مثال 4 القسمة التركيبية - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 مثال 4: القسمة التركيبية

المفاهيم الأساسية

القسمة التركيبية: طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد على الصورة (x - r).

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على كثيرات الحدود

قسمة كثيرات الحدود

قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود (القسمة الطويلة)

#### خطوات الخوارزمية

• ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة
• قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه
• ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم
• تكرار الخطوات حتى يصبح باقي القسمة صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه

#### كتابة النتيجة مع الباقي

• يمكن كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق، مثل قسمة الأعداد الكلية.
• مثال: (a² + 7a - 11) ÷ (3 - a) = -a - 10 + \frac{19}{3-a}

القسمة التركيبية

• طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد (x - r)

#### خطوات القسمة التركيبية

• الخطوة 1: كتابة معاملات المقسوم مرتبة تنازلياً. كتابة الثابت r في الصندوق، وكتابة المعامل الأول أسفل الخط.
• الخطوة 2: ضرب المعامل الأول في r، وكتابة الناتج أسفل المعامل التالي.
• الخطوة 3: جمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه.
• الخطوة 4: تكرار الخطوتين 2 و3 حتى العمود الأخير.
• النتيجة: الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة (درجته أقل بواحد من درجة المقسوم)، والعدد الأخير هو الباقي.

#### مثال تطبيقي

• المثال: (2x³ – 13x² + 26x – 24) ÷ (x - 4)
• الناتج: 2x² - 5x + 6 والباقي 0.

#### تنبيهات وإرشادات

• تنبيه: تذكر أن الحدود تُجمع ولا تُطرح عند إجراء القسمة التركيبية.
• إرشاد للدراسة: إذا لم يوجد أحد الحدود في كثيرة حدود المقسوم فأضفه وليكن معامله صفراً.

```

نقاط مهمة

• في المثال، تم قسمة (2x³ – 13x² + 26x – 24) على (x - 4) باستخدام القسمة التركيبية.
• الناتج هو 2x² - 5x + 6 والباقي هو 0.
• للتحقق من صحة الناتج، اضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه، فيجب أن يكون الناتج هو المقسوم الأصلي.
• إذا كان المقسوم ناقصاً لحد ما (مثل 2x³ – 4x² + 6 )، يجب كتابته كـ 2x³ – 4x² + 0x + 6 قبل تطبيق خطوات القسمة التركيبية.

مثال 4 القسمة التركيبية

استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد ناتج: (x - 4) ÷ (2x³ – 13x² + 26x – 24).

الخطوة 1 : اكتب معاملات المقسوم. واكتب الثابت 7 في الصندوق، وهو في هذا المثال 4. ثم اكتب المعامل الأول وهو 2 أسفل الخط الأفقي.

الخطوة 2 : اضرب المعامل الأول في الثابت: 8 = (4) 2 ، واكتب الناتج أسفل المعامل الثاني.

الخطوة 3 : اجمع ناتج الضرب مع المعامل الثاني: -5 = -13 + 8

الخطوة 4 : اضرب المجموع وهو 5- في الثابت : 20 - = 4 × 5- ، واكتب الناتج أسفل المعامل التالي، ثم اجمع: 6 = (20-) 26 . اضرب المجموع وهو 6 في الثابت 7: 24 = (4) 6 ، واكتب ناتج الضرب تحت المعامل التالي، ثم اجمع: 0 = 24 + 24-.

إذن ناتج القسمة هو 6 + 5 – 2x2 ، والباقي 0.

تحقق : اضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه، فيكون الناتج هو المقسوم.

2x² - 5x + 6 (x) x - 4 -8x² + 20x - 24 (+) 2x³ - 5x² + 6x 2x³ - 13x² + 26x - 24

تذكر أن الحدود تجمع ولا تطرح عند إجراء القسمة التركيبية.

إذا لم يوجد أحد الحدود في كثيرة حدود المقسوم فأضفه وليكن معامله صفرا. فمثلا إذا كان المقسوم 2x³ – 4x² + 6 فاكتبه في صورة 2x³ – 4x² + 0x + 6

تحقق من فهمك

(2x³ + 3x² - 4x + 15) ÷ (x + 3)

(3x³ - 8x² + 11x – 14) ÷ (x - 2)

(4a⁴ + 2a² - 4a + 12) ÷ (a + 2)

(6b⁴ - 8b³ + 12b – 14) ÷ (b - 2)

مثال 4 القسمة التركيبية استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد ناتج: (x - 4) ÷ (2x³ – 13x² + 26x – 24). الخطوة 1 : اكتب معاملات المقسوم. واكتب الثابت 7 في الصندوق، وهو في هذا المثال 4. ثم اكتب المعامل الأول وهو 2 أسفل الخط الأفقي. الخطوة 2 : اضرب المعامل الأول في الثابت: 8 = (4) 2 ، واكتب الناتج أسفل المعامل الثاني. الخطوة 3 : اجمع ناتج الضرب مع المعامل الثاني: -5 = -13 + 8 الخطوة 4 : اضرب المجموع وهو 5- في الثابت : 20 - = 4 × 5- ، واكتب الناتج أسفل المعامل التالي، ثم اجمع: 6 = (20-) 26 . اضرب المجموع وهو 6 في الثابت 7: 24 = (4) 6 ، واكتب ناتج الضرب تحت المعامل التالي، ثم اجمع: 0 = 24 + 24-. إذن ناتج القسمة هو 6 + 5 – 2x2 ، والباقي 0. --- SECTION: تحقق --- تحقق : اضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه، فيكون الناتج هو المقسوم. 2x² - 5x + 6 (x) x - 4 -8x² + 20x - 24 (+) 2x³ - 5x² + 6x 2x³ - 13x² + 26x - 24 --- SECTION: تنبيه --- تذكر أن الحدود تجمع ولا تطرح عند إجراء القسمة التركيبية. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إذا لم يوجد أحد الحدود في كثيرة حدود المقسوم فأضفه وليكن معامله صفرا. فمثلا إذا كان المقسوم 2x³ – 4x² + 6 فاكتبه في صورة 2x³ – 4x² + 0x + 6 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4A --- (2x³ + 3x² - 4x + 15) ÷ (x + 3) --- SECTION: 4B --- (3x³ - 8x² + 11x – 14) ÷ (x - 2) --- SECTION: 4C --- (4a⁴ + 2a² - 4a + 12) ÷ (a + 2) --- SECTION: 4D --- (6b⁴ - 8b³ + 12b – 14) ÷ (b - 2)