إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: إرشادات للدراسة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 المميز وعلاقته بأنواع الجذور

المفاهيم الأساسية

الجذور: حلول المعادلة، وهي قيم X التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة المحور X.

المميز: في المعادلة ax^2 + bx + c = 0، حيث a, b, c أعداد نسبية، a \neq 0، المميز هو العبارة b^2 - 4ac.

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

الهدف من الدرس

حل معادلات تربيعية صعبة

#### مثال: h = -4.9t² + 117t + 42 = 0

القانون العام

اشتقاق القانون من الصورة القياسية

#### 1. ax² + bx + c = 0

#### 2. اقسم على a: x² + (b/a)x + c/a = 0

#### 3. اطرح c/a: x² + (b/a)x = -c/a

#### 4. أكمل المربع: x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

#### 5. حلل الطرف الأيسر: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

#### 6. خاصية الجذر: x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

#### 7. اطرح b/2a: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الصيغة النهائية

#### x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

خطوات التطبيق

#### 1. كتابة المعادلة على الصورة: ax^2 + bx + c = 0

#### 2. تحديد قيم a و b و c

#### 3. التعويض في القانون العام

#### 4. تبسيط المقدار تحت الجذر (المميز)

#### 5. إيجاد قيم x

مثال توضيحي (من الصفحة)

#### حل: x^2 - 10x - 11 = 0

##### 1. a=1, b=-10, c=-11

##### 2. x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}

##### 3. x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2}

##### 4. x = \frac{10 \pm 12}{2}

##### 5. الحلان: x = 11 أو x = -1

المميز

تعريف: b^2 - 4ac

دوره: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية

العلاقة بين قيمة المميز وعدد الجذور وأنواعها

#### إذا كان b^2 - 4ac > 0 والعبارة b^2 - 4ac مربع كامل

##### جذران حقيقيان نسبيان

#### إذا كان b^2 - 4ac > 0 والعبارة b^2 - 4ac ليست مربعاً كاملاً

##### جذران حقيقيان غير نسبيين

#### إذا كان b^2 - 4ac = 0

##### جذر حقيقي مكرر مرتين

#### إذا كان b^2 - 4ac < 0

##### جذران مركبان مترافقان

حالة خاصة

#### إذا كان المميز = 0

##### نحصل على جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

##### مثال: x^2 + 8x + 16 = 0

###### 1. a=1, b=8, c=16

###### 2. x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2}

###### 4. x = -4 (مكرر مرتين)

#### إذا كان المميز > 0 وليس مربعاً كاملاً

##### نحصل على جذرين غير نسبيين

##### مثال: 2x^2 - 6x - 7 = 0

###### 1. a=2, b=-6, c=-7

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{4}

###### 4. x = \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}

###### 5. الحلان التقريبيان: x \approx -0.9 أو x \approx 3.9

الجذور المركبة

حالة المميز السالب

#### إذا كان المميز < 0

##### نحصل على جذرين مركبين مترافقين

##### مثال: x^2 - 6x + 10 = 0

###### 1. a=1, b=-6, c=10

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2}

###### 4. \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i

###### 5. x = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i

###### 6. الحلان: 3 + i و 3 - i (عددان مركبان مترافقان)

التحقق من الحلول المركبة

#### التعويض في المعادلة الأصلية

#### استخدام خاصية i^2 = -1

```

نقاط مهمة

  • المميز هو المقدار b^2 - 4ac تحت الجذر في القانون العام.
  • قيمة المميز تحدد عدد جذور المعادلة التربيعية ونوعها (حقيقية، غير نسبية، مركبة).
  • إذا كان المميز سالباً، فإن الجذرين عددان مركبان مترافقان.
  • إذا كان المميز صفراً، فإن الجذر حقيقي واحد مكرر مرتين.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

الجذور تذكر أن حلول المعادلة تسمى جذورًا وهي قيم X التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة المحور X.

مفهوم أساسي

نوع: محتوى تعليمي

المميز في المعادلة 0 = ax 2 + bx + c ، حيث a, b, c أعداد نسبية، a ≠ 0 .

نوع: محتوى تعليمي

جدول يوضح العلاقة بين قيمة المميز وعدد الجذور وأنواعها ومثال على التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة

مثال 5

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قيمة المميز لكل من المعادلتين التربيعيتين الآتيتين ، وحدد عدد جذور كل منهما وأنواعها:

وصف الجذور

نوع: محتوى تعليمي

7x² - 11x + 5 = 0 (a) a = 7, b = -11, c = 5 b² - 4ac = (-11)² - 4(7)(5) = 121 - 140 = -19 المميز سالب؛ لذا يوجد جذران مركبان مترافقان.

وصف الجذور

نوع: محتوى تعليمي

x² + 22x + 121 = 0 (b) a = 1, b = 22, c = 121 b² - 4ac = (22)² - 4(1)(121) = 484 - 484 = 0 المميز يساوي صفرا؛ لذا يوجد جذر حقيقي واحد مكرر مرتين.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

-5x² + 8x - 1 = 0 (5A

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

-7x + 15x² - 4 = 0 (5B

نوع: METADATA

الدرس 2-3 القانون العام والمميز 119

🔍 عناصر مرئية

Graphs of quadratic equations

The table contains graphs of quadratic equations. The first graph is a parabola opening downwards, the second is a parabola opening upwards, and the third is a parabola opening upwards.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- الجذور تذكر أن حلول المعادلة تسمى جذورًا وهي قيم X التي يقطع عندها التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة المحور X. --- SECTION: مفهوم أساسي --- المميز في المعادلة 0 = ax 2 + bx + c ، حيث a, b, c أعداد نسبية، a ≠ 0 . جدول يوضح العلاقة بين قيمة المميز وعدد الجذور وأنواعها ومثال على التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة --- SECTION: مثال 5 --- أوجد قيمة المميز لكل من المعادلتين التربيعيتين الآتيتين ، وحدد عدد جذور كل منهما وأنواعها: a. 7x² - 11x + 5 = 0 b. x² + 22x + 121 = 0 --- SECTION: وصف الجذور --- 7x² - 11x + 5 = 0 (a) a = 7, b = -11, c = 5 b² - 4ac = (-11)² - 4(7)(5) = 121 - 140 = -19 المميز سالب؛ لذا يوجد جذران مركبان مترافقان. --- SECTION: وصف الجذور --- x² + 22x + 121 = 0 (b) a = 1, b = 22, c = 121 b² - 4ac = (22)² - 4(1)(121) = 484 - 484 = 0 المميز يساوي صفرا؛ لذا يوجد جذر حقيقي واحد مكرر مرتين. --- SECTION: تحقق من فهمك --- -5x² + 8x - 1 = 0 (5A --- SECTION: تحقق من فهمك --- -7x + 15x² - 4 = 0 (5B الدرس 2-3 القانون العام والمميز 119 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Graphs of quadratic equations Description: The table contains graphs of quadratic equations. The first graph is a parabola opening downwards, the second is a parabola opening upwards, and the third is a parabola opening upwards. (Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 9

سؤال 21: يستطيع نايف أن يدعو صديقين له على الغداء، إذا كان لديه أربعة أصدقاء، فما عدد النواتج الممكنة لاختياره اثنين منهم؟ أ) 4 ب) 6 ج) 8 د) 9

الإجابة: 6

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا: - عدد الأصدقاء: 4 - نريد اختيار 2 منهم للدعوة
  2. **الخطوة 2 (القانون):** هذا سؤال توافيق (Combinations) لأن ترتيب اختيار الصديقين لا يهم (اختيار أحمد ثم محمد = اختيار محمد ثم أحمد). نستخدم قانون التوافيق: $$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ حيث n = عدد العناصر الكلي، r = عدد العناصر المختارة
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن عدد النواتج الممكنة = **6**

سؤال 22: تحتوي قائمة الطعام في أحد المطاعم على 5 أنواع للطبق الرئيسي، و 3 أنواع من الحساء، و 3 أنواع من الحلوى. كم طلبًا مختلفًا يمكن تقديمه إذا اختار الشخص طبقًا رئيسيًا واحدًا، ونوعًا من الحساء، وآخر من الحلوى؟ أ) 12 ب) 35 ج) 60 د) عدد لا نهائي

الإجابة: 60

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا: - أطباق رئيسية: 5 أنواع - أنواع الحساء: 3 أنواع - أنواع الحلوى: 3 أنواع
  2. **الخطوة 2 (القانون):** هذا سؤال يستخدم مبدأ العد الأساسي (Fundamental Counting Principle). عندما يكون لدينا خيارات مستقلة، نضرب عدد الخيارات في كل فئة: عدد الطلبات المختلفة = (عدد أطباق رئيسية) × (عدد أنواع الحساء) × (عدد أنواع الحلوى)
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: عدد الطلبات = 5 × 3 × 3 = 45
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن عدد الطلبات المختلفة = **45**

سؤال 23: 23, 12, 48, 192, ...

الإجابة: 768

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: 23, 12, 48, 192, ... نلاحظ أن الأعداد تتغير بشكل كبير، فلنبحث عن نمط رياضي.
  2. **الخطوة 2 (البحث عن النمط):** لنحسب النسبة بين كل حد والحد الذي يسبقه: 12 ÷ 23 ≈ 0.52 (ليس عدداً صحيحاً) 48 ÷ 12 = 4 192 ÷ 48 = 4 يبدو أن النمط يبدأ من الحد الثاني: كل حد = الحد السابق × 4
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الحد الخامس = الحد الرابع × 4 الحد الخامس = 192 × 4 = 768
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الحد التالي في المتتابعة = **768**

سؤال 24: 2, -2, 6, -10, ...

الإجابة: 24

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: 2, -2, 6, -10, ... نلاحظ تناوب الإشارات (موجب، سالب، موجب، سالب).
  2. **الخطوة 2 (البحث عن النمط):** لنحسب الفروق: -2 - 2 = -4 6 - (-2) = 8 -10 - 6 = -16 الفروق: -4, 8, -16 نلاحظ أن كل فرق = -2 × الفرق السابق: 8 = -2 × (-4) -16 = -2 × 8
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الفرق التالي = -2 × (-16) = 32 الحد الخامس = الحد الرابع + الفرق التالي الحد الخامس = -10 + 32 = 22
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الحد التالي في المتتابعة = **22**

سؤال 25: حل كلاً من المعادلتين الآتيتين: $ rac{3}{10} + rac{1}{x-1} = rac{7}{10}$

الإجابة: $ rac{7}{10}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعادلة):** لدينا المعادلة: $$\frac{3}{10} + \frac{1}{x-1} = \frac{7}{10}$$
  2. **الخطوة 2 (تبسيط المعادلة):** نطرح $\frac{3}{10}$ من الطرفين: $$\frac{1}{x-1} = \frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$
  3. **الخطوة 3 (حل للمتغير):** نقلب الطرفين (نأخذ مقلوب الكسرين): $$x-1 = \frac{5}{2}$$
  4. **الخطوة 4 (إيجاد قيمة x):** نضيف 1 للطرفين: $$x = \frac{5}{2} + 1 = \frac{5}{2} + \frac{2}{2} = \frac{7}{2}$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن حل المعادلة: **x = $\frac{7}{2}$**

سؤال 26: حل كلاً من المعادلتين الآتيتين: $1 - rac{3}{2x-1} = 4$

الإجابة: $ rac{3}{4}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعادلة):** لدينا المعادلة: $$1 - \frac{3}{2x-1} = 4$$
  2. **الخطوة 2 (تبسيط المعادلة):** نطرح 1 من الطرفين: $$-\frac{3}{2x-1} = 3$$
  3. **الخطوة 3 (حل للمتغير):** نضرب الطرفين في -1: $$\frac{3}{2x-1} = -3$$
  4. **الخطوة 4 (حل للمقام):** نضرب الطرفين في (2x-1): $$3 = -3(2x-1)$$ $$3 = -6x + 3$$
  5. **الخطوة 5 (إيجاد قيمة x):** نطرح 3 من الطرفين: $$0 = -6x$$ $$x = 0$$
  6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن حل المعادلة: **x = 0**

سؤال 27: أوجد الناتج في كل مما يأتي: $ rac{x^3}{3} \cdot rac{9}{x^2}$

الإجابة: $ rac{9}{2}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا: $$\frac{x^3}{3} \cdot \frac{9}{x^2}$$
  2. **الخطوة 2 (تبسيط الكسور):** نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: $$\frac{x^3 \times 9}{3 \times x^2} = \frac{9x^3}{3x^2}$$
  3. **الخطوة 3 (تبسيط المتغيرات):** نستخدم خاصية القوى: $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ $$\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x^1 = x$$
  4. **الخطوة 4 (تبسيط الأعداد):** $$\frac{9}{3} = 3$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة النهائية):** إذن الناتج = **3x**

سؤال 28: أوجد الناتج في كل مما يأتي: $2^6 \div 8$

الإجابة: 8

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا: $$2^6 \div 8$$
  2. **الخطوة 2 (كتابة 8 كقوة للعدد 2):** نلاحظ أن 8 = $2^3$
  3. **الخطوة 3 (تطبيق قوانين القوى):** $$2^6 \div 2^3 = 2^{6-3} = 2^3$$
  4. **الخطوة 4 (حساب القيمة):** $$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن الناتج = **8**

سؤال 29: أوجد الناتج في كل مما يأتي: $4^3 \cdot 2^{-4}$

الإجابة: 4

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا: $$4^3 \cdot 2^{-4}$$
  2. **الخطوة 2 (كتابة 4 كقوة للعدد 2):** نلاحظ أن 4 = $2^2$ إذن $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$
  3. **الخطوة 3 (تطبيق قوانين القوى):** $$2^6 \cdot 2^{-4} = 2^{6 + (-4)} = 2^{6-4} = 2^2$$
  4. **الخطوة 4 (حساب القيمة):** $$2^2 = 2 \times 2 = 4$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن الناتج = **4**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما تعريف المميز في المعادلة التربيعية؟

  • أ) هو القيمة a في المعادلة ax² + bx + c = 0.
  • ب) هو القيمة b² - 4ac في المعادلة ax² + bx + c = 0، حيث a, b, c أعداد نسبية و a ≠ 0.
  • ج) هو جذر المعادلة التربيعية.
  • د) هو التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمعادلة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو القيمة b² - 4ac في المعادلة ax² + bx + c = 0، حيث a, b, c أعداد نسبية و a ≠ 0.

الشرح: 1. المميز هو جزء من القانون العام لحل المعادلات التربيعية. 2. صيغته: Δ = b² - 4ac. 3. وظيفته: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة (حقيقية، مركبة، مكررة).

تلميح: انتبه إلى الصيغة الرياضية التي تحدد عدد ونوع جذور المعادلة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

إذا كان مميز المعادلة التربيعية سالباً (Δ < 0)، فماذا يعني ذلك بالنسبة لجذورها؟

  • أ) يوجد جذر حقيقي واحد مكرر.
  • ب) يوجد جذران حقيقيان مختلفان.
  • ج) يوجد جذران مركبان مترافقان.
  • د) لا توجد جذور للمعادلة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يوجد جذران مركبان مترافقان.

الشرح: 1. المميز Δ = b² - 4ac. 2. إذا كان Δ < 0، فإن الجذر التربيعي للمميز عدد تخيلي. 3. النتيجة: جذران مركبان (غير حقيقيين) وهما مترافقان.

تلميح: تذكر العلاقة بين إشارة المميز ونوع الجذور.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لإيجاد قيمة المميز وتحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية؟

  • أ) 1. رسم التمثيل البياني. 2. إيجاد نقاط التقاطع مع المحور X.
  • ب) 1. تحديد قيم a, b, c. 2. حساب Δ = b² - 4ac. 3. تحليل إشارة Δ لتحديد عدد ونوع الجذور.
  • ج) 1. قسمة جميع الحدود على a. 2. إكمال المربع.
  • د) 1. تحليل المعادلة إلى عوامل. 2. مساواة كل عامل بالصفر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. تحديد قيم a, b, c. 2. حساب Δ = b² - 4ac. 3. تحليل إشارة Δ لتحديد عدد ونوع الجذور.

الشرح: 1. الخطوة 1: كتابة المعادلة بالصيغة القياسية ax² + bx + c = 0 وتحديد a, b, c. 2. الخطوة 2: تطبيق الصيغة Δ = b² - 4ac. 3. الخطوة 3: إذا Δ > 0: جذران حقيقيان مختلفان. إذا Δ = 0: جذر حقيقي مكرر. إذا Δ < 0: جذران مركبان مترافقان.

تلميح: ابدأ بتحديد المعاملات من الصورة القياسية للمعادلة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي مما يلي يمثل نتيجة صحيحة إذا كان مميز المعادلة التربيعية يساوي صفراً؟

  • أ) يوجد جذران حقيقيان مختلفان.
  • ب) يوجد جذران مركبان.
  • ج) يوجد جذر حقيقي واحد مكرر (ضعف).
  • د) لا يمكن تحديد الجذور.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يوجد جذر حقيقي واحد مكرر (ضعف).

الشرح: 1. المميز Δ = b² - 4ac. 2. إذا كان Δ = 0، فإن الجذر التربيعي له يساوي صفراً. 3. في القانون العام: x = [-b ± √0] / 2a = -b/2a. 4. النتيجة: جذر حقيقي واحد فقط، ولكنه يظهر مرتين (مكرر).

تلميح: ماذا يعني أن القيمة تحت الجذر في القانون العام تساوي صفراً؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

للمعادلة التربيعية 3x² - 5x + k = 0، إذا كان المميز = 1، فما عدد ونوع جذورها؟

  • أ) جذر حقيقي واحد مكرر.
  • ب) جذران مركبان مترافقان.
  • ج) جذران حقيقيان مختلفان.
  • د) لا يمكن تحديد الجذور دون معرفة قيمة k.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: جذران حقيقيان مختلفان.

الشرح: 1. المميز Δ = 1. 2. بما أن Δ > 0 (موجب)، فإن الجذر التربيعي له عدد حقيقي موجب. 3. في القانون العام: x = [-b ± √1] / 2a. 4. النتيجة: قيمتان مختلفتان لـ x، أي جذران حقيقيان مختلفان.

تلميح: ما العلاقة بين إشارة المميز وعدد الجذور الحقيقية؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب