سؤال 6: محاضرات: ذهبت مها وسعاد لحضور محاضرة علمية. إذا اختارت كلّ منهما مقعدًا في الصف المبين أدناه عشوائيًا، فما احتمال أن تختار مها المقعد C11، وسعاد المقعد C12؟
الإجابة: $\frac{1}{12} \times \frac{1}{11} = \frac{1}{132} :6س$
📚 معلومات الصفحة
الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2
الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم
نوع المحتوى: درس تعليمي
📝 ملخص الصفحة
📚 العمليات على كثيرات الحدود
المفاهيم الأساسية
وحيدة الحد: عدد، أو متغير، أو حاصل ضرب عدد في متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة، وتتكون من حد واحد فقط.
التّبسيط (simplifying): عملية تبسيط عبارات تتضمن قوى أو أسس سالبة.
درجة كثيرة الحدود (Degree of a polynomial): (مذكورة كمفردة فقط).
خريطة المفاهيم
```markmap
العمليات على كثيرات الحدود
ما سبق دراسته
إيجاد قيم القوى
ما ستتعلمه الآن
ضرب وحدات الحد وقسمتها
تبسيط عبارات تتضمن قوى
جمع كثيرات حدود وطرحها
خصائص الأسس (لأي x, y حقيقيين و a, b صحيحين موجبين)
ضرب القوى
#### x^a . x^b = x^{a + b}
قسمة القوى
#### x^a / x^b = x^{a - b} حيث x ≠ 0
الأس السالب
#### x^{-a} = 1/x^a
#### 1/x^{-a} = x^a حيث x ≠ 0
قوة القوة
#### (x^a)^b = x^{ab}
قوة ناتج الضرب
#### (xy)^a = x^a y^a
قوة ناتج القسمة
#### (x/y)^a = x^a / y^a حيث y ≠ 0
#### (x/y)^{-a} = y^a / x^a حيث x ≠ 0, y ≠ 0
القوة الصفرية
#### x^0 = 1 حيث x ≠ 0
```
نقاط مهمة
- الهدف من الخصائص هو مساعدتك على ضرب وحدات الحد وتبسيطها.
- تذكر أن وحيدة الحد هي اللبنة الأساسية لكثيرة الحدود.
- تطبيق الخصائص يكون عند وجود نفس الأساس في عمليات الضرب أو القسمة.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
فيما سبق؟
نوع: محتوى تعليمي
درست إيجاد قيم القوى.
والآن؟
نوع: محتوى تعليمي
أضرب وحدات الحد ضرباً وقسمة، وأبسط عبارات تتضمن قوى، وأجمع كثيرات حدود، وأطرحها.
المفردات:
نوع: محتوى تعليمي
التّبسيط
simplifying
درجة كثيرة الحدود
Degree of a polynomial
نوع: محتوى تعليمي
يستغرق وصول ضوء الشمس إلى الأرض 8 دقائق تقريباً؛ إذ يسير الضوء بسرعة كبيرة تصل إلى 3 × 10^8 m/s تقريباً.
ما الوقت الذي سيستغرقه وصول الضوء إلينا من مجرة تبعد مسافة 2.367 × 10^21 m تقريباً؟
نوع: محتوى تعليمي
تذكر أن وحيدة الحد هي: عدد، أو متغير، أو حاصل ضرب عدد في متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة، وتتكون من حد واحد فقط، والجدول الآتي يلخص خصائص الأسس التي تساعد على ضرب وحدات الحد وتبسيطها، حيث إن عملية تبسيط عبارات تتضمن قوى أو أسس سالبة.
ضرب وحدات الحد وقسمتها
نوع: محتوى تعليمي
أضف إلى
نوع: محتوى تعليمي
ملخص المفهوم
نوع: محتوى تعليمي
خصائص الأسس
نوع: محتوى تعليمي
لأي عددين حقيقيين X, Y، وعددين صحيحين موجبين a, b:
نوع: محتوى تعليمي
الخاصية
التعريف
ضرب القوى
x^a . x^b = x^a + b
قسمة القوى
x^a / x^b = x^a - b, حيث x ≠ 0
الأس السالب
x^-a = 1/x^a , 1/x^-a = x^a, حيث x ≠ 0
قوة القوة
(x^a)^b = x^ab
قوة ناتج الضرب
(xy)^a = x^a y^a
قوة ناتج القسمة
(x/y)^a = x^a / y^a, y ≠ 0
(x/y)^-a = y^a / x^a, x ≠ 0, y ≠ 0
القوة الصفرية
x^0 = 1, x ≠ 0
مثال
نوع: محتوى تعليمي
3^2 . 3^4 = 3^(2+4) = 3^6 = 729
p^2 . p^9 = p^(2+9) = p^11
مثال
نوع: محتوى تعليمي
9^5 / 9^2 = 9^(5-2) = 9^3
b^6 / b^4 = b^(6-4) = b^2
مثال
نوع: محتوى تعليمي
3^-5 = 1 / 3^5
1 / b^-7 = b^7
مثال
نوع: محتوى تعليمي
(3^2)^2 = 3^2 * 2 = 3^6
(d^2)^4 = d^2 * 4 = d^8
مثال
نوع: محتوى تعليمي
(2k)^4 = 2^4 k^4 = 16k^4
(ab)^3 = a^3 b^3
مثال
نوع: محتوى تعليمي
(x/y)^2 = x^2 / y^2
(x/y)^-a = y^a / x^a
مثال
نوع: محتوى تعليمي
(a/b)^-5 = b^5 / a^5
مثال
نوع: محتوى تعليمي
7^0 = 1
نوع: محتوى تعليمي
وزارة التعليم
الدرس 3-3 العمليات على كثيرات الحدود
📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: فيما سبق؟ ---
درست إيجاد قيم القوى.
--- SECTION: والآن؟ ---
أضرب وحدات الحد ضرباً وقسمة، وأبسط عبارات تتضمن قوى، وأجمع كثيرات حدود، وأطرحها.
--- SECTION: المفردات: ---
التّبسيط
simplifying
درجة كثيرة الحدود
Degree of a polynomial
يستغرق وصول ضوء الشمس إلى الأرض 8 دقائق تقريباً؛ إذ يسير الضوء بسرعة كبيرة تصل إلى 3 × 10^8 m/s تقريباً.
ما الوقت الذي سيستغرقه وصول الضوء إلينا من مجرة تبعد مسافة 2.367 × 10^21 m تقريباً؟
تذكر أن وحيدة الحد هي: عدد، أو متغير، أو حاصل ضرب عدد في متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة، وتتكون من حد واحد فقط، والجدول الآتي يلخص خصائص الأسس التي تساعد على ضرب وحدات الحد وتبسيطها، حيث إن عملية تبسيط عبارات تتضمن قوى أو أسس سالبة.
--- SECTION: ضرب وحدات الحد وقسمتها ---
--- SECTION: أضف إلى ---
--- SECTION: ملخص المفهوم ---
--- SECTION: خصائص الأسس ---
--- SECTION: لأي عددين حقيقيين X, Y، وعددين صحيحين موجبين a, b: ---
الخاصية
التعريف
ضرب القوى
x^a . x^b = x^a + b
قسمة القوى
x^a / x^b = x^a - b, حيث x ≠ 0
الأس السالب
x^-a = 1/x^a , 1/x^-a = x^a, حيث x ≠ 0
قوة القوة
(x^a)^b = x^ab
قوة ناتج الضرب
(xy)^a = x^a y^a
قوة ناتج القسمة
(x/y)^a = x^a / y^a, y ≠ 0
(x/y)^-a = y^a / x^a, x ≠ 0, y ≠ 0
القوة الصفرية
x^0 = 1, x ≠ 0
--- SECTION: مثال ---
3^2 . 3^4 = 3^(2+4) = 3^6 = 729
p^2 . p^9 = p^(2+9) = p^11
--- SECTION: مثال ---
9^5 / 9^2 = 9^(5-2) = 9^3
b^6 / b^4 = b^(6-4) = b^2
--- SECTION: مثال ---
3^-5 = 1 / 3^5
1 / b^-7 = b^7
--- SECTION: مثال ---
(3^2)^2 = 3^2 * 2 = 3^6
(d^2)^4 = d^2 * 4 = d^8
--- SECTION: مثال ---
(2k)^4 = 2^4 k^4 = 16k^4
(ab)^3 = a^3 b^3
--- SECTION: مثال ---
(x/y)^2 = x^2 / y^2
(x/y)^-a = y^a / x^a
--- SECTION: مثال ---
(a/b)^-5 = b^5 / a^5
--- SECTION: مثال ---
7^0 = 1
وزارة التعليم
الدرس 3-3 العمليات على كثيرات الحدود
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 9
سؤال 7: حفلات: وزّعت بطاقات مرقّمة من 1 إلى 50 على 50 شخصًا في حفلة، وكان حسين وزياد من بين الحاضرين. ما احتمال أن يكون حسين قد أخذ البطاقة رقم 14 وزياد البطاقة رقم 23؟
الإجابة: $\frac{1}{50} \times \frac{1}{49} = \frac{1}{2450} :7س$
سؤال 8: مجموعات: تمّ اختيار شخصين عشوائيًا من مجموعة من عشرة أشخاص. ما احتمال اختيار طارق أولاً ثم سليم ثانيًا؟
الإجابة: $\frac{1}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{90} :8س$
سؤال 9: أحرف ممغنطة: اشترى عدنان أحرفًا ممغنطة يمكن ترتيبها على باب ثلاجته، بحيث تشكل كلمات معينة. إذا اختار تبديلاً من الأحرف المبينة في الشكل المجاور عشوائيًا، فما احتمال أن تشكّل هذه الأحرف كلمة "مكالمات"؟
الإجابة: س9: عدد التبديلات = $\frac{7!}{2! 2!} = 1260$ الاحتمال = $\frac{1}{1260}$
سؤال 10: رموز بريدية: ما احتمال أن يكون الرمز البريدي 97275 لمجموعة عشوائية من الأرقام 7, 9, 5, 7, 2؟
الإجابة: س10: عدد التبديلات = $\frac{5!}{2!} = 60$ الاحتمال = $\frac{1}{60}$
سؤال 11: مجموعات: يرتب سامي المقاعد على صورة دوائر لعمل في مجموعات متعاونة. إذا كان في دائرة سامي 7 مقاعد، فما احتمال أن يكون مقعد سامي هو الأقرب إلى الباب؟
الإجابة: $\frac{1}{7} :11س$
سؤال 12: مدينة ألعاب: ذهب خليل وأصدقاؤه إلى مدينة ألعاب وقد اختاروا لعبة ذات مقاعد مرتبة في دائرة. إذا كان عدد المقاعد 8، فما احتمال أن يجلس خليل في المقعد الأبعد عن مدخل اللعبة؟
الإجابة: $\frac{1}{8} :12س$
سؤال 14: كرات: إذا وضعت 7 كرات في صف؛ ثلاث منها أرقامها 8، وثلاث أرقامها 9، والكرة السابعة رقمها 6. فما احتمال أن تكون الكرات ذات الرقم 8 عن يسار الكرة 6، والكرات ذات الرقم 9 عن يمينها؟
الإجابة: س14: عدد الترتيبات = $\frac{7!}{3! 3!} = 140$ الاحتمال = $\frac{1}{140}$
سؤال 15: مستقيمات: ما عدد المستقيمات التي يمكن رسمها من 10 نقاط ولا تقع أيّ ثلاث منها على استقامة واحدة؟ وضّح إجابتك.
الإجابة: س15: $\binom{10}{2} = 45$
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة
عند تبسيط ناتج قسمة قوتين لهما الأساس نفسه (مثل x^a ÷ x^b)، ما هي القاعدة الرياضية الصحيحة للتعامل مع الأسس؟
- أ) نجمع أس البسط مع أس المقام (a + b).
- ب) نضرب أس البسط في أس المقام (a × b).
- ج) نطرح أس المقام من أس البسط (a - b).
- د) نقسم أس البسط على أس المقام (a ÷ b).
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: نطرح أس المقام من أس البسط (a - b).
الشرح: 1. تعتمد هذه العملية على خاصية 'قسمة القوى' الموضحة في ملخص المفهوم. 2. تنص القاعدة على أنه عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، يتم طرح الأس الموجود في المقام من الأس الموجود في البسط. 3. الصيغة الرياضية هي: x^a / x^b = x^(a-b). 4. يشترط دائماً أن يكون الأساس (x) لا يساوي صفراً لضمان معرفة القيمة.
تلميح: تذكر أن القسمة هي العملية العكسية للضرب؛ وفي الضرب نجمع الأسس، فماذا نفعل في القسمة؟
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما هي الصيغة الرياضية الصحيحة التي تمثل خاصية "قوة القوة" لتبسيط العبارات الأسية، حيث x أساس حقيقي و a, b أعداد صحيحة؟
- أ) (x^a)^b = x^{a+b}
- ب) (x^a)^b = x^{a-b}
- ج) (x^a)^b = x^{ab}
- د) (x^a)^b = x^{a/b}
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: (x^a)^b = x^{ab}
الشرح: وفقاً لخصائص الأسس المذكورة في الدرس، فإن خاصية 'قوة القوة' تُستخدم لتبسيط العبارات التي تحتوي على أس مرفوع لأس آخر، وذلك من خلال ضرب الأسس في بعضها البعض. الخطوات هي: 1. تحديد الأساس (x). 2. ضرب الأس الداخلي (a) في الأس الخارجي (b). 3. كتابة الناتج في صورة أسية واحدة: x مرفوعة للقوة (a × b).
تلميح: فكر في العملية الحسابية التي تربط الأس الداخلي بالأس الخارجي عند رفع القوة لقوة أخرى.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما الصيغة الصحيحة لتبسيط العبارة $(\frac{x}{y})^{-a}$ باستخدام خصائص الأسس، حيث $x, y \neq 0$؟
- أ) \frac{y^a}{x^a}
- ب) \frac{x^a}{y^a}
- ج) -\frac{x^a}{y^a}
- د) \frac{1}{x^a y^a}
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: \frac{y^a}{x^a}
الشرح: تبسيط كسر مرفوع لأس سالب يتبع الخطوات التالية: 1. قاعدة الأس السالب للكسور تنص على أن رفع الكسر لأس سالب يساوي مقلوب الكسر مرفوعاً للأس الموجب نفسه. 2. يتم قلب الكسر من (x/y) ليصبح (y/x). 3. يتم توزيع الأس (a) على كل من البسط والمقام وفق خاصية قوة ناتج القسمة. 4. النتيجة النهائية هي y^a / x^a.
تلميح: تذكر تأثير الأس السالب على الكسر الأساسي وكيفية توزيع القوى.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
عند تبسيط عبارة رياضية تتضمن "قوة القوة" مثل (xᵃ)ᵇ، ما هي القاعدة الصحيحة المتبعة للتعامل مع الأسس؟
- أ) نجمع الأسسين (xᵃ⁺ᵇ)
- ب) نضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي (xᵃᵇ)
- ج) نطرح الأس الخارجي من الداخلي (xᵃ⁻ᵇ)
- د) نرفع الأس الداخلي لقوة الأس الخارجي (xᵃ^ᵇ)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: نضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي (xᵃᵇ)
الشرح: 1. قاعدة قوة القوة تنص على أنه عند رفع قوة إلى قوة أخرى، نقوم بضرب الأسس في بعضها. 2. الصيغة الرياضية هي: (xᵃ)ᵇ = xᵃˣᵇ. 3. مثال تطبيقي: (x²)³ = x²ˣ³ = x⁶. 4. يجب الحذر من الخلط بينها وبين قاعدة ضرب القوى (xᵃ . xᵇ) التي نجمع فيها الأسس.
تلميح: فرق بين حالة ضرب القوى ذات الأساسات المتشابهة وحالة رفع قوة إلى قوة أخرى.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما هي القاعدة الرياضية الصحيحة المتبعة عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه (خاصية قسمة القوى)؟
- أ) جمع أس البسط مع أس المقام
- ب) ضرب أس البسط في أس المقام
- ج) طرح أس المقام من أس البسط
- د) قسمة أس البسط على أس المقام
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: طرح أس المقام من أس البسط
الشرح: 1. عند قسمة وحيدات الحد التي لها نفس الأساس، نطبق خاصية 'قسمة القوى'. 2. تنص القاعدة رياضياً على أن: x^a / x^b = x^(a-b)، حيث x لا تساوي الصفر. 3. الإجراء المتخذ هو الإبقاء على الأساس كما هو، ثم طرح قيمة الأس الموجود في المقام من قيمة الأس الموجود في البسط.
تلميح: فكر في العملية العكسية لضرب القوى (التي تتطلب جمع الأسس).
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط