صفحة 13 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 2 على اختبار: ما قيمة x التي تجعل العبارة $\frac{x^2 - 14}{x^2 + 6x + 8}$ غير معرفة؟ أ) 5,0 ب) 5, -2 ج) 0, -2 د) 0, -4, 7

الإجابة: x = -2 x = -4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا عبارة كسرية: $$\frac{x^2 - 14}{x^2 + 6x + 8}$$ السؤال يطلب قيم x التي تجعل العبارة غير معرفة. العبارة غير معرفة عندما يكون المقام مساوياً للصفر، لأن القسمة على الصفر غير معرفة.
2. **الخطوة 2 (القانون/الفكرة):** لإيجاد قيم x التي تجعل العبارة غير معرفة، نضع المقام مساوياً للصفر ونحل المعادلة: $$x^2 + 6x + 8 = 0$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** نحل المعادلة التربيعية: $$x^2 + 6x + 8 = 0$$ نبحث عن عددين حاصل ضربهما 8 ومجموعهما 6. هذان العددان هما 2 و 4. إذن يمكن تحليل المعادلة: $$(x + 2)(x + 4) = 0$$ وبالتالي: $$x + 2 = 0 \quad \text{أو} \quad x + 4 = 0$$ $$x = -2 \quad \text{أو} \quad x = -4$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيم x التي تجعل العبارة غير معرفة هي: **x = -2 و x = -4** لاحظ أن البسط (x² - 14) لا يؤثر في تعريف العبارة هنا، لأن التعريف يعتمد فقط على المقام.

سؤال 2: 2(x + 3) = 2x + 6

الإجابة: الخاصية التوزيعية

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لننظر إلى العبارة: 2(x + 3) = 2x + 6 هذه العبارة توضح كيف يمكن فك الأقواس. عندما نضرب العدد 2 في مجموع (x + 3)، فإننا نوزع الضرب على كل حد داخل القوس. إذن: 2 مضروباً في x يساوي 2x و 2 مضروباً في 3 يساوي 6 لذلك، 2(x + 3) = 2x + 6 هذه العملية تسمى **الخاصية التوزيعية** للضرب على الجمع، حيث نوزع العامل (2) على كل حد داخل القوس.

سؤال مثال 3 (a): بسط كل عبارة مما يأتي: (a) $\frac{4w^2 - 3w(w+y)}{w(4w - 3y)(w+y)}$

الإجابة: $\frac{w(4w - 3w - 3y)}{w(4w - 3y)(w+y)}$ $\frac{w(w - 3y)}{w(4w - 3y)(w+y)}$ $\frac{w - 3y}{(4w - 3y)(w+y)}$ بسط $\frac{w - 3y}{4w^2 - 3wy + w y - 3y^2}$ $\frac{w - 3y}{4w^2 - 2wy - 3y^2}$ حل إلى عوامل

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا العبارة: $$\frac{4w^2 - 3w(w+y)}{w(4w - 3y)(w+y)}$$ المطلوب تبسيط هذه العبارة.
2. **الخطوة 2 (التبسيط الأولي):** نبدأ بتبسيط البسط: $$4w^2 - 3w(w+y) = 4w^2 - 3w^2 - 3wy = w^2 - 3wy$$ لاحظ أننا وزعنا -3w على (w+y). إذن العبارة تصبح: $$\frac{w^2 - 3wy}{w(4w - 3y)(w+y)}$$
3. **الخطوة 3 (التحليل إلى عوامل):** نلاحظ أن البسط يمكن تحليله بأخذ w عامل مشترك: $$w^2 - 3wy = w(w - 3y)$$ إذن العبارة تصبح: $$\frac{w(w - 3y)}{w(4w - 3y)(w+y)}$$
4. **الخطوة 4 (الاختصار):** لدينا w في البسط والمقام، يمكننا اختصار w (بشرط أن w ≠ 0): $$\frac{w - 3y}{(4w - 3y)(w+y)}$$ هذا هو الشكل المبسط للعبارة.

سؤال مثال 3 (b): بسط كل عبارة مما يأتي: (b) $\frac{x^3 - y^3}{y - x}$

الإجابة: $\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{-(x - y)}$ $-(x^2 + xy + y^2)$ بسط $-x^2 - xy - y^2$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا العبارة: $$\frac{x^3 - y^3}{y - x}$$ المطلوب تبسيط هذه العبارة.
2. **الخطوة 2 (التحليل إلى عوامل):** نتذكر صيغة فرق المكعبين: $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$ إذن البسط يصبح: $$(x - y)(x^2 + xy + y^2)$$
3. **الخطوة 3 (التعامل مع المقام):** لاحظ أن المقام هو y - x، ويمكن كتابته كـ -(x - y): $$y - x = -(x - y)$$
4. **الخطوة 4 (التبسيط):** الآن العبارة تصبح: $$\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{-(x - y)}$$ يمكننا اختصار (x - y) من البسط والمقام (بشرط أن x ≠ y): $$-(x^2 + xy + y^2)$$ وهذا يساوي: $$-x^2 - xy - y^2$$ إذن العبارة المبسطة هي: **-x² - xy - y²**

سؤال 3A: 1.25

الإجابة: النظير الجمعي: -1.25 النظير الضربي: $\frac{4}{5}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لنتذكر تعريف النظيرين: - **النظير الجمعي** للعدد a هو العدد الذي إذا جمعناه مع a يعطي الصفر. - **النظير الضربي** للعدد a (حيث a ≠ 0) هو العدد الذي إذا ضربناه في a يعطي 1.
2. **الخطوة 2 (التطبيق على 1.25):** العدد المعطى: 1.25 1. النظير الجمعي: نبحث عن عدد عندما نجمع مع 1.25 يعطي 0. هذا العدد هو -1.25 لأن: $$1.25 + (-1.25) = 0$$ 2. النظير الضربي: نبحث عن عدد عندما نضرب في 1.25 يعطي 1. لاحظ أن 1.25 = 5/4 إذن النظير الضربي هو مقلوب هذا الكسر: $$\frac{4}{5} \quad \text{لأن} \quad 1.25 \times \frac{4}{5} = \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: - النظير الجمعي لـ 1.25 هو: **-1.25** - النظير الضربي لـ 1.25 هو: **4/5**

سؤال 3B: $-\frac{2}{1}$

الإجابة: النظير الجمعي: $\frac{2}{1}$ النظير الضربي: $-\frac{1}{2}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لنتذكر تعريف النظيرين: - **النظير الجمعي** للعدد a هو العدد الذي إذا جمعناه مع a يعطي الصفر. - **النظير الضربي** للعدد a (حيث a ≠ 0) هو العدد الذي إذا ضربناه في a يعطي 1.
2. **الخطوة 2 (التطبيق على -2/1):** العدد المعطى: -2/1 = -2 1. النظير الجمعي: نبحث عن عدد عندما نجمع مع -2 يعطي 0. هذا العدد هو 2 لأن: $$-2 + 2 = 0$$ 2. النظير الضربي: نبحث عن عدد عندما نضرب في -2 يعطي 1. هذا العدد هو -1/2 لأن: $$-2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 1$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: - النظير الجمعي لـ -2/1 هو: **2/1** - النظير الضربي لـ -2/1 هو: **-1/2**

ما الخاصية التي تنص على أن طريقة تجميع ثلاثة أعداد حقيقية في عملية الجمع أو الضرب لا تؤثر في الناتج؟

• أ) الخاصية التبديلية
• ب) خاصية الانغلاق
• ج) الخاصية التجميعية
• د) خاصية النظير

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الخاصية التجميعية

الشرح: 1. الخاصية التجميعية هي إحدى خصائص الأعداد الحقيقية. 2. في الجمع: (a + b) + c = a + (b + c). 3. في الضرب: (a.b) . c = a . (b.c). 4. النتيجة: تغيير طريقة التجميع لا يغير الناتج.

تلميح: تتعلق هذه الخاصية بوضع الأقواس وتغيير تجميع الحدود أو العوامل.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

ما الخاصية التي توضح أن حاصل ضرب عدد في مجموع عددين يساوي مجموع حاصل ضرب ذلك العدد في كل منهما؟

• أ) الخاصية التجميعية
• ب) خاصية الانغلاق
• ج) خاصية النظير
• د) خاصية التوزيع

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: خاصية التوزيع

الشرح: 1. خاصية التوزيع هي إحدى خصائص الأعداد الحقيقية. 2. الصيغة: a(b + c) = ab + ac. 3. مثال: 2(3 + 4) = (2×3) + (2×4) = 6 + 8 = 14. 4. النتيجة: توزيع الضرب على الجمع داخل الأقواس.

تلميح: تتعلق هذه الخاصية بربط عمليتي الجمع والضرب.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

ما الخاصية التي تنص على أن ترتيب جمع أو ضرب عددين حقيقيين لا يؤثر في الناتج؟

• أ) الخاصية التجميعية
• ب) الخاصية التبديلية
• ج) خاصية العنصر المحايد
• د) خاصية التوزيع

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الخاصية التبديلية

الشرح: 1. الخاصية التبديلية هي إحدى خصائص الأعداد الحقيقية. 2. في الجمع: a + b = b + a. 3. في الضرب: a . b = b . a. 4. النتيجة: تغيير ترتيب الأعداد لا يغير الناتج.

تلميح: تتعلق هذه الخاصية بإمكانية تغيير ترتيب الأعداد في العملية دون تغيير النتيجة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما القاعدة الصحيحة التي تصف إشارة كل من النظير الجمعي والنظير الضربي لعدد حقيقي (غير الصفر)؟

• أ) كلاهما يحمل إشارة عكس إشارة العدد الأصلي دائماً لضمان التبسيط.
• ب) إشارة النظير الجمعي هي عكس إشارة العدد، بينما إشارة النظير الضربي هي نفس إشارة العدد.
• ج) إشارة النظير الجمعي هي نفس إشارة العدد، بينما إشارة النظير الضربي هي عكس إشارة العدد.
• د) يكون النظير الجمعي دائماً سالباً، بينما يكون النظير الضربي دائماً موجباً بغض النظر عن العدد.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إشارة النظير الجمعي هي عكس إشارة العدد، بينما إشارة النظير الضربي هي نفس إشارة العدد.

الشرح: 1. النظير الجمعي للعدد a هو -a، ومجموعهما يساوي صفر، لذا يجب أن تكون الإشارة متعاكسة (عكس إشارة العدد). 2. النظير الضربي للعدد a هو 1/a (المقلوب)، وناتج ضربهما يجب أن يكون 1 (موجب)، لذا يجب أن يحافظ النظير على نفس إشارة العدد الأصلي ليحقق قاعدة الإشارات (سالب × سالب = موجب). 3. الخلاصة: الجمعي يغير الإشارة، والضربي يحافظ عليها.

تلميح: فكر في العملية الحسابية التي تجعل الناتج محايداً (0 للجمع و 1 للضرب)، وكيف تؤثر الإشارات في النتيجة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي القاعدة الصحيحة المتعلقة بإشارة النظير الضربي لعدد حقيقي (غير الصفر) مقارنة بإشارة العدد نفسه؟

• أ) إشارة النظير الضربي تكون دائمًا موجبة بغض النظر عن إشارة العدد.
• ب) إشارة النظير الضربي تكون عكس إشارة العدد الأصلي دائمًا.
• ج) إشارة النظير الضربي تكون دائمًا نفس إشارة العدد الأصلي.
• د) تتغير إشارة النظير الضربي فقط إذا كان العدد الأصلي كسرًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إشارة النظير الضربي تكون دائمًا نفس إشارة العدد الأصلي.

الشرح: 1. النظير الضربي للعدد (أ) هو مقلوبه (1/أ). 2. القاعدة تنص على أن إشارة النظير الضربي لا تتغير عن إشارة العدد الأصلي؛ فالموجب يبقى موجباً والسالب يبقى سالباً. 3. النظير الجمعي هو الذي تتغير فيه الإشارة (عكس الإشارة) ليكون ناتجهما صفراً.

تلميح: تذكر أن النظير الضربي هو مقلوب العدد (1 مقسوماً على العدد) وليس عكس إشارته.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط