صفحة 129 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العمليات على كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

كثيرة الحدود: عبارة جبرية تتكون من وحيدات حد مرتبطة بعمليات الجمع أو الطرح، ولا تحتوي على متغيرات في المقام أو تحت الجذر، ولا تحتوي على أسس سالبة للمتغيرات.

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على كثيرات الحدود

تبسيط العبارات الأسية

قواعد الأسس

• ضرب القوى: جمع الأسس
• قسمة القوى: طرح الأسس
• رفع القوة إلى قوة: ضرب الأسس

تبسيط الكسور

• تبسيط المعاملات
• تطبيق قواعد الأسس على المتغيرات

تحديد كثيرات الحدود ودرجاتها

شروط كثيرة الحدود

• لا متغيرات في المقام
• لا متغيرات تحت الجذر
• أسس المتغيرات أعداد صحيحة غير سالبة

درجة كثيرة الحدود

• أعلى أس في العبارة

العمليات على كثيرات الحدود

الجمع والطرح

• جمع أو طرح الحدود المتشابهة

الضرب

• ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود (خاصية التوزيع)
• ضرب كثيرة حدود في كثيرة حدود

التطبيقات الحياتية

تمثيل المسائل اللفظية

• تحويل السيناريو إلى تعبير جبري
• استخدام المتغيرات لتمثيل الكميات المجهولة

```

نقاط مهمة

• عند تبسيط العبارات الأسية، افترض أن أي متغير لا يساوي صفرًا.
• درجة كثيرة الحدود هي أعلى أس للمتغير فيها.
• عند جمع أو طرح كثيرات الحدود، اجمع أو اطرح الحدود المتشابهة فقط.
• عند ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود، وزع وحيدة الحد على كل حد داخل الأقواس.
• يمكن استخدام كثيرات الحدود لنمذجة مواقف واقعية وحساب قيم مجهولة.

--- SECTION: تأكد --- تأكد --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 بسط كلا مما يأتي مفترضًا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: (2 (2a³b⁻²)(-4a²b⁴) 1. (2a³b⁻²)(-4a²b⁴) 12x⁴y² 2xy⁵ 2. 12x⁴y² 2xy⁵ (2a²/3b)³ 3. (2a²/3b)³ (6g⁵h⁻⁴)³ 4. (6g⁵h⁻⁴)³ --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 حدد ما إذا كانت كل عبارة فيما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإن كانت كذلك فاذكر درجتها: 3x + 4y 5. 3x + 4y ½x² - 7y 6. ½x² - 7y x² + √x 7. x² + √x ab³-1 az⁴ + 3 8. ab³-1 az⁴ + 3 --- SECTION: الأمثلة 3,4,5 --- الأمثلة 3,4,5 أوجد ناتج كل مما يأتي واكتبه في أبسط صورة: (x² - 5x + 2) - (3x² + x − 1) 9. (x² - 5x + 2) - (3x² + x − 1) (3a + 4b) + (6a − 6b) 10. (3a + 4b) + (6a − 6b) 3x²(2xy - 3xy² + 4x²y³) 11. 3x²(2xy - 3xy² + 4x²y³) (n − 9)(n + 7) 12. (n − 9)(n + 7) --- SECTION: مثال 6 --- مثال 6 (13) رياضة : يمارس عثمان رياضتي الركض السريع ورفع الأثقال مدة 75 دقيقة يوميا. وعند ركضه يحرق 10 سعرات حرارية في الدقيقة، أما عندما يرفع الأثقال فيحرق 7.5 سعرات حرارية في الدقيقة. فإذا مارس رفع الأثقال x دقيقة في أحد الأيام، فاكتب كثيرة حدود تمثل عدد السعرات الحرارية التي حرقها في ممارسته للرياضتين ذلك اليوم. --- SECTION: تمارين ومسائل --- تمارين ومسائل --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 بسط كلا مما يأتي مفترضًا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: (5x³y⁻⁵)(4xy³) 14. (5x³y⁻⁵)(4xy³) -y³z⁵ y²z³ 15. -y³z⁵ y²z³ -7x⁵y⁵z⁴ 21x⁷y⁵z² 16. -7x⁵y⁵z⁴ 21x⁷y⁵z² (n⁵)⁴ 17. (n⁵)⁴ --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 حدد ما إذا كانت كل عبارة فيما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإن كانت كذلك فاذكر درجتها: 2x² - 3x + 5 18. 2x² - 3x + 5 a³ - 11 19. a³ - 11 5np n² - 2g h 20. 5np n² - 2g h √m - 7 21. √m - 7 --- SECTION: الأمثلة 3,4,5 --- الأمثلة 3,4,5 أوجد ناتج كل مما يأتي، واكتبه في أبسط صورة: (6a² + 5a + 10) - (4a² + 6a + 12) 22. (6a² + 5a + 10) - (4a² + 6a + 12) 4x(2x² + y) 23. 4x(2x² + y) (x - y)(x² + 2xy + y²) 24. (x - y)(x² + 2xy + y²) (a + b)(a³ - 3ab - b²) 25. (a + b)(a³ - 3ab - b²) --- SECTION: مثال 6 --- مثال 6 (26) مزرعة : استأجر سلمان عاملين بالتناوب لتنسيق مزرعته، فإذا تقاضى الأول 200 ريال عن كل يوم عمل، و تقاضى الثاني 150 ريالًا عن كل يوم عمل، واحتاجت المزرعة إلى 15 يوم عمل لتنسيقها، فاكتب كثيرة حدود تمثل تكلفة تنسيق المزرعة إذا عمل الأول مدة x يومًا. بسط كلا مما يأتي مفترضًا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: (8x²y³ / 24x³y²)⁴ 27. (8x²y³ / 24x³y²)⁴ (4x⁻²y³ / xy⁻⁴)⁻² 28. (4x⁻²y³ / xy⁻⁴)⁻² (a²b³)(ab)⁻² 29. (a²b³)(ab)⁻² (-3x³y)²(4xy²) 30. (-3x³y)²(4xy²) 3c²d(2c³d⁵) / 15c⁴d² 31. 3c²d(2c³d⁵) / 15c⁴d² ¼g²(8g + 12h - 16gh²) 32. ¼g²(8g + 12h - 16gh²) x⁻²(x⁴ - 3x³ + x⁻¹) 33. x⁻²(x⁴ - 3x³ + x⁻¹) a⁻³b²(ba³ + b⁻¹a² + b⁻²a) 34. a⁻³b²(ba³ + b⁻¹a² + b⁻²a) (n² - 7)(2n³ + 4) 35. (n² - 7)(2n³ + 4) (2x - 2y)³ 36. (2x - 2y)³