سؤال 1: 1) تصوير: ارجع إلى فقرة "لماذا؟". ما احتمال أن يُختار علي ليقف في أقصى يسار الصورة، وأن يقف فراس في أقصى يمينها؟
الإجابة: $\frac{٢}{٢٤} = \frac{١}{١٢}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا مجموعة من الطلاب سيتم ترتيبهم في صف للتصوير. - نريد حساب احتمال وقوع حدثين معاً: 1. أن يقف علي في أقصى يسار الصورة. 2. أن يقف فراس في أقصى يمين الصورة. - الإجابة المعطاة هي كسر، مما يعني أننا نتعامل مع حساب احتمالات.
- **الخطوة 2 (فهم المسألة):** لحساب الاحتمال، نستخدم القانون الأساسي: $$P = \frac{\text{عدد الحالات المطلوبة}}{\text{عدد الحالات الكلية}}$$ لذلك، علينا أولاً معرفة: 1. عدد الطلاب الإجمالي الذين سيتم ترتيبهم في الصف. 2. عدد الطرق الممكنة لترتيبهم جميعاً (عدد الحالات الكلية). 3. عدد الطرق التي يكون فيها علي في أقصى اليسار وفراس في أقصى اليمين (عدد الحالات المطلوبة).
- **الخطوة 3 (حساب الحالات الكلية):** من الإجابة النهائية $\frac{2}{24}$، نلاحظ أن المقام هو 24. عدد الحالات الكلية لترتيب مجموعة من الأشخاص في صف يُحسب باستخدام المضروب (Factorial). إذا كان عدد الطلاب هو $n$، فإن عدد الترتيبات الممكنة هو $n!$. بما أن المقام هو 24، و $24 = 4!$، فهذا يعني أن: $$n! = 24$$ وبالتالي، عدد الطلاب $n = 4$. إذن، لدينا 4 طلاب سيتم ترتيبهم. عدد الطرق لترتيب 4 طلاب هو: $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
- **الخطوة 4 (حساب الحالات المطلوبة):** نريد عدد الترتيبات التي يكون فيها: - علي في الموضع الأول (أقصى اليسار). - فراس في الموضع الرابع (أقصى اليمين). بما أن مواقع علي وفراس ثابتة ومحددة (الموضع 1 والموضع 4)، يتبقى لدينا طالبان آخران. هذان الطالبان يجب ترتيبهما في الموضعين الوسطيين (الموضع 2 والموضع 3). عدد طرق ترتيب طالبين في موضعين هو: $$2! = 2 \times 1 = 2$$ إذن، عدد الحالات المطلوبة = 2.
- **الخطوة 5 (حساب الاحتمال):** الآن نعوض في قانون الاحتمال: $$P = \frac{\text{عدد الحالات المطلوبة}}{\text{عدد الحالات الكلية}} = \frac{2}{24}$$ نلاحظ أن الكسر $\frac{2}{24}$ يمكن تبسيطه بقسمة البسط والمقام على 2: $$\frac{2}{24} = \frac{2 \div 2}{24 \div 2} = \frac{1}{12}$$ إذن الإجابة هي: **$\frac{1}{12}$**