صفحة 124 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 كتابة المعادلة التربيعية بمعرفة جذريها

المفاهيم الأساسية

مجموع الجذرين: للمعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0، يكون r₁ + r₂ = -b/a.

حاصل ضرب الجذرين: للمعادلة نفسها، يكون r₁ * r₂ = c/a.

خريطة المفاهيم

```markmap

مجموع الجذرين وحاصل ضربهما

الهدف

كتابة المعادلة التربيعية بمعرفة مجموع جذريها وحاصل ضربهما

المفهوم الأساسي

للمعادلة: ax² + bx + c = 0

#### مجموع الجذرين (r₁ + r₂) = -b/a

#### حاصل ضرب الجذرين (r₁ . r₂) = c/a

مثال توضيحي

المعادلة: x² + 5x - 24 = 0

#### الجذران: 3 و -8

#### المجموع: 3 + (-8) = -5

#### حاصل الضرب: 3 × (-8) = -24

الاستنتاج

يمكن كتابة المعادلة التربيعية إذا علم جذراها

خطوات الحل

الخطوة 1: أوجد مجموع الجذرين

الخطوة 2: أوجد حاصل ضرب الجذرين

الخطوة 3: اكتب المعادلة

#### 1. عوض في العلاقات: -b/a = المجموع، c/a = حاصل الضرب

#### 2. اختر قيمة مناسبة لـ a (مثل 1)

#### 3. أوجد قيمتي b و c

#### 4. اكتب المعادلة بالصيغة: ax² + bx + c = 0

أمثلة من الصفحة

مثال 1: جذراها 2 و -7

#### المجموع = -5

#### حاصل الضرب = -14

#### المعادلة: x² + 5x - 14 = 0

مثال 2: جذراها 3/4 و -12/5

#### المجموع = -33/20

#### حاصل الضرب = -36/20

#### المعادلة: 20x² + 33x - 36 = 0

```

نقاط مهمة

• يمكن كتابة المعادلة التربيعية إذا عُلم جذراها فقط، باستخدام علاقتي المجموع والضرب.
• الخطوات ثابتة: (1) إيجاد المجموع، (2) إيجاد حاصل الضرب، (3) كتابة المعادلة.
• عند اختيار قيمة لـ `a` (معامل x²)، نختار عادةً القيمة التي تجعل المعاملات أعداداً صحيحة.
• التمارين تتضمن حالات متنوعة: جذور كسرية، جذور تحتوي على جذور تربيعية، وجذور مركبة.

النشاط 1 استعمال مجموع جذرين وحاصل ضربهما اكتب المعادلة التربيعية التي جذراها 2,7- الخطوة 1 : أوجد مجموع الجذرين: r₁ + r₂ = 2 + (-7) = -5 الخطوة 2 : أوجد حاصل ضرب الجذرين r₁ * r₂ = 2 (-7) = -14 الخطوة 3 : اكتب المعادلة: بما أن -5 = -b/a ، -14 = c/a ، فإذا كانت 1 = a فإن: 14- = c ، 5 = b . وبالتالي المعادلة : 0 = 14 + 5x + x² تحقق المطلوب. النشاط 2 استعمال مجموع جذرين وحاصل ضربهما اكتب المعادلة التربيعية التي جذراها -12/5 ، 3/4. الخطوة 1 : أوجد مجموع الجذرين: r₁ + r₂ = 3/4 + (-12/5) = 15/20 - 48/20 = -33/20 الخطوة 2 : أوجد حاصل ضرب الجذرين: r₁ * r₂ = 3/4 (-12/5) = -36/20 الخطوة 3 : اكتب المعادلة: بما أن -33/20 = -b/a ، -36/20 = c/a ؛ فإذا كانت 20 = a فإن: c = -36 ، b = 33 . وبالتالي المعادلة : 0 = 36 + 33x + 20x² تحقق المطلوب. --- SECTION: تمارين --- تمارين: اكتب المعادلة التربيعية التي جذراها العددان المعطيان في كل مما يأتي: -3/4, 5/8 (1) -7, 2/3 (2) ±2/5 (3) 4 ±√3 (4) 1 ±√6 (5) (-2 ±3√5)/7 (6) 7±3i (7) 5±8i (8) اكتب المعادلة التربيعية التي تحقق كلا مما يأتي: 9) مجموع جذريها 4 ، وحاصل ضربهما 13/12. 10) مجموع جذريها 5/6 ، وحاصل ضربهما 5/21.