تُسمى "المميز"، وتُستخدم لتحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وأنواعها.

الشرح: ١. العبارة b² - 4ac هي جزء من القانون العام وتُسمى رياضياً بـ 'المميز'. ٢. من خلال حساب قيمة المميز، يمكن تحديد طبيعة الحلول (جذور حقيقية أو مركبة) وعددها. ٣. يساعد المميز في التحقق من صحة الحل وفهم السلوك البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة دون الحاجة لحلها بالكامل.

تلميح: فكر في الجزء الموجود تحت الجذر في القانون العام والذي 'يميز' نوع الحلول.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

ما الدور الرئيس للمقدار الجبري $b^2 - 4ac$ (المميز) في المعادلات التربيعية؟

  • أ) حساب القيمة الدقيقة للجذور المركبة مباشرة دون الحاجة للقانون العام.
  • ب) تحديد عدد جذور المعادلة وأنواعها (سواء كانت حقيقية أم مركبة).
  • ج) تحويل المعادلة من الصورة القياسية إلى صورة الرأس (Vertex Form).
  • د) إيجاد قيمة الجزء التخيلي $i$ في العدد المركب الناتج.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تحديد عدد جذور المعادلة وأنواعها (سواء كانت حقيقية أم مركبة).

الشرح: 1. يُعرف المقدار $b^2 - 4ac$ بالمميز لأنه يحدد طبيعة الجذور تحت الجذر التربيعي في القانون العام. 2. إذا كانت قيمة المميز سالبة، فإن الجذور تكون مركبة مترافقة. 3. إذا كانت القيمة موجبة أو صفراً، تكون الجذور حقيقية. 4. يساعد المميز الطالب في التحقق من صحة الحل وتوقع شكل النتائج.

تلميح: فكر في الاسم المشتق من كونه يميّز بين الحالات المختلفة للحلول قبل إيجاد قيمتها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط