📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
قسمة كثيرات الحدود
نوع: محتوى تعليمي
قسمة كثيرات الحدود
Dividing Polynomials
فيما سبق:
نوع: محتوى تعليمي
فيما سبق:
درست قسمة وحيدات
الحد. (الدرس (3-3)
والآن :
نوع: محتوى تعليمي
والآن :
- أقسم كثيرات الحدود
مستعملا القسمة
الطويلة.
- أقسم كثيرات الحدود
مستعملا القسمة
التركيبية.
المفردات:
نوع: محتوى تعليمي
المفردات:
القسمة التركيبية
Synthetic division
لماذا ؟
نوع: محتوى تعليمي
لماذا ؟
تحتاج سلمى إلى (60) + 140x2 بوصة مربعة من الورق لعمل غلاف لكتاب طوله 10x بوصات. ويظهر
الشكل أدناه الجزء الذي تركته للثني على جانبي الغلاف. فإذا كان عرض كعب الغلاف 2x بوصة، وعرض كل
من الغلاف الأمامي والخلفي 6x بوصة، فما عرض كل من جزأي الثني ؟ يمكنك استعمال قسمة كثيرات الحدود
لمساعدتك على إيجاد الجواب.
نوع: FIGURE_REFERENCE
f = عرض الثنية
القسمة الطويلة :
نوع: محتوى تعليمي
القسمة الطويلة : تعلمت في الدرس (3) - 3) قسمة وحيدات الحد، لذا يمكنك قسمة كثيرة حدود على
وحيدة حد مستعملا المهارات نفسها .
مثال 1
نوع: محتوى تعليمي
مثال 1 قسمة كثيرة حدود على وحيدة حد
بسط العبارة :
6x⁴y³ + 12x³y² - 18x²y
3xy
اقسم كل حد في البسط على المقام
6x⁴y³ + 12x³y² - 18x²y 6x⁴y³ 12x³y² 18x²y
=
+
-
3xy
3xy
3xy
3xy
= 2x³y² + 4x²y - 6x
اقسم
y¹⁻¹ = y⁰=1
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
(20c⁴d²f - 16cdf² + 4cdf) ÷ (4cdf) (1A
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
(18x²y + 27x³y²z)(3xy)⁻¹ (1B
إرشادات للدراسة
نوع: محتوى تعليمي
إرشادات للدراسة
خطوات خوارزمية
قسمة كثيرة حدود
على أخرى:
- اكتب كثيرة الحدود
في كل من المقسوم
والمقسوم عليه، بحيث
تكون حدودها مرتبة
ترتيبا تنازليا حسب
درجتها.
- ابدأ بقسمة الحد الأول
في المقسوم على الحد
الأول في المقسوم عليه
وضع الإجابة في المكان
المخصص لذلك.
- اضرب ناتج القسمة
في الخطوة السابقة في
المقسوم عليه، واكتب
الإجابة تحت المقسوم
واطرحه من المقسوم.
- استمر بقسمة الحد
الثاني ... إلخ، حتى تصل
إلى أن يكون باقي القسمة
، أو كثيرة حدود درجتها
أقل من درجة المقسوم
عليه.
نوع: محتوى تعليمي
يمكنك استعمال عملية مشابهة للقسمة الطويلة لقسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى. وتسمى خطواتها
خوارزمية القسمة.
مثال 2
نوع: محتوى تعليمي
مثال 2 قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى
استعمل القسمة الطويلة لإيجاد ناتج : (x² + 3x − 40) ÷ (x - 5).
x+8
x-5/x²+3x-40
(-)x²-5x
8x-40
(-)8x-40
0
ناتج القسمة هو 8 + x، والباقي 0.
اضرب المقسوم عليه في X
اطرح
اضرب المقسوم عليه في 8
اطرح
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
(x²+7x-30)÷(x-3) (2A
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
(x²-13x+12) ÷ (x-1) (2B
🔍 عناصر مرئية
N/A
Diagram showing a rectangular shape divided into sections with labels f, 6x, 2x, 6x, and f. The entire length is labeled 10x. The label f = عرض الثنية indicates that 'f' represents the width of the fold.
📄 النص الكامل للصفحة
قسمة كثيرات الحدود
Dividing Polynomials
--- SECTION: فيما سبق: ---
فيما سبق:
درست قسمة وحيدات
الحد. (الدرس (3-3)
--- SECTION: والآن : ---
والآن :
- أقسم كثيرات الحدود
مستعملا القسمة
الطويلة.
- أقسم كثيرات الحدود
مستعملا القسمة
التركيبية.
--- SECTION: المفردات: ---
المفردات:
القسمة التركيبية
Synthetic division
--- SECTION: لماذا ؟ ---
لماذا ؟
تحتاج سلمى إلى (60) + 140x2 بوصة مربعة من الورق لعمل غلاف لكتاب طوله 10x بوصات. ويظهر
الشكل أدناه الجزء الذي تركته للثني على جانبي الغلاف. فإذا كان عرض كعب الغلاف 2x بوصة، وعرض كل
من الغلاف الأمامي والخلفي 6x بوصة، فما عرض كل من جزأي الثني ؟ يمكنك استعمال قسمة كثيرات الحدود
لمساعدتك على إيجاد الجواب.
f = عرض الثنية
--- SECTION: القسمة الطويلة : ---
القسمة الطويلة : تعلمت في الدرس (3) - 3) قسمة وحيدات الحد، لذا يمكنك قسمة كثيرة حدود على
وحيدة حد مستعملا المهارات نفسها .
--- SECTION: مثال 1 ---
مثال 1 قسمة كثيرة حدود على وحيدة حد
بسط العبارة :
6x⁴y³ + 12x³y² - 18x²y
3xy
اقسم كل حد في البسط على المقام
6x⁴y³ + 12x³y² - 18x²y 6x⁴y³ 12x³y² 18x²y
=
+
-
3xy
3xy
3xy
3xy
= 2x³y² + 4x²y - 6x
اقسم
y¹⁻¹ = y⁰=1
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
(20c⁴d²f - 16cdf² + 4cdf) ÷ (4cdf) (1A
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
(18x²y + 27x³y²z)(3xy)⁻¹ (1B
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
خطوات خوارزمية
قسمة كثيرة حدود
على أخرى:
- اكتب كثيرة الحدود
في كل من المقسوم
والمقسوم عليه، بحيث
تكون حدودها مرتبة
ترتيبا تنازليا حسب
درجتها.
- ابدأ بقسمة الحد الأول
في المقسوم على الحد
الأول في المقسوم عليه
وضع الإجابة في المكان
المخصص لذلك.
- اضرب ناتج القسمة
في الخطوة السابقة في
المقسوم عليه، واكتب
الإجابة تحت المقسوم
واطرحه من المقسوم.
- استمر بقسمة الحد
الثاني ... إلخ، حتى تصل
إلى أن يكون باقي القسمة
، أو كثيرة حدود درجتها
أقل من درجة المقسوم
عليه.
يمكنك استعمال عملية مشابهة للقسمة الطويلة لقسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى. وتسمى خطواتها
خوارزمية القسمة.
--- SECTION: مثال 2 ---
مثال 2 قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى
استعمل القسمة الطويلة لإيجاد ناتج : (x² + 3x − 40) ÷ (x - 5).
x+8
x-5/x²+3x-40
(-)x²-5x
8x-40
(-)8x-40
0
ناتج القسمة هو 8 + x، والباقي 0.
اضرب المقسوم عليه في X
اطرح
اضرب المقسوم عليه في 8
اطرح
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
(x²+7x-30)÷(x-3) (2A
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
(x²-13x+12) ÷ (x-1) (2B
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: N/A
Description: Diagram showing a rectangular shape divided into sections with labels f, 6x, 2x, 6x, and f. The entire length is labeled 10x. The label f = عرض الثنية indicates that 'f' represents the width of the fold.
Context: Visual representation of the dimensions of a folded rectangular shape, used to illustrate the concept of dividing polynomials.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة
ما الخطوات الأساسية لقسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى باستخدام القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة)؟
- أ) 1. جمع حدود المقسوم والمقسوم عليه. 2. قسمة الحدود المتشابهة. 3. تبسيط الناتج.
- ب) 1. ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة. 2. قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه ووضع الناتج. 3. ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم. 4. تكرار الخطوات مع الباقي حتى يصبح الباقي صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
- ج) 1. تحليل كل من المقسوم والمقسوم عليه. 2. حذف العوامل المشتركة. 3. كتابة الباقي.
- د) 1. قسمة الحد الثابت في المقسوم على الحد الثابت في المقسوم عليه. 2. قسمة معاملات الحدود المتغيرة. 3. جمع النتائج.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 1. ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة. 2. قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه ووضع الناتج. 3. ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم. 4. تكرار الخطوات مع الباقي حتى يصبح الباقي صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
الشرح: خطوات خوارزمية القسمة هي: 1) ترتيب كثيرتي الحدود تنازلياً حسب الأسس. 2) قسمة الحد الأعلى درجة في المقسوم على الحد الأعلى درجة في المقسوم عليه للحصول على أول حد في الناتج. 3) ضرب هذا الحد في المقسوم عليه كله، وطرح الناتج من المقسوم. 4) إنزال الحد التالي وتكرار العملية مع الباقي الجديد. تتوقف العملية عندما يصبح باقي القسمة صفراً أو تكون درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
تلميح: فكر في العملية المشابهة للقسمة الطويلة للأعداد، لكن مع حدود جبرية.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما ناتج قسمة (6x⁴y³ + 12x³y² - 18x²y) على (3xy)؟
- أ) 2x³y² + 4x²y - 6xy
- ب) 2x³y² + 4x²y - 6x
- ج) 3x³y² + 6x²y - 9x
- د) x³y² + 2x²y - 3x
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 2x³y² + 4x²y - 6x
الشرح: 1) (6x⁴y³) ÷ (3xy) = (6/3) * x⁴⁻¹ * y³⁻¹ = 2x³y². 2) (12x³y²) ÷ (3xy) = (12/3) * x³⁻¹ * y²⁻¹ = 4x²y. 3) (-18x²y) ÷ (3xy) = (-18/3) * x²⁻¹ * y¹⁻¹ = -6x * y⁰ = -6x. 4) الناتج النهائي هو مجموع هذه الحدود: 2x³y² + 4x²y - 6x.
تلميح: اقسم كل حد في البسط على المقام (3xy) بشكل منفصل.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
ما تعريف القسمة التركيبية (Synthetic Division)؟
- أ) هي طريقة لقسمة وحيدة حد على وحيدة حد أخرى.
- ب) هي طريقة مختصرة تستخدم لقسمة كثيرة حدود على مقسوم عليه على الصورة (x - c)، حيث c ثابت.
- ج) هي طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية.
- د) هي طريقة لضرب كثيرات الحدود باستخدام جدول.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: هي طريقة مختصرة تستخدم لقسمة كثيرة حدود على مقسوم عليه على الصورة (x - c)، حيث c ثابت.
الشرح: القسمة التركيبية هي خوارزمية مبسطة وسريعة لإجراء قسمة كثيرة حدود عندما يكون المقسوم عليه خطياً على الصورة (x - c). تعتمد على معاملات كثيرة الحدود المقسوم وتتجنب كتابة المتغيرات والأسس، مما يجعلها أكثر كفاءة من القسمة الطويلة في هذه الحالة الخاصة.
تلميح: تذكر أن هذه الطريقة مرتبطة بشكل محدد للمقسوم عليه.
التصنيف: تعريف | المستوى: سهل
عند قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى باستخدام القسمة الطويلة، متى نتوقف عن متابعة خطوات القسمة؟
- أ) نتوقف عندما يصبح عدد حدود الناتج مساوياً لعدد حدود المقسوم.
- ب) نتوقف بعد عدد محدد من الخطوات يساوي درجة المقسوم.
- ج) نتوقف عندما يصبح باقي القسمة صفراً، أو عندما تكون درجة كثيرة الحدود الباقية أقل من درجة المقسوم عليه.
- د) نتوقف عندما تختفي جميع المتغيرات من الباقي.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: نتوقف عندما يصبح باقي القسمة صفراً، أو عندما تكون درجة كثيرة الحدود الباقية أقل من درجة المقسوم عليه.
الشرح: الهدف من القسمة الطويلة هو التعبير عن المقسوم كناتج ضرب المقسوم عليه في ناتج القسمة، زائد باقٍ. نستمر في عملية القسمة (قسمة، ضرب، طرح، إنزال) حتى لا نستطيع قسمة الحد الأول من الباقي الجديد على الحد الأول من المقسوم عليه بسبب انخفاض درجته. عندها يكون الباقي النهائي إما صفراً (قسمة تامة) أو كثيرة حدود درجتها أقل من درجة المقسوم عليه.
تلميح: فكر في شرط الدرجة (الأس) للباقي مقارنة بالمقسوم عليه.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
في خوارزمية قسمة كثيرة حدود على أخرى، متى تنتهي عملية القسمة؟
- أ) عندما تصبح درجة ناتج القسمة مساوية لدرجة المقسوم عليه.
- ب) عندما يكون الباقي صفراً أو درجته أقل من درجة المقسوم عليه
- ج) عندما يتساوى المعامل الرئيس للمقسوم مع المعامل الرئيس للمقسوم عليه.
- د) عندما تصبح درجة الباقي مساوية لدرجة المقسوم عليه تماماً.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: عندما يكون الباقي صفراً أو درجته أقل من درجة المقسوم عليه
الشرح: وفقاً لخوارزمية قسمة كثيرات الحدود، تستمر عملية القسمة (قسمة، ضرب، طرح) بشكل متكرر. تنتهي هذه العملية في حالتين:
1. إذا وصل الباقي إلى الرقم صفر، مما يعني أن القسمة منتهية.
2. إذا أصبحت درجة كثيرة الحدود المتبقية (الباقي) أقل من درجة المقسوم عليه، حيث لا يمكن في هذه الحالة إجراء عملية قسمة إضافية.
تلميح: فكر في العلاقة بين درجة حدود الباقي ودرجة حدود المقسوم عليه.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط