الربط مع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قسمة كثيرات الحدود - تمارين وتطبيقات

المفاهيم الأساسية

* القسمة التركيبية: طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد (x - r).

* الباقي: إذا كان الباقي 0 عند قسمة كثيرة حدود على ثنائية حد، فإن ثنائية الحد هذه هي أحد عوامل كثيرة الحدود.

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على كثيرات الحدود

قسمة كثيرات الحدود

قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود (القسمة الطويلة)

#### خطوات الخوارزمية

• ترتيب حدود المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب الدرجة
• قسمة الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه
• ضرب الناتج في المقسوم عليه وطرحه من المقسوم
• تكرار الخطوات حتى يصدر باقي القسمة صفراً أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه

#### كتابة النتيجة مع الباقي

• يمكن كتابة نتيجة قسمة كثيرتي حدود مع باق، مثل قسمة الأعداد الكلية.
• مثال: (a² + 7a - 11) ÷ (3 - a) = -a - 10 + \frac{19}{3-a}

القسمة التركيبية

• طريقة مختصرة للقسمة على ثنائية حد (x - r)

#### خطوات القسمة التركيبية

• الخطوة 1: كتابة معاملات المقسوم مرتبة تنازلياً. كتابة الثابت r في الصندوق، وكتابة المعامل الأول أسفل الخط.
• الخطوة 2: ضرب المعامل الأول في r، وكتابة الناتج أسفل المعامل التالي.
• الخطوة 3: جمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه.
• الخطوة 4: تكرار الخطوتين 2 و3 حتى العمود الأخير.
• النتيجة: الأعداد في الصف الأخير تمثل معاملات ناتج القسمة (درجته أقل بواحد من درجة المقسوم)، والعدد الأخير هو الباقي.

#### مثال تطبيقي

• المثال: (2x³ – 13x² + 26x – 24) ÷ (x - 4)
• الناتج: 2x² - 5x + 6 والباقي 0.

#### حالة خاصة: معامل x في المقسوم عليه لا يساوي 1

• الخطوة: إعادة كتابة عبارة القسمة بقسمة كل من البسط والمقام على معامل `x` في المقسوم عليه.
• الهدف: جعل معامل `x` في المقسوم عليه يساوي 1 لاستخدام القسمة التركيبية.
• تنبيه: قسمة جميع الحدود في البسط والمقام على معامل `x` في المقام.

#### مثال تطبيقي للحالة الخاصة

• المثال: (3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) ÷ (3x + 1)
• الخطوة 1: قسمة البسط والمقام على 3: \frac{(3x⁴ – 5x³ + x² + 7x) ÷ 3}{(3x+1)÷3} = \frac{x⁴ – \frac{5}{3}x³ + \frac{1}{3}x² + \frac{7}{3}x}{x + \frac{1}{3}}
• الخطوة 2: تطبيق القسمة التركيبية على `r = -1/3`.
• الخطوة 3: تبسيط الناتج النهائي بضرب البسط والمقام في 3.
• الناتج النهائي: x³ - 2x² + x + 2 - \frac{2}{3x+1}

#### تنبيهات وإرشادات

• تنبيه: تذكر أن الحدود تُجمع ولا تُطرح عند إجراء القسمة التركيبية.
• إرشاد للدراسة: إذا لم يوجد أحد الحدود في كثيرة حدود المقسوم فأضفه وليكن معامله صفراً.

تطبيقات عملية

#### تبسيط عبارات كسرية

• قسمة كل حد في البسط على المقسوم عليه (حد وحيد).
• مثال: \frac{4xy²-2xy + 2x²y}{xy}

#### تطبيقات هندسية وفيزيائية

• هندسة: إيجاد أبعاد شكل (كالطول والعرض) من خلال قسمة حجمه على أحد أبعاده.
• فيزياء: إيجاد فرق الجهد (V) من خلال قسمة القوة (P) على شدة التيار (C).

#### تطبيقات متنوعة

• حياتية: تقدير عدد النسخ المبيعة من مجلة باستعمال معادلة تتضمن قسمة كثيرات حدود.
• هندسية: إيجاد عرض مستطيل من خلال قسمة مساحته على طوله.

```

نقاط مهمة

* يمكن حل مسائل قسمة كثيرات الحدود بطرق متعددة: حسياً (بالبطاقات الجبرية)، ورمزياً، وجبرياً (بالقسمة الطويلة أو التركيبية).

* العلاقة بين درجات المقسوم والمقسوم عليه وناتج القسمة: درجة ناتج القسمة = درجة المقسوم - درجة المقسوم عليه.

* يمكن كتابة عبارة قسمة يكون باقيها أي عدد محدد (مثل 3).

* الربط مع الحياة: تُستخدم قسمة كثيرات الحدود في تصميم وإخراج الإعلانات المتنوعة (مطبوعة، مباشرة، خارجية، مسموعة مرئية، تفاعلية).

فن الإعلان جزء من النشاط الترويجي المتعدد العناصر، ولكنه يتفوق من حيث إمكانية تحقيقه اتصالا على نطاق واسع جدا في وقت محدود. ومع التطور التقني تطور تصميم وإخراج الدعاية والإعلانات. ومن أنواع الإعلانات الإعلان المطبوع الإعلان المباشر، الإعلان الخارجي، الإعلان المسموع المرئي، الإعلان التفاعلي.

أعمال : يمكن تقدير عدد النسخ المبيعة من مجلة باستعمال المعادلة = n ؛ حيث a المبلغ الذي تنفقه المجلة على الإعلان بمئات الريالات، و n عدد النسخ المبيعة من المجلة.

تمثيلات متعددة: افترض أن مساحة مستطيل هي 3 + 2x 2 + x ، وطوله 1 + 2x .

اكتشف الخطأ : قسم كلُّ من خليفة وجمال 1 - 3 + 4x2 - 23 على 3 - x ، فقال خليفة: إن الباقي 26، وقال جمال: إن الباقي 100 . فأيهما إجابته صحيحة؟ فسّر إجابتك.

تحد: إذا قسمت كثيرة حدود على ثنائية حد وكان الباقي 0 ، فما الذي تستنتجه عن العلاقة بينهما؟

تبرير راجع أحد أسئلة القسمة في هذا الدرس، وبين العلاقة بين درجة كل من: المقسوم، والمقسوم عليه، وناتج القسمة.

مسألة مفتوحة : اكتب عبارة تتضمن قسمة كثيرتي حدود، بحيث يكون الباقي 3 .

حدد العبارة المختلفة عن العبارات الثلاث الأخرى، وفسر إجابتك.

3xy + 6x2

5 x2

x+5

5b+11c9ad2

اكتب: استعن بالمعلومات المعطاة في فقرة "لماذا ؟" في بداية هذا الدرس، واكتب تعليمات متسلسلة لعمل غلاف لكتاب الرياضيات باستعمال قسمة كثيرات الحدود.

أي مما يأتي يكافئ العبارة: 4-)؟x² + 2x + 3) - 3(2x2 – 5x + 1(

أي كثيرات الحدود الآتية درجتها 3؟

بسط كل عبارة فيما يأتي : (الدرس (3-3)

4a(2a-3) + 3a(5а - 4)

(xy)2(2xy2z)3

(3ab²)-2(2a2b)2

إذا كان 3 + h(x) = -2x2 – 2x + 4, f(x) = 4x + (الدرس 2-1) فأوجد قيمة كل مما يأتي:

--- SECTION: الربط مع الحياة --- فن الإعلان جزء من النشاط الترويجي المتعدد العناصر، ولكنه يتفوق من حيث إمكانية تحقيقه اتصالا على نطاق واسع جدا في وقت محدود. ومع التطور التقني تطور تصميم وإخراج الدعاية والإعلانات. ومن أنواع الإعلانات الإعلان المطبوع الإعلان المباشر، الإعلان الخارجي، الإعلان المسموع المرئي، الإعلان التفاعلي. --- SECTION: 35 --- أعمال : يمكن تقدير عدد النسخ المبيعة من مجلة باستعمال المعادلة = n ؛ حيث a المبلغ الذي تنفقه المجلة على الإعلان بمئات الريالات، و n عدد النسخ المبيعة من المجلة. a. أجر عملية القسمة المعبر عنها بالمقدار : 3500a2 a² + 100 b. كم نسخة بيعت من المجلة إذا أنفق على الدعاية والإعلان 6000 ريال؟ --- SECTION: 36 --- تمثيلات متعددة: افترض أن مساحة مستطيل هي 3 + 2x 2 + x ، وطوله 1 + 2x . a. حسيا : مثل الموقف باستعمال البطاقات الجبرية، ثم استعملها لإيجاد عرض المستطيل. b. رمزيا: اكتب عبارةً جبريّةً تمثل إيجاد عرض المستطيل . c. جبريًا : حل المسألة جبريًا باستعمال القسمة التركيبية أو القسمة الطويلة، وهل يتفق الحل باستعمال البطاقات الجبرية مع الحل الجبري ؟ --- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا --- --- SECTION: 37 --- اكتشف الخطأ : قسم كلُّ من خليفة وجمال 1 - 3 + 4x2 - 23 على 3 - x ، فقال خليفة: إن الباقي 26، وقال جمال: إن الباقي 100 . فأيهما إجابته صحيحة؟ فسّر إجابتك. --- SECTION: 38 --- تحد: إذا قسمت كثيرة حدود على ثنائية حد وكان الباقي 0 ، فما الذي تستنتجه عن العلاقة بينهما؟ --- SECTION: 39 --- تبرير راجع أحد أسئلة القسمة في هذا الدرس، وبين العلاقة بين درجة كل من: المقسوم، والمقسوم عليه، وناتج القسمة. --- SECTION: 40 --- مسألة مفتوحة : اكتب عبارة تتضمن قسمة كثيرتي حدود، بحيث يكون الباقي 3 . --- SECTION: 41 --- حدد العبارة المختلفة عن العبارات الثلاث الأخرى، وفسر إجابتك. 3xy + 6x2 5 x2 x+5 5b+11c9ad2 --- SECTION: 42 --- اكتب: استعن بالمعلومات المعطاة في فقرة "لماذا ؟" في بداية هذا الدرس، واكتب تعليمات متسلسلة لعمل غلاف لكتاب الرياضيات باستعمال قسمة كثيرات الحدود. --- SECTION: تدريب على اختبار --- --- SECTION: 43 --- أي مما يأتي يكافئ العبارة: 4-)؟x² + 2x + 3) - 3(2x2 – 5x + 1( 2x2 A -10x2 B -10x² + 17x C 2x² + 17x D --- SECTION: 44 --- أي كثيرات الحدود الآتية درجتها 3؟ x²+x²-2x4 A -2x23x+4 B x² + x + 123 C 1 + x + x3 D --- SECTION: مراجعة تراكمية --- بسط كل عبارة فيما يأتي : (الدرس (3-3) --- SECTION: 45 --- 4a(2a-3) + 3a(5а - 4) --- SECTION: 46 --- (xy)2(2xy2z)3 --- SECTION: 47 --- (3ab²)-2(2a2b)2 --- SECTION: 48 --- إذا كان 3 + h(x) = -2x2 – 2x + 4, f(x) = 4x + (الدرس 2-1) فأوجد قيمة كل مما يأتي: f(-6). --- SECTION: 49 --- h(3). --- SECTION: 50 --- f(c). --- SECTION: 51 --- h(2b+1).