تاريخ الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: تاريخ الرياضيات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 القانون العام والمميز (استكمال)

المفاهيم الأساسية

براهماجوبتا: عالم رياضيات هندي (598-668 م)، أول من أوجد حلاً عاماً للمعادلة التربيعية في الصورة c = bx + ax² (القانون العام).

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

الهدف من الدرس

حل معادلات تربيعية صعبة

#### مثال: h = -4.9t² + 117t + 42 = 0

القانون العام

اشتقاق القانون من الصورة القياسية

#### 1. ax² + bx + c = 0

#### 2. اقسم على a: x² + (b/a)x + c/a = 0

#### 3. اطرح c/a: x² + (b/a)x = -c/a

#### 4. أكمل المربع: x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

#### 5. حلل الطرف الأيسر: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

#### 6. خاصية الجذر: x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

#### 7. اطرح b/2a: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الصيغة النهائية

#### x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

خطوات التطبيق

#### 1. كتابة المعادلة على الصورة: ax^2 + bx + c = 0

#### 2. تحديد قيم a و b و c

#### 3. التعويض في القانون العام

#### 4. تبسيط المقدار تحت الجذر (المميز)

#### 5. إيجاد قيم x

مثال توضيحي (من الصفحة)

#### حل: x^2 - 10x - 11 = 0

##### 1. a=1, b=-10, c=-11

##### 2. x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}

##### 3. x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2}

##### 4. x = \frac{10 \pm 12}{2}

##### 5. الحلان: x = 11 أو x = -1

المميز

تعريف: b^2 - 4ac

دوره: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية

حالة خاصة

#### إذا كان المميز = 0

##### نحصل على جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

##### مثال: x^2 + 8x + 16 = 0

###### 1. a=1, b=8, c=16

###### 2. x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2}

###### 4. x = -4 (مكرر مرتين)

#### إذا كان المميز > 0 وليس مربعاً كاملاً

##### نحصل على جذرين غير نسبيين

##### مثال: 2x^2 - 6x - 7 = 0

###### 1. a=2, b=-6, c=-7

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{4}

###### 4. x = \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}

###### 5. الحلان التقريبيان: x \approx -0.9 أو x \approx 3.9

```

نقاط مهمة

  • الجذر المكرر: عندما يكون المميز = 0، يكون للمعادلة جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)، ويمثل رأس القطع المكافئ نقطة تماسه مع محور السينات.
  • الجذور غير النسبية: يمكن التعبير عنها في الصورة الجذرية (مثل \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}) أو كتابة قيمتها التقريبية.
  • التحقق بيانياً: يمكن استخدام الحاسبة البيانية وخاصية الصفر للتحقق من صحة الحلول (قيم صفر الدالة المرتبطة).

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تاريخ الرياضيات

نوع: محتوى تعليمي

براهام جوبتا (598-668 م) عالم رياضيات هندي، وهو أول من أوجد حلاً عاماً للمعادلة التربيعية في الصورة c = bx + ax²، وهو ما يسمى الآن القانون العام لحل المعادلة التربيعية.

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2

معادلة لها جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

نوع: محتوى تعليمي

معادلة لها جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

حل المعادلة

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلة: 0 = 16 + 8x + x² باستعمال القانون العام. حدد قيم كل من a, b, c، وعوض هذه القيم في القانون العام. القانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a عوض عن a بالعدد 1، وعن b بالعدد 8، وعن c بالعدد 16 = (-8 ± √(8² - 4(1)(16))) / 2(1) بسط = (-8 ± √0) / 2 √0 = 0 = -8 / 2 = -4 الحل هو 4- (مكرر مرتين).

تحقق

نوع: محتوى تعليمي

تحقق: تحقق من صحة الحل بتمثيل الدالة المرتبطة بالمعادلة y = x² + 8x + 16 بيانياً. مستعملاً خاصية الصفر في الحاسبة البيانية للحصول على قيمة صفر الدالة المرتبطة وهو: 4- = x

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2A

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x² - 16x + 64 = 0

2B

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x² + 34x + 289 = 0

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك التعبير عن الجذور غير النسبية بكتابتها في الصورة الجذرية.

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة إظهار كامل التمثيل البياني: لإظهار التمثيل البياني للدالة كاملاً على الشاشة. اضغط مفتاح menu ومنها اختر 4: تكبير / تصغير النافذة ثم اختر 1: إعدادات النافذة لتحدد التدريج المناسب للمتغير x فاختر مثلاً القيمة الصغرى x: 15- والقيمة العظمى x: 7

مثال 3

نوع: محتوى تعليمي

مثال 3

الجذور غير النسبية

نوع: محتوى تعليمي

الجذور غير النسبية

حل المعادلة

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلة: 0 = 7 - 6x + 2x² باستعمال القانون العام. القانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a عوض عن a بالعدد 2، وعن b بالعدد 6-، وعن c بالعدد 7- = (-(-6) ± √((-6)² - 4(2)(-7))) / 2(2) بسط = (6 ± √92) / 4 √92 = √(4 (23)) = 2√23 = (6 ± 2√23) / 4 = (3 ± √23) / 2 الحلان التقريبيان هما: 0.9، 3.9-

تحقق

نوع: محتوى تعليمي

تحقق: تحقق من صحة الحل بتمثيل الدالة المرتبطة بالمعادلة y = 2x² - 6x - 7 بيانياً. مستعملاً خاصية الصفر في الحاسبة البيانية للحصول على القيمتين التقريبيتين لصفري الدالة المرتبطة وهما: 0.9، 3.9-

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

3A

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3x² + 5x + 1 = 0

3B

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x² - 8x + 9 = 0

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

117 الدرس 2-3 القانون العام والمميز

🔍 عناصر مرئية

An image of a quill pen dipped in an inkwell, with a scroll or paper in the background. It is associated with the 'History of Mathematics' sidebar.

f1(x)=x²+8x+16

A parabola opening upwards, with its vertex at (-4, 0). The graph shows the function has a single, repeated root at x = -4.

f1(x)=2x²-6x-7

A parabola opening upwards, with its vertex at (1.5, -11.5). The graph shows two x-intercepts, indicating two irrational roots.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تاريخ الرياضيات --- براهام جوبتا (598-668 م) عالم رياضيات هندي، وهو أول من أوجد حلاً عاماً للمعادلة التربيعية في الصورة c = bx + ax²، وهو ما يسمى الآن القانون العام لحل المعادلة التربيعية. --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 --- SECTION: معادلة لها جذر نسبي واحد (مكرر مرتين) --- معادلة لها جذر نسبي واحد (مكرر مرتين) --- SECTION: حل المعادلة --- حل المعادلة: 0 = 16 + 8x + x² باستعمال القانون العام. حدد قيم كل من a, b, c، وعوض هذه القيم في القانون العام. القانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a عوض عن a بالعدد 1، وعن b بالعدد 8، وعن c بالعدد 16 = (-8 ± √(8² - 4(1)(16))) / 2(1) بسط = (-8 ± √0) / 2 √0 = 0 = -8 / 2 = -4 الحل هو 4- (مكرر مرتين). --- SECTION: تحقق --- تحقق: تحقق من صحة الحل بتمثيل الدالة المرتبطة بالمعادلة y = x² + 8x + 16 بيانياً. مستعملاً خاصية الصفر في الحاسبة البيانية للحصول على قيمة صفر الدالة المرتبطة وهو: 4- = x --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2A --- x² - 16x + 64 = 0 --- SECTION: 2B --- x² + 34x + 289 = 0 يمكنك التعبير عن الجذور غير النسبية بكتابتها في الصورة الجذرية. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة إظهار كامل التمثيل البياني: لإظهار التمثيل البياني للدالة كاملاً على الشاشة. اضغط مفتاح menu ومنها اختر 4: تكبير / تصغير النافذة ثم اختر 1: إعدادات النافذة لتحدد التدريج المناسب للمتغير x فاختر مثلاً القيمة الصغرى x: 15- والقيمة العظمى x: 7 --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 --- SECTION: الجذور غير النسبية --- الجذور غير النسبية --- SECTION: حل المعادلة --- حل المعادلة: 0 = 7 - 6x + 2x² باستعمال القانون العام. القانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a عوض عن a بالعدد 2، وعن b بالعدد 6-، وعن c بالعدد 7- = (-(-6) ± √((-6)² - 4(2)(-7))) / 2(2) بسط = (6 ± √92) / 4 √92 = √(4 (23)) = 2√23 = (6 ± 2√23) / 4 = (3 ± √23) / 2 الحلان التقريبيان هما: 0.9، 3.9- --- SECTION: تحقق --- تحقق: تحقق من صحة الحل بتمثيل الدالة المرتبطة بالمعادلة y = 2x² - 6x - 7 بيانياً. مستعملاً خاصية الصفر في الحاسبة البيانية للحصول على القيمتين التقريبيتين لصفري الدالة المرتبطة وهما: 0.9، 3.9- --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3A --- 3x² + 5x + 1 = 0 --- SECTION: 3B --- x² - 8x + 9 = 0 وزارة التعليم 117 الدرس 2-3 القانون العام والمميز --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: An image of a quill pen dipped in an inkwell, with a scroll or paper in the background. It is associated with the 'History of Mathematics' sidebar. **GRAPH**: f1(x)=x²+8x+16 Description: A parabola opening upwards, with its vertex at (-4, 0). The graph shows the function has a single, repeated root at x = -4. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph visually verifies the solution to the quadratic equation x² + 8x + 16 = 0, demonstrating the single repeated root at x = -4. **GRAPH**: f1(x)=2x²-6x-7 Description: A parabola opening upwards, with its vertex at (1.5, -11.5). The graph shows two x-intercepts, indicating two irrational roots. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph visually verifies the solutions to the quadratic equation 2x² - 6x - 7 = 0, demonstrating the two irrational roots at approximately x = -0.9 and x = 3.9.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 10

سؤال 1: أكمل الجدول الآتي مستعيناً بالقامة المنتظمة والجدول والرسم الشجري. 1. عندما يسحب اللاعب ركلة الجزاء فإنه يسجل هذا (G) أو لا يسجل (NG). أوجد فضاء العينة.

الإجابة: GG,GN,NG,NN

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لفهم هذا السؤال، نريد إيجاد فضاء العينة لتجربة سحب ركلة جزاء. التجربة هي: لاعب يسدد ركلة جزاء، والنتيجة إما يسجل هدف (G) أو لا يسجل (NG). السؤال يطلب فضاء العينة، وهو مجموعة جميع النتائج الممكنة للتجربة. هنا، النتائج الممكنة هي: يسجل (G) أو لا يسجل (NG). إذن فضاء العينة هو: **{G, NG}**. لكن الإجابة المعطاة (GG, GN, NG, NN) تشير إلى أن السؤال قد يكون عن تجربة متعددة (مثل ركلتين)، أو أن هناك سوء فهم في نص السؤال. بناءً على الإجابة، يبدو أن التجربة هي سحب ركلتين (أو حدثين)، حيث كل ركلة لها نتيجتان: G أو NG. باستخدام الرسم الشجري أو قاعدة العد، النتائج الممكنة لحدثين هي: (G,G)، (G,NG)، (NG,G)، (NG,NG). لذلك، فضاء العينة هو: **GG, GN, NG, NN** (حيث GN تعني G ثم NG، وNG تعني NG ثم G).

سؤال 2: 2. سحب سمير بطاقتين على التوالي مع الإرجاع من كيس فيه بطاقات كتب عليها (معلم رياضي) (M) أو (دفتر ملاحظات) (N). أوجد فضاء العينة.

الإجابة: NN, MN, NM, MM

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** في هذا السؤال، سمير يسحب بطاقتين على التوالي مع الإرجاع من كيس فيه بطاقات مكتوب عليها (M) أو (N). مع الإرجاع يعني أنه بعد سحب البطاقة الأولى، يعيدها إلى الكيس قبل سحب الثانية، لذا كل سحب مستقل. لكل سحب، هناك نتيجتان ممكنتان: M أو N. باستخدام الرسم الشجري أو قاعدة العد، نجد جميع النتائج الممكنة لسحب بطاقتين: - البطاقة الأولى M، الثانية M → MM - البطاقة الأولى M، الثانية N → MN - البطاقة الأولى N، الثانية M → NM - البطاقة الأولى N، الثانية N → NN إذن فضاء العينة هو: **MM, MN, NM, NN**.

سؤال 3: 3. ترايبود، سرير صغير، غطاء، وهاواي. إذا كان الزبون في القائمة المجاورة، مثل فضاء العينة في هذا المرفق بالرسم الشجري.

الإجابة: GBW, GBH, GOW, GOH, PBW, PBH, POW, POH, YBW, YBH, YOW, YOH, WOW, WOH

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذا السؤال يتعلق بإنشاء فضاء العينة لاختيار عناصر من قائمة، بناءً على أسماء معطاة: ترايبود، سرير صغير، غطاء، وهاواي. يبدو أن هذه تمثل فئات أو خيارات، مثل الألوان أو الأنواع. الإجابة المعطاة طويلة (مثل GBW, GBH, إلخ)، مما يشير إلى أن هناك عدة خيارات لكل فئة. على سبيل المثال، G قد تمثل "أخضر"، P "أحمر"، Y "أصفر"، W "أبيض" للفئة الأولى؛ و B "أسود"، O "أخرى" للفئة الثانية؛ و W "شتاء"، H "صيف" للفئة الثالثة. باستخدام الرسم الشجري، نبدأ بالخيار الأول (مثل G)، ثم الخيار الثاني (مثل B)، ثم الخيار الثالث (مثل W)، لنجمع جميع التركيبات الممكنة. النتائج هي جميع التسلسلات المكونة من ثلاثة أحرف، مثل GBW (أخضر، أسود، شتاء). إذن فضاء العينة هو: **GBW, GBH, GOW, GOH, PBW, PBH, POW, POH, YBW, YBH, YOW, YOH, WBW, WOH** (حيث W في البداية قد تمثل "أبيض"، و O "أخرى"، إلخ).

سؤال 4: 4. مطاعم: عرضت قائمة بالمأكولات في أحد المطاعم تتضمن الأصناف الستة في الجدول المجاور، وكل صنف منها يحتوي على عدد من الأنواع. أوجد أكبر عدد ممكن من الوجبات المختلفة.

الإجابة: 8 × 4 × 6 × 12 × 9 = 20736

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا قائمة مأكولات في مطعم تتضمن 6 أصناف، وكل صنف له عدد معين من الأنواع. بناءً على الإجابة، الأصناف لها أعداد: 8، 4، 6، 12، 9. يبدو أن هناك 5 أصناف (ربما السادس هو خيار ثابت أو غير محسوب).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد أكبر عدد ممكن من الوجبات المختلفة، نستخدم قاعدة الضرب في الاحتمالات. إذا كان كل صنف مستقل ويمكن اختيار نوع واحد منه، فعدد الوجبات = حاصل ضرب عدد الخيارات لكل صنف.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: عدد الوجبات = 8 × 4 × 6 × 12 × 9 نحسب: 8 × 4 = 32، 32 × 6 = 192، 192 × 12 = 2304، 2304 × 9 = 20736.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن أكبر عدد ممكن من الوجبات المختلفة هو: **20736**.

سؤال 5: 5. تظهر إحدى المدارس الثانوية زيارة إلى مركز الملك عبدالعزيز التاريخي (C) وإلى جامعة الملك سعود (U). أوجد فضاء العينة.

الإجابة: UU, UC, CU, CC

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** في هذا السؤال، تظهر مدرسة ثانوية زيارة إلى مركزين: C (مركز الملك عبدالعزيز التاريخي) و U (جامعة الملك سعود). يطلب السؤال إيجاد فضاء العينة، مما يشير إلى أن هناك حدثين (مثل زيارة المركزين أو اختيار منهما). افترض أن التجربة هي اختيار زيارة مركزين (أو حدثين متتاليين)، حيث كل زيارة يمكن أن تكون إلى C أو U. باستخدام الرسم الشجري أو قاعدة العد، النتائج الممكنة لحدثين هي: - الزيارة الأولى U، الثانية U → UU - الزيارة الأولى U، الثانية C → UC - الزيارة الأولى C، الثانية U → CU - الزيارة الأولى C، الثانية C → CC إذن فضاء العينة هو: **UU, UC, CU, CC**.

سؤال 6: 6. لدى خالد فرصة للسفر إلى الخليج (G) أو (F). أوجد فضاء العينة.

الإجابة: GG, GF, FG, FF

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لدى خالد فرصة للسفر إلى الخليج، والخيارات هي G (ربما "الخليج") أو F (ربما "خيار آخر"). يطلب السؤال إيجاد فضاء العينة، مما يشير إلى أن هناك حدثين (مثل رحلتين أو اختيارين). افترض أن التجربة هي حدثين مستقلين، حيث كل حدث له نتيجتان: G أو F. باستخدام الرسم الشجري، النتائج الممكنة هي: - الحدث الأول G، الثاني G → GG - الحدث الأول G، الثاني F → GF - الحدث الأول F، الثاني G → FG - الحدث الأول F، الثاني F → FF إذن فضاء العينة هو: **GG, GF, FG, FF**.

سؤال 7: 7. يمكن اختيار من نماذج مختلفة من الأجهزة (A) أو (B) أو (C) أو (D) أو (E) أو (F) أو (G) أو (H) أو (I) أو (J) أو (K) أو (L) أو (M) أو (N) أو (O) أو (P) أو (Q) أو (R) أو (S) أو (T) أو (U) أو (V) أو (W) أو (X) أو (Y) أو (Z). أوجد فضاء العينة.

الإجابة: AA, AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH, AI, AJ, AK, AL, AM, AN, AO, AP, AQ, AR, AS, AT, AU, AV, AW, AX, AY, AZ, BA, BB, BC, BD, BE, BF, BG, BH, BI, BJ, BK, BL, BM, BN, BO, BP, BQ, BR, BS, BT, BU, BV, BW, BX, BY, BZ

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذا السؤال يتعلق باختيار نماذج أجهزة من قائمة تحتوي على أحرف من A إلى Z. يطلب إيجاد فضاء العينة، والإجابة المعطاة طويلة (مثل AA, AB, إلخ)، مما يشير إلى أن التجربة هي اختيار نموذجين (أو حدثين)، حيث كل نموذج يمكن أن يكون أي حرف من A إلى Z. باستخدام قاعدة العد، إذا كان هناك 26 حرفًا (من A إلى Z)، ويمكن تكرار الاختيار (مع الإرجاع أو مع السماح بالتكرار)، فعدد النتائج الممكنة لحدثين هو 26 × 26 = 676. ولكن الإجابة المعطاة تظهر فقط بعض الأمثلة (مثل AA إلى BZ)، ربما كجزء من فضاء العينة الكامل. لفهم أفضل، فضاء العينة هو جميع الأزواج الممكنة من حرفين، مثل AA, AB, AC, ..., AZ, BA, BB, ..., BZ, وهكذا حتى ZZ. إذن فضاء العينة هو: **جميع الأزواج من حرفين من A إلى Z**، مثل AA, AB, AC, ..., ZZ.

سؤال 8: 8. رسم: يمتلك بعض الطلاب مشروعين للرسم. أوجد فضاء العينة.

الإجابة: OO, OA, AO, AA

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** يمتلك بعض الطلاب مشروعين للرسم، ويطلب إيجاد فضاء العينة. بناءً على الإجابة (OO, OA, AO, AA)، يبدو أن هناك خيارين لكل مشروع: O (ربما "نعم" أو "مكتمل") و A (ربما "لا" أو "غير مكتمل"). افترض أن التجربة هي تقييم مشروعين، حيث كل مشروع يمكن أن يكون O أو A. باستخدام الرسم الشجري، النتائج الممكنة هي: - المشروع الأول O، الثاني O → OO - المشروع الأول O، الثاني A → OA - المشروع الأول A، الثاني O → AO - المشروع الأول A، الثاني A → AA إذن فضاء العينة هو: **OO, OA, AO, AA**.

سؤال 9: للسؤالين 9، 10 مثل فضاء العينة مستعملاً الرسم الشجري في كل مما يأتي: 9. سيارات: يريد فيصل شراء سيارة: صغيرة (S) أو عائلية (F) أو نقل (T). أو بمقاعد مفردة (L) أو قماش (V)، أو (أضواء) أو (شاشات) أو (بلاعة) (N) أو (مقطورة) (R).

الإجابة: SLN, SLR, SVN, SVR, FLN, FLR, FVN, FVR, TLN, TLR, TVN, TVR

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** يريد فيصل شراء سيارة، وهناك خيارات متعددة: نوع السيارة (صغيرة S، عائلية F، نقل T)، ونوع المقاعد (مفردة L، قماش V)، وإضافات (أضواء أو شاشات أو بلاعة N، مقطورة R). يطلب السؤال تمثيل فضاء العينة باستخدام الرسم الشجري. باستخدام الرسم الشجري، نبدأ بنوع السيارة (3 خيارات: S, F, T)، ثم نوع المقاعد (2 خيارات: L, V)، ثم الإضافات (2 خيارات: N, R). نجمع جميع التركيبات الممكنة: - S مع L مع N → SLN - S مع L مع R → SLR - S مع V مع N → SVN - S مع V مع R → SVR - F مع L مع N → FLN - F مع L مع R → FLR - F مع V مع N → FVN - F مع V مع R → FVR - T مع L مع N → TLN - T مع L مع R → TLR - T مع V مع N → TVN - T مع V مع R → TVR إذن فضاء العينة هو: **SLN, SLR, SVN, SVR, FLN, FLR, FVN, FVR, TLN, TLR, TVN, TVR**.

سؤال 10: 10. لون المكتبة أسود أو بني أو أزرق، وعدد يتكون منها مفتاح أو قفل أرقام.

الإجابة: HB1N, HB1K, HB2N, HB2K, HB3N, HB3K, HB4N, HB4K, HB5N, HB5K, SB1N, SB1K, SB2N, SB2K, SB3N, SB3K, SB4N, SB4K, SB5N, SB5K, BB1N, BB1K, BB2N, BB2K, BB3N, BB3K, BB4N, BB4K, BB5N, BB5K

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذا السؤال يتعلق باختيار لون للمكتبة (أسود H، بني S، أزرق B) وعدد يتكون منها مفتاح أو قفل أرقام. بناءً على الإجابة، يبدو أن هناك خيارات: اللون (3 خيارات: H, S, B)، والعدد (من 1 إلى 5، لذا 5 خيارات)، ونوع القفل (مفتاح K أو قفل أرقام N). باستخدام الرسم الشجري، نبدأ باللون (مثل H)، ثم العدد (مثل 1)، ثم نوع القفل (مثل N)، لنجمع جميع التركيبات: - H مع 1 مع N → HB1N (حيث B قد تمثل "لون"، و1 هو العدد) - H مع 1 مع K → HB1K - وهكذا لجميع الألوان والأعداد. الإجابة المعطاة تظهر أمثلة مثل HB1N, HB1K, ..., BB5K، مما يعني أن فضاء العينة هو جميع التسلسلات المكونة من حرف اللون، ثم B (ربما اختصار)، ثم رقم من 1 إلى 5، ثم حرف نوع القفل (N أو K). إذن فضاء العينة هو: **جميع التركيبات من (H أو S أو B) مع (1 إلى 5) مع (N أو K)**، مثل HB1N, HB1K, ..., BB5K.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

إذا كان مميز المعادلة التربيعية يساوي صفراً، فماذا يعني ذلك بالنسبة لجذورها؟

  • أ) لها جذران نسبيان مختلفان.
  • ب) لها جذران غير نسبيان.
  • ج) ليس لها جذور حقيقية.
  • د) لها جذر نسبي واحد مكرر (حل مضاعف).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لها جذر نسبي واحد مكرر (حل مضاعف).

الشرح: 1. المميز (Δ) = b² - 4ac. 2. إذا كان Δ = 0، فإن الجذر تحت الجذر في القانون العام يصبح صفراً. 3. هذا يؤدي إلى حل واحد فقط: x = -b/2a، ويسمى جذراً مكرراً أو مضاعفاً.

تلميح: تذكر أن المميز يحدد طبيعة جذور المعادلة التربيعية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

عند حل المعادلة 2x² - 6x - 7 = 0 باستخدام القانون العام، تم تبسيط √92 إلى 2√23. ما الخطوة التالية الصحيحة لتبسيط الناتج النهائي؟

  • أ) (6 ± √23) / 4
  • ب) (3 ± √23) / 2
  • ج) (6 ± 2√23) / 2
  • د) 3 ± √23

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (3 ± √23) / 2

الشرح: 1. بعد التعويض: x = (6 ± √92) / 4. 2. تبسيط الجذر: √92 = √(4*23) = 2√23. 3. التعويض: x = (6 ± 2√23) / 4. 4. قسمة جميع الحدود في البسط والمقام على 2: x = (3 ± √23) / 2.

تلميح: بعد إخراج العامل من تحت الجذر، لاحظ إمكانية قسمة البسط والمقام على عامل مشترك.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما القانون العام لحل المعادلة التربيعية؟

  • أ) x = (-b ± √(b² + 4ac)) / 2a
  • ب) x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a
  • ج) x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
  • د) x = (-b ± √(b² - 4ac)) / a

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الشرح: 1. القانون العام هو صيغة رياضية تعطي حلول أي معادلة تربيعية على الصورة ax² + bx + c = 0. 2. يتم تحديد قيم a و b و c من المعادلة. 3. يتم التعويض في الصيغة: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

تلميح: تذكر أن القانون يعتمد على معاملات المعادلة التربيعية القياسية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما الفرق الرئيسي في شكل الحل بين معادلة ذات مميز يساوي صفراً (مثل x²+8x+16=0) ومعادلة ذات مميز موجب غير مربع كامل (مثل 2x²-6x-7=0)؟

  • أ) لا فرق، كلاهما يعطي حلين.
  • ب) المعادلة الأولى ليس لها حل حقيقي، بينما الثانية لها حلان.
  • ج) المعادلة الأولى لها حل واحد عددي (-4)، بينما الثانية لها حلان مكتوبان في صورة جذرية ( (3 ± √23)/2 ).
  • د) المعادلة الأولى تعطي كسوراً، بينما الثانية تعطي أعداداً صحيحة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المعادلة الأولى لها حل واحد عددي (-4)، بينما الثانية لها حلان مكتوبان في صورة جذرية ( (3 ± √23)/2 ).

الشرح: 1. عندما Δ=0، يختفي الجذر في القانون العام، مما يعطي حلاً عددياً واحداً (مثل: -4). 2. عندما Δ>0 وليس مربعاً كاملاً، يبقى الجذر في الإجابة، مما يعطي حلين غير نسبيين يُكتبان باستخدام رمز الجذر (مثل: (3 ± √23)/2).

تلميح: قارن بين شكل الإجابات النهائية في المثالين المذكورين في الصفحة.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: صعب

بناءً على دراستك لحالات الجذور في القانون العام، متى ينتج عن المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$ جذر نسبي واحد مكرر مرتين؟

  • أ) إذا كانت قيمة $b^2 - 4ac$ عدداً موجباً مربعاً كاملاً.
  • ب) إذا كانت قيمة $b^2 - 4ac$ عدداً سالباً.
  • ج) عندما تكون قيمة المقدار $b^2 - 4ac$ مساوية للصفر.
  • د) عندما يكون المعامل $a$ مساوياً للصفر في المعادلة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عندما تكون قيمة المقدار $b^2 - 4ac$ مساوية للصفر.

الشرح: ١. القانون العام هو $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. ٢. المقدار $b^2 - 4ac$ تحت الجذر هو الذي يحدد نوع وعدد الجذور. ٣. في حالة المثال (2)، كان المقدار $8^2 - 4(1)(16) = 0$. ٤. بما أن $\sqrt{0} = 0$، فإن عملية الجمع والطرح $(\pm)$ لا تغير القيمة. ٥. ينتج حل وحيد هو $x = \frac{-b}{2a}$، ويسمى جذراً مكرراً مرتين.

تلميح: تذكر تبسيط المقدار داخل الجذر في المثال (2) عندما كانت النتيجة √0.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط