مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قسمة كثيرات الحدود (تأكد + تدرب وحل المسائل)

المفاهيم الأساسية

* القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة): طريقة لإيجاد ناتج قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى.

* القسمة التركيبية: طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد على الصورة (x - r) أو ما يماثلها.

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على كثيرات الحدود

قسمة كثيرات الحدود

قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود (القسمة الطويلة)

#### خطوات الخوارزمية

• ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة
• قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه
• ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم
• تكرار الخطوات حتى يصدر باقي القسمة صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه

#### كتابة النتيجة مع الباقي

• يمكن كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق، مثل قسمة الأعداد الكلية.
• مثال: (a² + 7a - 11) ÷ (3 - a) = -a - 10 + \frac{19}{3-a}

القسمة التركيبية

• طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد (x - r)

#### خطوات القسمة التركيبية

• الخطوة 1: كتابة معاملات المقسوم مرتبة تنازلياً. كتابة الثابت r في الصندوق، وكتابة المعامل الأول أسفل الخط.
• الخطوة 2: ضرب المعامل الأول في r، وكتابة الناتج أسفل المعامل التالي.
• الخطوة 3: جمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه.
• الخطوة 4: تكرار الخطوتين 2 و3 حتى العمود الأخير.
• النتيجة: الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة (درجته أقل بواحد من درجة المقسوم)، والعدد الأخير هو الباقي.

#### مثال تطبيقي

• المثال: (2x³ – 13x² + 26x – 24) ÷ (x - 4)
• الناتج: 2x² - 5x + 6 والباقي 0.

#### حالة خاصة: معامل x في المقسوم عليه لا يساوي 1

• الخطوة: إعادة كتابة عبارة القسمة بقسمة كل من البسط والمقام على معامل `x` في المقسوم عليه.
• الهدف: جعل معامل `x` في المقسوم عليه يساوي 1 لاستخدام القسمة التركيبية.
• تنبيه: قسمة جميع الحدود في البسط والمقام على معامل `x` في المقام.

#### مثال تطبيقي للحالة الخاصة

• المثال: (3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) ÷ (3x + 1)
• الخطوة 1: قسمة البسط والمقام على 3: \frac{(3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) ÷ 3}{(3x+1)÷3} = \frac{x⁴ – \frac{5}{3}x³ + \frac{1}{3}x² + \frac{7}{3}x}{x + \frac{1}{3}}
• الخطوة 2: تطبيق القسمة التركيبية على `r = -1/3`.
• الخطوة 3: تبسيط الناتج النهائي بضرب البسط والمقام في 3.
• الناتج النهائي: x³ - 2x² + x + 2 - \frac{2}{3x+1}

#### تنبيهات وإرشادات

• تنبيه: تذكر أن الحدود تُجمع ولا تُطرح عند إجراء القسمة التركيبية.
• إرشاد للدراسة: إذا لم يوجد أحد الحدود في كثيرة حدود المقسوم فأضفه وليكن معامله صفراً.

تطبيقات عملية

#### تبسيط عبارات كسرية

• قسمة كل حد في البسط على المقسوم عليه (حد وحيد).
• مثال: \frac{4xy²-2xy + 2x²y}{xy}

#### تطبيقات هندسية وفيزيائية

• هندسة: إيجاد أبعاد شكل (كالطول والعرض) من خلال قسمة حجمه على أحد أبعاده.
• فيزياء: إيجاد فرق الجهد (V) من خلال قسمة القوة (P) على شدة التيار (C).

```

نقاط مهمة

* يمكن كتابة عملية القسمة بأكثر من شكل: باستخدام رمز (÷)، أو على صورة كسر، أو باستخدام الأس السالب للدلالة على القسمة مثل (ab)^{-1}.

* تتضمن التمارين قسمة على مقسوم عليه وحيد الحد (لتبسيط العبارات) وعلى مقسوم عليه ثنائي الحد أو أكثر (باستخدام القسمة الطويلة أو التركيبية).

* يجب الانتباه إلى ترتيب حدود كثيرة الحدود تنازلياً حسب الأسس قبل البدء في القسمة الطويلة.

تأكد

بسط كل عبارة فيما يأتي :

\frac{4xy²-2xy + 2x²y}{xy}

(3a²b - 6ab + 5ab²)(ab)⁻¹

استعمل القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة) أو القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي:

(x² - 6x - 20) ÷ (x + 2)

(2a² - 4a - 8) ÷ (a + 1)

(3z⁴ - 6z³ - 9z² + 3z - 6) ÷ (z + 3)

(y⁵ - 3y² - 20) ÷ (y - 2)

اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1- (x² + 3x - 9)(4 - x)؟

استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي :

(10x² + 15x + 20) ÷ (5x + 5)

(18a² + 6a + 9) ÷ (3a - 2)

\frac{12b² + 23b + 15}{3b + 8}

\frac{27y² + 27y - 30}{9y - 6}

تدرب وحل المسائل

بسط كل عبارة فيما يأتي :

\frac{24a³b² - 16a²b³}{8ab}

\frac{5x²y - 10xy + 15xy²}{5xy}

\frac{7g³h² + 3g²h - 2gh³}{gh}

\frac{4a³b - 6ab + 2ab²}{2ab}

\frac{16c⁴d⁴ - 24c²d²}{4c²d²}

\frac{9n³p³ - 18n²p² + 21n²p³}{3n²p²}

استعمل القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة) أو القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي:

(a² - 8a - 26) ÷ (a + 2)

(b³ - 4b² + b - 2) ÷ (b + 1)

(z⁴ - 3z³ + 2z² - 4z + 4)(z - 1)⁻¹

(x⁵ - 4x³ + 4x²) ÷ (x - 4)

\frac{y³ + 11y² - 10y + 6}{y + 2}

(g⁴ - 3g² - 18) ÷ (g - 2)

أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1- (x² + x - 6)(2 - x)؟

استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي :

(6a² - 3a + 9) ÷ (3a - 2)

\frac{6x⁵ + 5x⁴ + x³ - 3x² + x}{3x + 1}

هندسة : صُمّم صندوق على شكل متوازي مستطيلات بحيث ترتبط أبعاده بعلاقة معينة بدلالة المتغير x . فإذا كان حجم الصندوق 30 + 3 + 6x³ + 31x² ، وارتفاعه 2 + x فما عرض قاعدته، وماطولها ؟

فيزياء : يرتبط فرق جهد التيار V بشدة التيار C، والقوة P بالمعادلة \frac{P}{C} = V . فإذا عُبّر عن القوة بالدالة 24 + 26 + 9t² + t³ = P(t) ، وشدة التيار بالمعادلة 4 + t = C ، فاكتب عبارة تمثل فرق الجهد V.

بسط كل عبارة فيما يأتي: (x⁴ - y⁴) ÷ (x - y)

(28c³d² – 21cd²) ÷ (14cd)

(a³b² - a²b + 2b)(-ab)⁻¹

\frac{n³ + 3n² - 5n - 4}{n + 4}

\frac{p³ + 2p² - 7p - 21}{p + 3}

\frac{3z⁵ + 5z⁴ + z + 5}{z + 2}

وزارة التعليم of Education Mi

الدرس 4-3 قسمة كثيرات الحدود 2023 - 1447

تأكد --- SECTION: مثال 1 --- بسط كل عبارة فيما يأتي : \frac{4xy²-2xy + 2x²y}{xy} (3a²b - 6ab + 5ab²)(ab)⁻¹ --- SECTION: المثالان 2, 4 --- استعمل القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة) أو القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي: (x² - 6x - 20) ÷ (x + 2) (2a² - 4a - 8) ÷ (a + 1) (3z⁴ - 6z³ - 9z² + 3z - 6) ÷ (z + 3) (y⁵ - 3y² - 20) ÷ (y - 2) اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1- (x² + 3x - 9)(4 - x)؟ -x - 7 + \frac{19}{4-x} A -x - 7 B x + 7 - \frac{19}{4-x} C -x - 7 - \frac{19}{4-x} D --- SECTION: مثال 5 --- استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي : (10x² + 15x + 20) ÷ (5x + 5) (18a² + 6a + 9) ÷ (3a - 2) \frac{12b² + 23b + 15}{3b + 8} \frac{27y² + 27y - 30}{9y - 6} تدرب وحل المسائل --- SECTION: مثال 1 --- بسط كل عبارة فيما يأتي : \frac{24a³b² - 16a²b³}{8ab} \frac{5x²y - 10xy + 15xy²}{5xy} \frac{7g³h² + 3g²h - 2gh³}{gh} \frac{4a³b - 6ab + 2ab²}{2ab} \frac{16c⁴d⁴ - 24c²d²}{4c²d²} \frac{9n³p³ - 18n²p² + 21n²p³}{3n²p²} --- SECTION: المثالان 2, 4 --- استعمل القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة) أو القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي: (a² - 8a - 26) ÷ (a + 2) (b³ - 4b² + b - 2) ÷ (b + 1) (z⁴ - 3z³ + 2z² - 4z + 4)(z - 1)⁻¹ (x⁵ - 4x³ + 4x²) ÷ (x - 4) \frac{y³ + 11y² - 10y + 6}{y + 2} (g⁴ - 3g² - 18) ÷ (g - 2) أي مما يأتي يكافئ العبارة : 1- (x² + x - 6)(2 - x)؟ x + 3 A -x - 1 B -x + 1 C -x - 3 D --- SECTION: مثال 5 --- استعمل القسمة التركيبية؛ لإيجاد الناتج في كل مما يأتي : (6a² - 3a + 9) ÷ (3a - 2) \frac{6x⁵ + 5x⁴ + x³ - 3x² + x}{3x + 1} هندسة : صُمّم صندوق على شكل متوازي مستطيلات بحيث ترتبط أبعاده بعلاقة معينة بدلالة المتغير x . فإذا كان حجم الصندوق 30 + 3 + 6x³ + 31x² ، وارتفاعه 2 + x فما عرض قاعدته، وماطولها ؟ فيزياء : يرتبط فرق جهد التيار V بشدة التيار C، والقوة P بالمعادلة \frac{P}{C} = V . فإذا عُبّر عن القوة بالدالة 24 + 26 + 9t² + t³ = P(t) ، وشدة التيار بالمعادلة 4 + t = C ، فاكتب عبارة تمثل فرق الجهد V. بسط كل عبارة فيما يأتي: (x⁴ - y⁴) ÷ (x - y) (28c³d² – 21cd²) ÷ (14cd) (a³b² - a²b + 2b)(-ab)⁻¹ \frac{n³ + 3n² - 5n - 4}{n + 4} \frac{p³ + 2p² - 7p - 21}{p + 3} \frac{3z⁵ + 5z⁴ + z + 5}{z + 2} وزارة التعليم of Education Mi الدرس 4-3 قسمة كثيرات الحدود 2023 - 1447