صفحة 122 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 مسائل مهارات التفكير العليا ومراجعة

المفاهيم الأساسية

* المميز: b^2 - 4ac ، يحدد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية.

* الجذر المكرر: يحدث عندما يكون المميز = 0.

* المربع الكامل: ثلاثية حدود يمكن كتابتها على صورة (x + d)^2 .

خريطة المفاهيم

```markmap

القانون العام والمميز

مسائل مهارات التفكير العليا

اكتشاف الخطأ (32)

#### تحليل عدد حلول: 7 = 3x² – 5x

التحدي (33)

#### حل معادلة مركبة: 0 = 5 + 4ix² - 4ix

التبرير (34)

#### تحليل صحة الجمل

##### أ. إشارة ac والجذور الحقيقية

##### ب. المميز > 1 والجذور غير النسبية

كتابة طرق الحل (35)

#### ثلاث طرق لحل: 0 = 15 – x² – 2x

#### التفضيل والسبب

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (36)

#### تحديد المعادلة ذات الجذر المكرر

اختيار من متعدد (37)

#### حساب المميز لـ: 0 = x² – 8x

مراجعة تراكمية

إكمال المربع (38-40)

#### إيجاد c لتصبح ثلاثية حدود مربعاً كاملاً

##### x² + 13x + c

##### x² + 2.4x + c

##### x² + (4/5)x + c

تبسيط الجذور التربيعية للأعداد السالبة (41-43)

#### تبسيط i²⁶

#### تبسيط √-16

#### تبسيط (4√-9) . (2√-25)

```

نقاط مهمة

تتضمن الصفحة ثلاثة أنواع رئيسية من الأنشطة: مسائل تفكير عليا، وتدريب على اختبار (اختيار من متعدد)، ومراجعة تراكمية.
تركز مسائل التفكير العليا على التحليل والتبرير واكتشاف الخطأ والمقارنة بين طرق الحل.
اختبار الفهم يتضمن تطبيق المميز لتحديد نوع الجذور وحساب قيمته.
المراجعة التراكمية تعود إلى مهارات سابقة مثل إكمال المربع والتعامل مع الأعداد المركبة (الجذور التربيعية للأعداد السالبة).

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا

--- SECTION: 32 ---
اكتشف الخطأ : حددت كل من هدى وندى عدد حلول للمعادلة 7 = 3x2 – 5x. فمن منهما إجابتها
صحيحة؟ وضح إجابتك.

--- SECTION: 33 ---
تحد: حل المعادلة 0 = 5 + 4ix2 - 4ix باستعمال القانون العام.

--- SECTION: 34 ---
تبرير: حدد ما إذا كانت كل جملة مما يأتي صحيحة دائمًا أو صحيحة أحيانًا أو غير صحيحة أبدًا.
ووضح إجابتك :
أ. إذا كانت إشارتا كل من المعاملين ac في المعادلة التربيعية المكتوبة على الصورة القياسية مختلفتين، فإن
جذري المعادلة حقيقيان.
ب. إذا كان مميز المعادلة التربيعية أكبر من 1، فإن لها جذرين حقيقيين غير نسبيين.

--- SECTION: 35 ---
اكتب : صف ثلاث طرائق مختلفة لحل المعادلة: 0 = 15 – x2 – 2x. وأيها تفضل؟ ولماذا؟

--- SECTION: تدريب على اختبار ---
تدريب على اختبار

--- SECTION: 36 ---
أي المعادلات الآتية لها جذر حقيقي مكرر مرتين?
Options:
A. x²-2x+5=0
B. x²-2x-5=0
C. x² = 19
D. x2-8x=-16
  A. x²-2x+5=0
  B. x²-2x-5=0
  C. x² = 19
  D. x2-8x=-16

--- SECTION: 37 ---
قيمة المميز للمعادلة 0 = x2 – 8x هي:
Options:
A. -64
B. -8
C. 8
D. 64
  A. -64
  B. -8
  C. 8
  D. 64

--- SECTION: مراجعة تراكمية ---
مراجعة تراكمية

--- SECTION: 38 ---
أوجد قيمة ، التي تجعل كل ثلاثية حدود مما يأتي مربعًا كاملا. ثم اكتبها على صورة مربع كامل: (مهارة سابقة)
x² + 13x + c

--- SECTION: 39 ---
أوجد قيمة ، التي تجعل كل ثلاثية حدود مما يأتي مربعًا كاملا. ثم اكتبها على صورة مربع كامل: (مهارة سابقة)
x²+2.4x + c

--- SECTION: 40 ---
أوجد قيمة ، التي تجعل كل ثلاثية حدود مما يأتي مربعًا كاملا. ثم اكتبها على صورة مربع كامل: (مهارة سابقة)
x² + 4/5 x + c

--- SECTION: 41 ---
بسط كلا مما يأتي : ( الدرس (1-3)
i 26

--- SECTION: 42 ---
بسط كلا مما يأتي : ( الدرس (1-3)
√-16

--- SECTION: 43 ---
بسط كلا مما يأتي : ( الدرس (1-3)
(4√-9).(2√-25)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 3: أعداد: تم تكوين عدد مكون من 6 أرقام عشوائياً باستعمال الأرقام 1, 5, 2, 1, 5, 3، ما احتمال أن يكون أول رقم في العدد هو 5 وآخر رقم هو 5 أيضاً؟

الإجابة: س 3: التباديل الكلي = 180 الملائمة = 12 الاحتمال = 1/15

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا مجموعة من الأرقام: 1، 5، 2، 1، 5، 3. - نريد تكوين عدد مكون من 6 أرقام باستخدام هذه الأرقام. - نريد حساب احتمال أن يكون الرقم الأول في العدد هو 5 وأن يكون الرقم الأخير هو 5 أيضاً.
**الخطوة 2 (حساب عدد الحالات الكلية):** عدد الأرقام هو 6، لكن بعضها مكرر: - الرقم 1 مكرر مرتين. - الرقم 5 مكرر مرتين. - الرقم 2 مرة واحدة. - الرقم 3 مرة واحدة. عدد التباديل الكلي (أي عدد الطرق لترتيب هذه الأرقام الستة) مع وجود تكرار يُحسب بالقانون: $$\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{2 \times 2} = \frac{720}{4} = 180$$ إذن عدد الحالات الكلية الممكنة لتكوين العدد هو 180.
**الخطوة 3 (حساب عدد الحالات الملائمة):** نريد الحالات التي يكون فيها الرقم الأول 5 والرقم الأخير 5 أيضاً. - نثبت الرقم 5 في المركز الأول. - نثبت الرقم 5 في المركز الأخير. - يتبقى لدينا 4 مراكز في المنتصف (المراكز 2، 3، 4، 5) نريد ملؤها بالأرقام المتبقية. الأرقام المتبقية بعد تثبيت رقمين 5 هما: 1، 1، 2، 3. عدد طرق ترتيب هذه الأرقام الأربعة مع وجود تكرار (الرقم 1 مكرر مرتين) هو: $$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$$ إذن عدد الحالات الملائمة (التي يكون فيها أول رقم 5 وآخر رقم 5) هو 12.
**الخطوة 4 (حساب الاحتمال):** الاحتمال = (عدد الحالات الملائمة) / (عدد الحالات الكلية). $$\frac{12}{180} = \frac{1}{15}$$ إذن الإجابة هي: **$\frac{1}{15}$**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

أي مما يلي يمثل شرطًا كافيًا ليكون للمعادلة التربيعية (على الصورة القياسية ax² + bx + c = 0) جذرين حقيقيين؟

أ) أن يكون المعاملان a و c مختلفي الإشارة.
ب) أن يكون المعامل b أكبر من صفر.
ج) أن يكون مميز المعادلة (b² - 4ac) أكبر من أو يساوي صفرًا.
د) أن يكون المعامل c سالبًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن يكون مميز المعادلة (b² - 4ac) أكبر من أو يساوي صفرًا.

الشرح: 1. طبيعة جذور المعادلة التربيعية تعتمد على قيمة المميز (Δ = b² - 4ac). 2. إذا كان Δ > 0: جذران حقيقيان مختلفان. 3. إذا كان Δ = 0: جذر حقيقي مكرر (جذر واحد). 4. إذا كان Δ < 0: جذران مركبان. 5. الشرط الضروري والكافي لوجود جذرين حقيقيين (مختلفين أو مكرر) هو Δ ≥ 0.

تلميح: فكر في العلاقة بين طبيعة الجذور وقيمة المميز.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي المعادلات التالية لها جذر حقيقي مكرر مرتين (أي مميزها يساوي صفرًا)؟

أ) x² - 2x + 5 = 0
ب) x² - 2x - 5 = 0
ج) x² - 19 = 0
د) x² - 8x + 16 = 0

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: x² - 8x + 16 = 0

الشرح: 1. المعادلة: x² - 8x = -16 → أعد كتابتها: x² - 8x + 16 = 0. 2. المميز Δ = b² - 4ac = (-8)² - 4*(1)*(16) = 64 - 64 = 0. 3. بما أن Δ = 0، فإن للمعادلة جذر حقيقي مكرر مرتين. 4. الخيارات الأخرى: أ) x²-2x+5=0 → Δ=4-20=-16 < 0 (جذور مركبة). ب) x²-2x-5=0 → Δ=4+20=24 > 0 (جذران حقيقيان مختلفان). ج) x²=19 → x²-19=0 → Δ=0+76=76 > 0 (جذران حقيقيان مختلفان).

تلميح: الجذر المكرر يعني أن المميز (b² - 4ac) = 0. أعد كتابة كل معادلة على الصورة القياسية ثم احسب المميز.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل

ما قيمة الثابت c التي تجعل ثلاثية الحدود x² + 13x + c مربعًا كاملاً؟

أ) 13
ب) 26
ج) 169
د) 169/4

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 169/4 أو 42.25

الشرح: 1. ثلاثية الحدود: x² + 13x + c. 2. المعامل b = 13. 3. لحساب قيمة c التي تجعلها مربعًا كاملاً: c = (b/2)². 4. c = (13/2)² = (169/4) = 42.25. 5. تصبح ثلاثية الحدود: x² + 13x + (169/4) = (x + 13/2)².

تلميح: في ثلاثية الحدود x² + bx + c، تكون مربعًا كاملاً إذا كان c = (b/2)².

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي من المعادلات التربيعية الآتية يكون لها جذر حقيقي واحد مكرر مرتين؟

أ) x² - 2x + 5 = 0
ب) x² - 2x - 5 = 0
ج) x² - 8x + 16 = 0
د) x² - 19 = 0

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: x² - 8x + 16 = 0

الشرح: 1. نحدد المعاملات في المعادلة x² - 8x + 16 = 0 وهي: a=1, b=-8, c=16. 2. نعوض في قانون المميز: D = b² - 4ac. 3. الحساب: D = (-8)² - 4(1)(16) = 64 - 64 = 0. 4. بما أن قيمة المميز تساوي صفرًا، فإن للمعادلة جذرًا حقيقيًا واحدًا مكررًا مرتين. 5. الخيارات الأخرى تعطي مميزًا أكبر من الصفر (جذران مختلفان) أو أصغر من الصفر (جذران مركبان).

تلميح: يكون للمعادلة جذر مكرر مرتين فقط عندما تكون قيمة المميز (b² - 4ac) مساوية للصفر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط