التمثيل البياني لكثيرات الحدود - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 سلوك طرفي التمثيل البياني لكثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

سلوك طرفي التمثيل البياني: سلوك قيم الدالة (f(x عندما تقترب x من +∞ أو -∞.

∞+ (ما لا نهاية): رمز للتعبير عن التزايد غير المحدود لقيم المتغير x، ويكتب x → +∞.

∞- (ما لا نهاية سالب): رمز للتعبير عن التناقص غير المحدود لقيم المتغير x، ويكتب x → -∞.

مجال دالة كثيرة الحدود: مجموعة الأعداد الحقيقية.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تعريف كثيرة الحدود

عبارة جبرية بمتغير واحد

الصيغة العامة: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

مفاهيم أساسية

الصيغة القياسية

#### ترتيب الأسس تنازلياً

درجة كثيرة الحدود

#### أكبر أس للمتغير

المعامل الرئيس

#### معامل الحد ذو أكبر أس

سلوك طرفي التمثيل البياني

العوامل المحددة

#### درجة الدالة (زوجية/فردية)

#### إشارة المعامل الرئيس (موجب/سالب)

الحالات

#### دالة فردية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة فردية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

أمثلة وتطبيقات

مثال تطبيقي من الحياة

#### حجم الهواء في الرئتين: v(t) = -0.037t³ + 0.152t² + 0.173t

تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 8x⁵ - 4x³ + 2x² - x - 3

##### الدرجة: 5

##### المعامل الرئيس: 8

#### مثال: 12x² - 3xy + 8x

##### ليست كثيرة حدود بمتغير واحد (متغيران: x, y)

إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود

التعويض بقيمة عددية

#### مثال: إيجاد حجم الهواء في الرئتين عند زمن محدد

التعويض بمتغير أو عبارة جبرية

#### مثال: إيجاد قيمة f(3c-4) - 5f(c) عندما f(x) = x² + 2x – 3

```

نقاط مهمة

• يحدد سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود بكل من: درجة الدالة والمعامل الرئيس لها فقط.
• عندما تكون الدالة فردية الدرجة، يتجه طرفا التمثيل البياني في اتجاهين مختلفين.
• عندما تكون الدالة زوجية الدرجة، يتجه طرفا التمثيل البياني في الاتجاه نفسه.

إن التمثيل البياني لكثيرات الحدود يقطع هذا التمثيل المحور X، وهذا العدد يمثل درجة كثيرة الحدود.

الرمزان ∞+, ∞- نعبر عن التزايد غير المحدود لقيم المتغير x باستعمال الرمز ∞+ ويقرأ ما لا نهاية ويكتب x → +∞ كما تعبر عن التناقص غير المحدود لقيم المتغير x باستعمال الرمز -∞ ويقرأ ما لا نهاية سالب ويكتب x → -∞

مجال دالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية وتحدد سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة (f(x) عندما تقترب x من المالانهاية (+∞ ← x)، أو سالب المالانهاية (-∞ ← x) بكل من: درجة دالة كثيرة الحدود والمعامل الرئيس لها.

سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود

الدالة الزوجية: فردية المعامل الرئيس: موجب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية سلوك طرفي التمثيل البياني: (في اتجاهين مختلفين) f(x) → -∞ عندما x → -∞ f(x) → +∞ عندما x → +∞

الدالة الزوجية: زوجية المعامل الرئيس: موجب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من أو التي تساوي القيمة الصغرى . سلوك طرفي التمثيل البياني: (في الاتجاه نفسه) f(x) → +∞ عندما x → -∞ f(x) → +∞ عندما x → +∞

الدالة: فردية المعامل الرئيس: سالب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية سلوك طرفي التمثيل البياني: (في اتجاهين مختلفين) f(x) → +∞ عندما x → -∞ f(x) → -∞ عندما x → +∞

الدالة: زوجية المعامل الرئيس: سالب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية الأقل من أو التي تساوي القيمة العظمى . سلوك طرفي التمثيل البياني: (في الاتجاه نفسه) f(x) → -∞ عندما x → -∞ f(x) → -∞ عندما x → +∞

سلوك طرفي التمثيل البياني المعامل الرئيس ودرجة كثيرة الحدود هما العاملان الوحيدان في تحديد سلوك طرفي التمثيل البياني.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها

--- SECTION: التمثيل البياني لكثيرات الحدود --- إن التمثيل البياني لكثيرات الحدود يقطع هذا التمثيل المحور X، وهذا العدد يمثل درجة كثيرة الحدود. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- الرمزان ∞+, ∞- نعبر عن التزايد غير المحدود لقيم المتغير x باستعمال الرمز ∞+ ويقرأ ما لا نهاية ويكتب x → +∞ كما تعبر عن التناقص غير المحدود لقيم المتغير x باستعمال الرمز -∞ ويقرأ ما لا نهاية سالب ويكتب x → -∞ مجال دالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية وتحدد سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة (f(x) عندما تقترب x من المالانهاية (+∞ ← x)، أو سالب المالانهاية (-∞ ← x) بكل من: درجة دالة كثيرة الحدود والمعامل الرئيس لها. --- SECTION: مفهوم أساسي --- سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود الدالة الزوجية: فردية المعامل الرئيس: موجب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية سلوك طرفي التمثيل البياني: (في اتجاهين مختلفين) f(x) → -∞ عندما x → -∞ f(x) → +∞ عندما x → +∞ الدالة الزوجية: زوجية المعامل الرئيس: موجب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من أو التي تساوي القيمة الصغرى . سلوك طرفي التمثيل البياني: (في الاتجاه نفسه) f(x) → +∞ عندما x → -∞ f(x) → +∞ عندما x → +∞ الدالة: فردية المعامل الرئيس: سالب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية سلوك طرفي التمثيل البياني: (في اتجاهين مختلفين) f(x) → +∞ عندما x → -∞ f(x) → -∞ عندما x → +∞ الدالة: زوجية المعامل الرئيس: سالب المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية الأقل من أو التي تساوي القيمة العظمى . سلوك طرفي التمثيل البياني: (في الاتجاه نفسه) f(x) → -∞ عندما x → -∞ f(x) → -∞ عندما x → +∞ --- SECTION: إرشادات للدراسة --- سلوك طرفي التمثيل البياني المعامل الرئيس ودرجة كثيرة الحدود هما العاملان الوحيدان في تحديد سلوك طرفي التمثيل البياني. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A downward-opening parabola with its vertex at the origin. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents a quadratic function (degree 2) with a negative leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A straight line passing through the origin with a positive slope. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents a linear function (degree 1) with a positive leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A horizontal line above the x-axis. X-axis: x Y-axis: f(x) Key Values: y = 1 Context: Represents a constant function (degree 0). **GRAPH**: Untitled Description: A W-shaped curve with two troughs and a central peak. It has two distinct x-intercepts. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents a function of degree 5 with a positive leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A symmetrical W-shaped curve with two troughs and a central peak, opening upwards. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents a function of degree 4 with a positive leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A cubic curve passing through the origin, with an inflection point at the origin. It rises from the bottom left to the top right. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents a cubic function (degree 3) with a positive leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A cubic curve passing through the origin, with an inflection point at the origin. It rises from the bottom left to the top right. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Example of an odd-degree polynomial function with a positive leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: An upward-opening parabola with its vertex at the origin. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Example of an even-degree polynomial function with a positive leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A curve passing through the origin, with an inflection point at the origin. It falls from the top left to the bottom right. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents an odd-degree polynomial function with a negative leading coefficient. **GRAPH**: Untitled Description: A symmetrical W-shaped curve opening downwards, with two troughs and a central peak. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Represents an even-degree polynomial function with a negative leading coefficient.