ملخص الدرس: كثيرات الحدود والعمليات عليها
كثيرات الحدود: هي عبارة عن وحيدة حد أو مجموع وحيدات حد. درجة كثيرة الحدود (بعد تبسيطها) هي أكبر درجة لوحيدات الحد المكونة لها.
تحديد إذا ما كانت العبارة كثيرة حدود ودرجتها:
x^4y^3 - 8x^5
هذه العبارة كثيرة حدود؛ لأن كل حد فيها هو وحيدة حد. درجة الحد الأول x^4y^3 هي 4+3=7، ودرجة الحد الثاني -8x^5 هي 5. لذا فإن درجة كثيرة الحدود هي 7.
\sqrt{x} + x + 4
هذه العبارة ليست كثيرة حدود؛ لأن \sqrt{x} ليست وحيدة حد.
x^{-3} + 2x^{-2} + 6
هذه العبارة ليست كثيرة حدود؛ لأن كلاً من x^{-3} و 2x^{-2} ليست وحيدة حد؛ حيث أن وحيدات الحد لا تتضمن متغيرات في المقام (أُس سالب).
تحقق من فهمك (2):
2A. \frac{x}{y} + 3x^2
هذه العبارة ليست كثيرة حدود؛ لأن الحد \frac{x}{y} (أو xy^{-1}) ليس وحيدة حد (يحتوي على متغير في المقام).
2B. x^5y + 9x^4y^3 - 2xy
هذه العبارة كثيرة حدود. درجة الحد 9x^4y^3 هي 4+3=7، وهي أكبر درجة، لذا درجة كثيرة الحدود هي 7.
عمليات على كثيرات الحدود: يمكن جمع وطرح كثيرات الحدود وتبسيطها عن طريق جمع الحدود المتشابهة.
أمثلة على العمليات:
أ) أوجد ناتج: (4x^2 - 5x + 6) - (2x^2 + 3x - 1)
الحل: نتخلص من الأقواس مع الانتباه لإشارة الطرح، ثم نجمع الحدود المتشابهة.
(4x^2 - 5x + 6) - (2x^2 + 3x - 1) = 4x^2 - 5x + 6 - 2x^2 - 3x + 1
= (4x^2 - 2x^2) + (-5x - 3x) + (6 + 1)
= 2x^2 - 8x + 7
ب) أوجد ناتج: (6x^2 - 7x + 8) + (-4x^2 + 9x - 5)
الحل (بطريقة الجمع الرأسي):
$$
\begin{array}{r}
6x^2 - 7x + 8 \\
+ \quad -4x^2 + 9x - 5 \\
\hline
2x^2 + 2x + 3 \\
\end{array}
$$
ملاحظة: يمكن حل هذه العمليات إما أفقياً (كما في المثال أ) أو رأسياً (كما في المثال ب).
تحقق من فهمك (3):
3A. أوجد ناتج: (-x^2 - 3x + 4) - (x^2 + 2x + 5)
الحل:
= -x^2 - 3x + 4 - x^2 - 2x - 5
= (-x^2 - x^2) + (-3x - 2x) + (4 - 5)
= -2x^2 - 5x - 1
3B. أوجد ناتج: (3x^2 - 6) + (x + 1)
الحل:
= 3x^2 - 6 + x + 1
= 3x^2 + x + (-6 + 1)
= 3x^2 + x - 5