تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تدرب وحل المسائل (صفحة 121)

المفاهيم الأساسية

المميز: قيمة تُحسب من معادلة تربيعية على الصورة القياسية لتحديد عدد ونوع جذورها. (موجود في أسئلة 17-28).

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

الهدف من الدرس

حل معادلات تربيعية صعبة

#### مثال: h = -4.9t² + 117t + 42 = 0

القانون العام

اشتقاق القانون من الصورة القياسية

#### 1. ax² + bx + c = 0

#### 2. اقسم على a: x² + (b/a)x + c/a = 0

#### 3. اطرح c/a: x² + (b/a)x = -c/a

#### 4. أكمل المربع: x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

#### 5. حلل الطرف الأيسر: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

#### 6. خاصية الجذر: x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

#### 7. اطرح b/2a: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

الصيغة النهائية

#### x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

خطوات التطبيق

#### 1. كتابة المعادلة على الصورة: ax^2 + bx + c = 0

#### 2. تحديد قيم a و b و c

#### 3. التعويض في القانون العام

#### 4. تبسيط المقدار تحت الجذر (المميز)

#### 5. إيجاد قيم x

مثال توضيحي (من الصفحة)

#### حل: x^2 - 10x - 11 = 0

##### 1. a=1, b=-10, c=-11

##### 2. x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}

##### 3. x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2}

##### 4. x = \frac{10 \pm 12}{2}

##### 5. الحلان: x = 11 أو x = -1

المميز

تعريف: b^2 - 4ac

دوره: تحديد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية

العلاقة بين قيمة المميز وعدد الجذور وأنواعها

#### إذا كان b^2 - 4ac > 0 والعبارة b^2 - 4ac مربع كامل

##### جذران حقيقيان نسبيان

#### إذا كان b^2 - 4ac > 0 والعبارة b^2 - 4ac ليست مربعاً كاملاً

##### جذران حقيقيان غير نسبيين

#### إذا كان b^2 - 4ac = 0

##### جذر حقيقي مكرر مرتين

#### إذا كان b^2 - 4ac < 0

##### جذران مركبان مترافقان

حالة خاصة

#### إذا كان المميز = 0

##### نحصل على جذر نسبي واحد (مكرر مرتين)

##### مثال: x^2 + 8x + 16 = 0

###### 1. a=1, b=8, c=16

###### 2. x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2}

###### 4. x = -4 (مكرر مرتين)

#### إذا كان المميز > 0 وليس مربعاً كاملاً

##### نحصل على جذرين غير نسبيين

##### مثال: 2x^2 - 6x - 7 = 0

###### 1. a=2, b=-6, c=-7

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{4}

###### 4. x = \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}

###### 5. الحلان التقريبيان: x \approx -0.9 أو x \approx 3.9

الجذور المركبة

حالة المميز السالب

#### إذا كان المميز < 0

##### نحصل على جذرين مركبين مترافقين

##### مثال: x^2 - 6x + 10 = 0

###### 1. a=1, b=-6, c=10

###### 2. x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}

###### 3. x = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2}

###### 4. \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i

###### 5. x = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i

###### 6. الحلان: 3 + i و 3 - i (عددان مركبان مترافقان)

التحقق من الحلول المركبة

#### التعويض في المعادلة الأصلية

#### استخدام خاصية i^2 = -1

ملخص طرق الحل

التمثيل البياني

#### إمكانية الاستعمال: أحياناً

#### الحالات: عندما لا يطلب الحل الدقيق، أو للتحقق من معقولية الحلول.

التحليل إلى العوامل

#### إمكانية الاستعمال: أحياناً

#### الحالات: عندما يساوي الحد الثابت صفراً (مثال: x² – 7x = 0) أو عندما يكون من السهل إيجاد العوامل (مثال: 0 = 6 + 5x – x²).

خاصية الجذر التربيعي

#### إمكانية الاستعمال: أحياناً

#### الحالات: مع المعادلات المكتوبة على صورة مربع كامل يساوي ثابتاً (مثال: 18 = (5 – x)²).

إكمال المربع

#### إمكانية الاستعمال: دائماً

#### الحالات: مع المعادلات المكتوبة على الصورة: c + bx + x² = 0 (مثال: 0 = 14 – 6x + x²).

القانون العام

#### إمكانية الاستعمال: دائماً

#### الحالات: عندما لا يمكن أو يصعب استعمال الطرق الأخرى (مثال: 0 = 9.7 + 1.8x – 2.3x²).

تدرب وحل المسائل (صفحة 121)

الجزء الأول: حل المعادلات باستعمال القانون العام

#### أمثلة مرجعية: 1، 4

#### تمارين (13-16): حل المعادلات التالية:

##### 13. x² + 45x = -200

##### 14. 4x² - 6 = -12x

##### 15. 5x² - 9 = 11x

##### 16. 12x² + 9x - 2 = -17

الجزء الثاني: إيجاد المميز وعدد الجذور وأنواعها

#### مثال مرجعي: 5

#### خطوات المطلوبة لكل معادلة (17-28):

##### أ) أوجد قيمة المميز.

##### ب) أوجد عدد الجذور، وحدد أنواعها.

#### تمارين (17-28): معادلات متنوعة للتطبيق.

الجزء الثالث: تطبيقات على الدوال التربيعية

#### 29. التدخين ومرض سرطان الرئة

##### الدالة: y = 0.26x² - 0.55x + 91.81

###### حيث: y عدد المصابين لكل 100000 شخص، x عدد السنوات بعد عام 2000.

##### المطلوب:

###### أ) احسب عدد المصابين في عامي 2010، 2017.

###### ب) استعمل القانون العام لإيجاد x عندما y = 50.

###### ج) متى يصبح معدل الإصابة صفراً؟ وهل هذا معقول؟

##### جدول البيانات:

###### عدد الإصابات بسرطان الرئة لكل 100000 شخص

| العام | عدد الإصابات |

|-------|--------------|

| 2000 | 92 |

| 2002 | 90 |

| 2004 | 85 |

| 2010 | (يُحسب) |

| 2017 | (يُحسب) |

##### الربط مع الحياة: برنامج مكافحة التدخين في المملكة العربية السعودية.

#### 30. نظرية الأعداد

##### القانون: S = \frac{1}{2} n (n + 1) (مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n).

##### المطلوب: كم عددًا صحيحًا متتاليًا (بدءًا من 1) مجموعها 666؟

#### 31. ترفيه: حركة لعبة

##### الدالة: h = -16t² - 64t + 60

###### حيث: h الارتفاع بالأقدام، t الزمن بالثواني.

##### المطلوب: ما الزمن الذي تستغرقه اللعبة للهبوط من ارتفاع 60 قدمًا إلى 0 قدم؟

```

نقاط مهمة

• الصفحة تحتوي على تمارين تطبيقية على القانون العام والمميز.
• التمارين مقسمة إلى ثلاثة أجزاء: حل المعادلات، تحليل المميز، ثم تطبيقات حياتية.
• التطبيقات تشمل: نمذجة الإصابات بمرض سرطان الرئة، نظرية الأعداد، وحركة الأجسام.
• يوجد ارتباط بصري بين التمرين 29 وجدول بيانات وصورة توضيحية للرئتين.

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام: الأمثلة 1,4

x² + 45x = -200

4x² - 6 = -12x

5x² - 9 = 11x

12x² + 9x - 2 = -17

أجب عن الفرعين a, b لكل معادلة تربيعية مما يأتي: مثال 5

2x² + 3x - 3 = 0

3x² - 3x + 8 = 0

2x² + 4x + 7 = 0

-5x² + 4x + 1 = 0

x² - 6x = -9

x² + 2x - 4 = -9

-6x² + 5 = -4x + 8

5x² + 8x = 0

8x² = -2x + 1

4x - 3 = -12x²

0.8x² + 2.6x = -3.2

0.6x² + 1.4x = 4.8

التدخين: تبذل دول العالم جهودًا مكثفة للتوعية بأخطار التدخين، وقد أثمرت عن تناقص أعداد المدخنين. وفي إحدى البلدان أجريت دراسة حول الإصابات بمرض سرطان الرئة بين كل 100000 شخص في بعض الأعوام، وكانت نتائجها التقريبية كما في الجدول المجاور. ويمكن تمثيل العدد التقريبي للمصابين بالدالة 0.26x² - 0.55x + 91.81 = y، حيث x عدد السنوات بعد عام 2000.

تأسس برنامج مكافحة التدخين التابع لوزارة الصحة في المملكة العربية السعودية في 1423/2/23هـ؛ لمكافحة التدخين بكافة أنواعه ووسائله. ويقدم خدماته في كافة المجالات التوعوية والعلمية والاستشارية المتعلقة بالتدخين وأضراره وطرق مكافحته في مدن ومحافظات المملكة. المصدر: البوابة الإلكترونية لوزارة الصحة www.moh.gov.sa/depts/TCP/Pages/About.aspx

نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية 1, 2, 3, ..., n بالقانون S = ½ n (n + 1). فكم عددًا صحيحًا متتاليًا بدءًا بالعدد 1 مجموعها يساوي 666؟

ترفيه: يُعطى ارتفاع لعبة ترفيهية عن سطح الأرض وهي تتحرك بسرعة تصل إلى 80 ft/s بالدالة: h = -16t² - 64t + 60 ، حيث h الارتفاع بالأقدام، و t الزمن بالثواني. فإذا علمت أنها ترتفع مسافة 60 ft ، فما الزمن الذي يستغرقه هبوطها من ارتفاع 60 ft إلى 0 ft ؟

الدرس 2-3 القانون العام والمميز

121

تدرب وحل المسائل حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام: الأمثلة 1,4 x² + 45x = -200 4x² - 6 = -12x 5x² - 9 = 11x 12x² + 9x - 2 = -17 أجب عن الفرعين a, b لكل معادلة تربيعية مما يأتي: مثال 5 2x² + 3x - 3 = 0 3x² - 3x + 8 = 0 2x² + 4x + 7 = 0 -5x² + 4x + 1 = 0 x² - 6x = -9 x² + 2x - 4 = -9 -6x² + 5 = -4x + 8 5x² + 8x = 0 8x² = -2x + 1 4x - 3 = -12x² 0.8x² + 2.6x = -3.2 0.6x² + 1.4x = 4.8 التدخين: تبذل دول العالم جهودًا مكثفة للتوعية بأخطار التدخين، وقد أثمرت عن تناقص أعداد المدخنين. وفي إحدى البلدان أجريت دراسة حول الإصابات بمرض سرطان الرئة بين كل 100000 شخص في بعض الأعوام، وكانت نتائجها التقريبية كما في الجدول المجاور. ويمكن تمثيل العدد التقريبي للمصابين بالدالة 0.26x² - 0.55x + 91.81 = y، حيث x عدد السنوات بعد عام 2000. تأسس برنامج مكافحة التدخين التابع لوزارة الصحة في المملكة العربية السعودية في 1423/2/23هـ؛ لمكافحة التدخين بكافة أنواعه ووسائله. ويقدم خدماته في كافة المجالات التوعوية والعلمية والاستشارية المتعلقة بالتدخين وأضراره وطرق مكافحته في مدن ومحافظات المملكة. المصدر: البوابة الإلكترونية لوزارة الصحة www.moh.gov.sa/depts/TCP/Pages/About.aspx نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية 1, 2, 3, ..., n بالقانون S = ½ n (n + 1). فكم عددًا صحيحًا متتاليًا بدءًا بالعدد 1 مجموعها يساوي 666؟ ترفيه: يُعطى ارتفاع لعبة ترفيهية عن سطح الأرض وهي تتحرك بسرعة تصل إلى 80 ft/s بالدالة: h = -16t² - 64t + 60 ، حيث h الارتفاع بالأقدام، و t الزمن بالثواني. فإذا علمت أنها ترتفع مسافة 60 ft ، فما الزمن الذي يستغرقه هبوطها من ارتفاع 60 ft إلى 0 ft ؟ الدرس 2-3 القانون العام والمميز 121