مثال 3 على اختبار - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قسمة كثيرات الحدود والقسمة التركيبية

المفاهيم الأساسية

القسمة التركيبية: طريقة مبسطة لقسمة كثيرة حدود على ثنائية حد (على الصورة x - r).

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على كثيرات الحدود

قسمة كثيرات الحدود

قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود (القسمة الطويلة)

#### خطوات الخوارزمية

• ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة
• قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه
• ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم
• تكرار الخطوات حتى يصبح باقي القسمة صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه

#### كتابة النتيجة مع الباقي

• يمكن كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق، مثل قسمة الأعداد الكلية.
• مثال: (a² + 7a - 11) ÷ (3 - a) = -a - 10 + \frac{19}{3-a}

القسمة التركيبية

• طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد (x - r)

#### خطوات القسمة التركيبية

• الخطوة 1: كتابة معاملات المقسوم مرتبة تنازلياً. كتابة الثابت r في الصندوق، وكتابة المعامل الأول أسفل الخط.
• الخطوة 2: ضرب المعامل الأول في r، وكتابة الناتج أسفل المعامل التالي.
• الخطوة 3: جمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه.
• الخطوة 4: تكرار الخطوتين 2 و3 حتى العمود الأخير.
• النتيجة: الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة (درجته أقل بواحد من درجة المقسوم)، والعدد الأخير هو الباقي.

```

نقاط مهمة

• عند قسمة كثيرتي حدود، قد ينتج باق كما في قسمة الأعداد الكلية.
• يمكن كتابة العبارة (a² + 7a – 11)(3 – a)^{-1} على صورة \frac{a² + 7a - 11}{3-a} لأن الأس -1 يعني القسمة.
• لإجراء القسمة الطويلة، قد نحتاج لإعادة ترتيب المقسوم عليه لتسهيل العملية (مثل كتابة 3 - a على الصورة -a + 3).
• إرشاد للدراسة: في أسئلة الاختيار من متعدد، يمكن اختبار صحة البدائل عن طريق تعويض قيمة مناسبة للمتغير في العبارة الأصلية وفي كل بديل.

قد ينتج باق عن قسمة كثيرتي حدود كما في قسمة الأعداد الكلية، فمثلا عند إيجاد 3 : 11 يكون الناتج 3 والباقي 2، وتكتب عادةً على الصورة ... ويمكنك كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق بالطريقة نفسها.

أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1-(a² + 7a – 11)(3 – a)؟

الاختيار من متعدد يمكنك حذف بعض البدائل عن طريق اختيار قيمة للمتغير a ثم تعويض هذه القيمة في العبارة الأصلية وفي البدائل وإيجاد قيمة كل منها.

بما أن العامل الثاني مرفوع للأس 1 ، فهذه إذن مسألة قسمة. (a²+7a-11)(3 – a)-1 =a² + 7a - 11 3-a

لتسهيل عملية القسمة، أعد كتابة a - 3 على الصورة 3 + a - -a+3/a²+ 7a - 11 (-) a²-3a 10a-11 -a(-a + 3) = a² - 3a 7a-(-3a) = 10a -10(-a + 3) = 10a - 30 -11-(-30) = 19 (-) 10a - 30 19 ناتج القسمة هو 10 - a-، والباقي 19 . لذا فإن 1-(a² + 7a – 11)(3 – a) = -a - 10 + 19 ، ومن ثم تكون الإجابة هي البديل C. 3-a

3) أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1-(r² + 5r + 7)(1 – r)؟

القسمة التركيبية هي طريقة مبسطة لقسمة كثيرة حدود على ثنائية حد.

القسمة التركيبية

الخطوة 1: اكتب معاملات المقسوم بعد ترتيب حدوده تنازليا بحسب درجتها. تأكد من أن المقسوم عليه على الصورة x-r ، ثم اكتب الثابت / في الصندوق، واكتب المعامل الأول أسفل الخط الأفقي. الخطوة 2 اضرب المعامل الأول في ، واكتب الناتج أسفل المعامل الذي يليه. الخطوة 3 اجمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه. الخطوة 4: كرر الخطوتين 3, 2 على ناتج الجمع في الخطوة السابقة حتى تصل إلى ناتج جمع العددين في العمود الأخير. الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة ودرجة الحد الأول أقل بواحد من درجة المقسوم والعدد الأخير هو الباقي.

قد ينتج باق عن قسمة كثيرتي حدود كما في قسمة الأعداد الكلية، فمثلا عند إيجاد 3 : 11 يكون الناتج 3 والباقي 2، وتكتب عادةً على الصورة ... ويمكنك كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق بالطريقة نفسها. --- SECTION: مثال 3 على اختبار --- أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1-(a² + 7a – 11)(3 – a)؟ a + 10 - 19 3-a A -a +10 B -a -10+19 C 3-a -a - 10 - 19 3-a D --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الاختيار من متعدد يمكنك حذف بعض البدائل عن طريق اختيار قيمة للمتغير a ثم تعويض هذه القيمة في العبارة الأصلية وفي البدائل وإيجاد قيمة كل منها. --- SECTION: اقرأ فقرة الاختبار --- بما أن العامل الثاني مرفوع للأس 1 ، فهذه إذن مسألة قسمة. (a²+7a-11)(3 – a)-1 =a² + 7a - 11 3-a --- SECTION: حل فقرة الاختبار --- لتسهيل عملية القسمة، أعد كتابة a - 3 على الصورة 3 + a - -a+3/a²+ 7a - 11 (-) a²-3a 10a-11 -a(-a + 3) = a² - 3a 7a-(-3a) = 10a -10(-a + 3) = 10a - 30 -11-(-30) = 19 (-) 10a - 30 19 ناتج القسمة هو 10 - a-، والباقي 19 . لذا فإن 1-(a² + 7a – 11)(3 – a) = -a - 10 + 19 ، ومن ثم تكون الإجابة هي البديل C. 3-a --- SECTION: تحقق من فهمك --- 3) أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1-(r² + 5r + 7)(1 – r)؟ -r - 6 + 13 1-r A r + 6 B r - 6 + 13 1-r C r + 6 - 13 1-r D --- SECTION: القسمة التركيبية --- القسمة التركيبية هي طريقة مبسطة لقسمة كثيرة حدود على ثنائية حد. --- SECTION: مفهوم أساسي --- القسمة التركيبية --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- الخطوة 1: اكتب معاملات المقسوم بعد ترتيب حدوده تنازليا بحسب درجتها. تأكد من أن المقسوم عليه على الصورة x-r ، ثم اكتب الثابت / في الصندوق، واكتب المعامل الأول أسفل الخط الأفقي. الخطوة 2 اضرب المعامل الأول في ، واكتب الناتج أسفل المعامل الذي يليه. الخطوة 3 اجمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه. الخطوة 4: كرر الخطوتين 3, 2 على ناتج الجمع في الخطوة السابقة حتى تصل إلى ناتج جمع العددين في العمود الأخير. الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة ودرجة الحد الأول أقل بواحد من درجة المقسوم والعدد الأخير هو الباقي.