مثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تبسيط العبارات الجبرية وتطبيقات عملية

المفاهيم الأساسية

* خاصية التوزيع: a(b + c) = ab + ac و (b + c)a = ba + ca. تُستخدم لتبسيط العبارات الجبرية وحل المسائل العملية.

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص الأعداد الحقيقية

تصنيف الأعداد الحقيقية

الأعداد النسبية (Q)

#### الأعداد الصحيحة (Z)

##### الأعداد الكلية (W)

###### الأعداد الطبيعية (N)

الأعداد غير النسبية (I)

العلاقة بين المجموعات

كل مجموعة جزئية من التي تليها

يمكن أن ينتمي العدد لأكثر من مجموعة

خصائص العمليات

التبديلية

#### الجمع: a+b=b+a

#### الضرب: a \cdot b = b \cdot a

التجميعية

#### الجمع: (a + b) + c = a + (b + c)

#### الضرب: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

العنصر المحايد

#### الجمع: a + 0 = a = 0 + a

#### الضرب: a \cdot 1 = a = 1 \cdot a

النظير

#### النظير الجمعي: a + (-a) = 0 = (-a) + a

#### النظير الضربي: a \cdot a^{-1} = 1 = a^{-1} \cdot a, a \neq 0

الانغلاق

#### الجمع: (a + b) عدد حقيقي

#### الضرب: (a \cdot b) عدد حقيقي

التوزيع

#### a(b + c) = ab + ac

#### (b + c)a = ba + ca

تطبيقات عملية

حساب النسبة المئوية للزيادة

#### الطريقة الأولى: اضرب ثم اجمع

#### الطريقة الثانية: اجمع ثم اضرب

تبسيط العبارات الجبرية

#### استعمال خاصية التوزيع

#### استعمال الخاصية التبديلية للجمع

تطبيقات جديدة

#### حساب مساحة مستطيل

##### مثال: ملعب كرة قدم (55م × 49م)

#### حساب التخفيضات

##### مثال: خصم 30% على أسعار أجهزة كهربائية

#### حساب الكميات

##### مثال: شراء قماش لستائر نوافذ بأطوال مختلفة

#### تصنيف وترتيب الأعداد الحقيقية

##### مثال: تصنيف أعداد مثل -√6, π, √36 في جدول

##### تمثيل الأعداد على خط الأعداد

تمارين التطبيق

تحديد مجموعات الأعداد

تحديد الخاصية الجبرية

إيجاد النظير الجمعي والضربي

حساب النسبة المئوية

#### مثال: زيادة 8% على أسعار الملابس

#### مثال: توفير 15% من الإنفاق الشهري

تبسيط العبارات الجبرية

#### تبسيط عبارات ذات معاملات صحيحة

#### تبسيط عبارات ذات معاملات كسرية

```

نقاط مهمة

* تُستخدم خاصية التوزيع لتبسيط عبارات مثل: 4(4x – 9y) + 8(3x + 2y) أو -5(10x + 8z) – 6(4x – 7z).

* يمكن تطبيق خاصية التوزيع في مواقف حياتية مثل:

* حساب مساحة مستطيل بطريقتين: (الطول × العرض) أو (مجموع مساحات أجزائه).

* حساب المبلغ الإجمالي بعد خصم نسبة مئوية من عدة أسعار.

* حساب الكمية الإجمالية لمجموعة من العناصر ذات المقاييس المختلفة.

* يمكن تبسيط العبارات التي تحتوي على كسور بنفس الطريقة، مثل: \frac{1}{3}(5x + 8y) + \frac{1}{4}(6x - 2y).

* من المهم معرفة تصنيف الأعداد الحقيقية (نسبية، غير نسبية، صحيحة، كسرية) وتمثيلها على خط الأعداد لترتيبها ومقارنتها.

بسّط كل عبارة مما يأتي:

8b – 3c + 4b + 9c

-2a + 9d - 5a - 6d

4(4x – 9y) + 8(3x + 2y)

6(9a – 3b) – 8(2a + 4b)

-2(-5g + 6k) – 9(-2g + 4k)

-5(10x + 8z) – 6(4x – 7z)

وضح خاصية التوزيع من خلال كتابة عبارتين تمثلان مساحة الملعب في الشكل أدناه. ثم أوجد مساحته.

يبين الجدول المجاور أسعار بعض الأجهزة الكهربائية في محل. فإذا انخفض سعر كل منها بنسبة 30%، وأراد أحمد أن يشتري من ذلك المحل جهاز تسجيل ومكنسة ومروحة.

بسّط كل عبارة مما يأتي:

1/3(5x + 8y) + 1/4(6x - 2y)

2/5(6c - 8d) + 3/4(4c - 9d)

-6(3a + 5b) – 3(6a – 8c)

-9(3x + 8y) – 3(5x + 10z)

يريد محمد شراء 5 ستائر لكبيرتان، و 3 نوافذ صغيرة. فإذا كانت النافذة الكبيرة تحتاج إلى ستارة سعتها طولها m 3، في حين تحتاج النافذة الصغيرة إلى ستارة طولها m 2 و 3/4 من القماش.

مستعملاً الأعداد: -√6, 3, -15/3, 4.1, π, 0, 3/8, √36 ، أجب عما يأتي:

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

16 الفصل 1 الدوال والمتباينات

--- SECTION: مثال 5 --- بسّط كل عبارة مما يأتي: 8b – 3c + 4b + 9c -2a + 9d - 5a - 6d 4(4x – 9y) + 8(3x + 2y) 6(9a – 3b) – 8(2a + 4b) -2(-5g + 6k) – 9(-2g + 4k) -5(10x + 8z) – 6(4x – 7z) --- SECTION: كرة قدم --- وضح خاصية التوزيع من خلال كتابة عبارتين تمثلان مساحة الملعب في الشكل أدناه. ثم أوجد مساحته. --- SECTION: تخفيضات --- يبين الجدول المجاور أسعار بعض الأجهزة الكهربائية في محل. فإذا انخفض سعر كل منها بنسبة 30%، وأراد أحمد أن يشتري من ذلك المحل جهاز تسجيل ومكنسة ومروحة. a. وضح خاصية التوزيع من خلال كتابة عبارتين تمثلان المبلغ الذي سيدفعه أحمد. b. احسب المبلغ الذي سيدفعه أحمد بطريقتين مختلفتين مستعملاً خصائص العمليات على الأعداد. بسّط كل عبارة مما يأتي: 1/3(5x + 8y) + 1/4(6x - 2y) 2/5(6c - 8d) + 3/4(4c - 9d) -6(3a + 5b) – 3(6a – 8c) -9(3x + 8y) – 3(5x + 10z) --- SECTION: ديكور --- يريد محمد شراء 5 ستائر لكبيرتان، و 3 نوافذ صغيرة. فإذا كانت النافذة الكبيرة تحتاج إلى ستارة سعتها طولها m 3، في حين تحتاج النافذة الصغيرة إلى ستارة طولها m 2 و 3/4 من القماش. a. كم مترًا من القماش يحتاج إليه محمد؟ b. استعمل خصائص الأعداد الحقيقية لتبين كيف يمكن لمحمد حساب كمية القماش ذهنيًا. --- SECTION: تمثيلات متعددة --- مستعملاً الأعداد: -√6, 3, -15/3, 4.1, π, 0, 3/8, √36 ، أجب عما يأتي: a. جدولياً: نظّم هذه الأعداد في جدول وفقاً لمجموعة الأعداد التي تنتمي إليها. b. جبرياً: اكتب كل عدد من الأعداد أعلاه على الصورة العشرية، ثم رتبها تصاعدياً. c. بيانياً: مثل هذه الأعداد على خط الأعداد. d. لفظياً: اكتب تخميناً حول ترتيب الأعداد الحقيقية باستعمال الصورة العشرية لها. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 16 الفصل 1 الدوال والمتباينات --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: ملعب كرة قدم Description: A diagram of a soccer field with dimensions labeled. The field is rectangular. The length is indicated as 55m on the bottom and the width is indicated as 49m on the right side. There are markings for the penalty boxes and center circle. X-axis: Length Y-axis: Width Data: Dimensions of a soccer field. Key Values: 55m, 49m Context: Used to calculate the area of the soccer field using distributive property. **TABLE**: جدول أسعار بعض الأجهزة الكهربائية Description: A table showing prices of electrical appliances. It has two columns: 'نوع الجهاز' (Appliance Type) and 'السعر (ر.ع)' (Price in Omani Rials). Table Structure: Headers: نوع الجهاز | السعر (ر.ع) Rows: Row 1: جهاز تسجيل | 170 Row 2: مكنسة | 350 Row 3: مروحة | 110 Calculation needed: Used to calculate discounted prices and total cost. Data: Prices of three types of appliances: جهاز تسجيل (Recording device), مكنسة (Vacuum cleaner), and مروحة (Fan). Key Values: 170, 350, 110 Context: Provides data for calculating percentage discounts and applying distributive property.