صفحة 134 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قسمة كثيرات الحدود (حالة معامل x ≠ 1)

المفاهيم الأساسية

شرط القسمة التركيبية: يجب أن يكون المقسوم عليه على الصورة `x - r`، وأن يكون معامل `x` فيه يساوي 1.

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على كثيرات الحدود

قسمة كثيرات الحدود

قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود (القسمة الطويلة)

#### خطوات الخوارزمية

• ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة
• قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه
• ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم
• تكرار الخطوات حتى يصدر باقي القسمة صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه

#### كتابة النتيجة مع الباقي

• يمكن كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق، مثل قسمة الأعداد الكلية.
• مثال: (a² + 7a - 11) ÷ (3 - a) = -a - 10 + \frac{19}{3-a}

القسمة التركيبية

• طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد (x - r)

#### خطوات القسمة التركيبية

• الخطوة 1: كتابة معاملات المقسوم مرتبة تنازلياً. كتابة الثابت r في الصندوق، وكتابة المعامل الأول أسفل الخط.
• الخطوة 2: ضرب المعامل الأول في r، وكتابة الناتج أسفل المعامل التالي.
• الخطوة 3: جمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه.
• الخطوة 4: تكرار الخطوتين 2 و3 حتى العمود الأخير.
• النتيجة: الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة (درجته أقل بواحد من درجة المقسوم)، والعدد الأخير هو الباقي.

#### مثال تطبيقي

• المثال: (2x³ – 13x² + 26x – 24) ÷ (x - 4)
• الناتج: 2x² - 5x + 6 والباقي 0.

#### حالة خاصة: معامل x في المقسوم عليه لا يساوي 1

• الخطوة: إعادة كتابة عبارة القسمة بقسمة كل من البسط والمقام على معامل `x` في المقسوم عليه.
• الهدف: جعل معامل `x` في المقسوم عليه يساوي 1 لاستخدام القسمة التركيبية.
• تنبيه: قسمة جميع الحدود في البسط والمقام على معامل `x` في المقام.

#### مثال تطبيقي للحالة الخاصة

• المثال: (3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) ÷ (3x + 1)
• الخطوة 1: قسمة البسط والمقام على 3: \frac{(3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) ÷ 3}{(3x+1)÷3} = \frac{x⁴ – \frac{5}{3}x³ + \frac{1}{3}x² + \frac{7}{3}x}{x + \frac{1}{3}}
• الخطوة 2: تطبيق القسمة التركيبية على `r = -1/3`.
• الخطوة 3: تبسيط الناتج النهائي بضرب البسط والمقام في 3.
• الناتج النهائي: x³ - 2x² + x + 2 - \frac{2}{3x+1}

#### تنبيهات وإرشادات

• تنبيه: تذكر أن الحدود تُجمع ولا تُطرح عند إجراء القسمة التركيبية.
• إرشاد للدراسة: إذا لم يوجد أحد الحدود في كثيرة حدود المقسوم فأضفه وليكن معامله صفراً.

```

نقاط مهمة

• إذا كان معامل `x` في المقسوم عليه لا يساوي 1، لا يمكن تطبيق القسمة التركيبية مباشرة.
• الحل هو قسمة كل من البسط والمقام على هذا المعامل أولاً.
• يجب التأكد من كتابة جميع حدود المقسوم (بما في ذلك الحد المفقود بمعامل صفر) قبل إجراء القسمة التركيبية.
• يمكن التحقق من صحة الناتج باستخدام القسمة الطويلة.

ولإجراء القسمة التركيبية يجب أن يكون المقسوم عليه على الصورة x - r، وإذا كان معامل x في المقسوم عليه لا يساوي الواحد، فيجب إعادة كتابة عبارة القسمة بحيث يمكنك استعمال القسمة التركيبية.

معامل x في المقسوم عليه لا يساوي 1

أعد كتابة العبارة ليكون معامل x في المقسوم عليه 1 وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على 3.

استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد ناتج : (3x + 1) ÷ (3x⁴ – 5x³ + x² + 7x)

3x4 – 5x3 + x2 + 7x_(3x² - 5x3 + x2 + 7x) ÷ 3 3x + 1 (3x+1)÷3

x4 – 5/3x3 + 1/3x2 + 7/3x = x + 1/3

وبما أن المقسوم لا يحتوي حدا ثابتًا، فضع صفرا مكانه.

بسط كلا من البسط والمقام

x-r = x + 1/3, r = -1/3 → -1/3 | 1 -5/3 1/3 7/3 0 -1/3 | -1/3 2/9 -1/27 2/81 1 -2 1 2 | -2/3

وعليه فإن الناتج هو x3 - 2x 2 + x + 2 - 2/3 x + 1/3 . وأخيرًا بسط الكسر

اضرب كلا من البسط والمقام في العدد 3

2/3 x + 1/3 = 3 × 2/3 3x(x + 1/3)

بسط

= 2 3x + 1

وعليه يكون الناتج هو : x3 - 2x2 + x + 2 - 2 3x + 1

تحقق أوجد ناتج القسمة مستعملاً القسمة الطويلة.

x3-2x2 + x + 2 3x+1/3x4-5x3 + x2 + 7x (-) 3x4 + x3 -6x3 + x²+ 7x (-) -6x3 - 2x2 3x² + 7x (-) 3x2 + x 6x (-) 6x + 2 -2

✓ . x3 2x2 + x + 2-2 وعليه يكون الناتج هو 1 + 3x

تحقق من فهمك

(8x⁴ - 4x² + x + 4) ÷ (2x+1)

(8y⁵ - 2y⁴ - 16y² + 4) ÷ (4у – 1)

(15b³ + 8b² - 21b + 6) ÷ (5b – 4)

(6c³ - 17c² + 6c + 8) ÷ (3c – 4)

تنبية قسمة جميع الحدود تذكر أن تقسم جميع الحدود في البسط والمقام على معامل x في المقام.

134 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

ولإجراء القسمة التركيبية يجب أن يكون المقسوم عليه على الصورة x - r، وإذا كان معامل x في المقسوم عليه لا يساوي الواحد، فيجب إعادة كتابة عبارة القسمة بحيث يمكنك استعمال القسمة التركيبية. --- SECTION: 5 --- معامل x في المقسوم عليه لا يساوي 1 أعد كتابة العبارة ليكون معامل x في المقسوم عليه 1 وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على 3. استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد ناتج : (3x + 1) ÷ (3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) 3x4 – 5x3 + x2 + 7x_(3x² - 5x3 + x2 + 7x) ÷ 3 3x + 1 (3x+1)÷3 x4 – 5/3x3 + 1/3x2 + 7/3x = x + 1/3 وبما أن المقسوم لا يحتوي حدا ثابتًا، فضع صفرا مكانه. بسط كلا من البسط والمقام x-r = x + 1/3, r = -1/3 → -1/3 | 1 -5/3 1/3 7/3 0 -1/3 | -1/3 2/9 -1/27 2/81 1 -2 1 2 | -2/3 وعليه فإن الناتج هو x3 - 2x 2 + x + 2 - 2/3 x + 1/3 . وأخيرًا بسط الكسر اضرب كلا من البسط والمقام في العدد 3 2/3 x + 1/3 = 3 × 2/3 3x(x + 1/3) بسط = 2 3x + 1 وعليه يكون الناتج هو : x3 - 2x2 + x + 2 - 2 3x + 1 تحقق أوجد ناتج القسمة مستعملاً القسمة الطويلة. x3-2x2 + x + 2 3x+1/3x4-5x3 + x2 + 7x (-) 3x4 + x3 -6x3 + x²+ 7x (-) -6x3 - 2x2 3x² + 7x (-) 3x2 + x 6x (-) 6x + 2 -2 ✓ . x3 2x2 + x + 2-2 وعليه يكون الناتج هو 1 + 3x تحقق من فهمك --- SECTION: 5A --- (8x⁴ - 4x² + x + 4) ÷ (2x+1) --- SECTION: 5B --- (8y⁵ - 2y⁴ - 16y² + 4) ÷ (4у – 1) --- SECTION: 5C --- (15b³ + 8b² - 21b + 6) ÷ (5b – 4) --- SECTION: 5D --- (6c³ - 17c² + 6c + 8) ÷ (3c – 4) تنبية قسمة جميع الحدود تذكر أن تقسم جميع الحدود في البسط والمقام على معامل x في المقام. 134 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447