مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 دوال كثيرات الحدود (تمارين وتحليل بياني)

المفاهيم الأساسية

سلوك طرفي التمثيل البياني: وصف اتجاه منحنى الدالة عندما تكون قيم `x` كبيرة جداً (تتجه إلى ∞+ أو ∞-).

درجة الدالة (زوجية/فردية): تحدد من شكل المنحنى وسلوك طرفيه.

الأصفار الحقيقية: عدد نقاط تقاطع التمثيل البياني مع محور `x`.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تعريف كثيرة الحدود

عبارة جبرية بمتغير واحد

الصيغة العامة: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

مفاهيم أساسية

الصيغة القياسية

#### ترتيب الأسس تنازلياً

درجة كثيرة الحدود

#### أكبر أس للمتغير

المعامل الرئيس

#### معامل الحد ذو أكبر أس

سلوك طرفي التمثيل البياني

العوامل المحددة

#### درجة الدالة (زوجية/فردية)

#### إشارة المعامل الرئيس (موجب/سالب)

الحالات

#### دالة فردية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة فردية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

أمثلة وتطبيقات

مثال تطبيقي من الحياة

#### حجم الهواء في الرئتين: v(t) = -0.037t³ + 0.152t² + 0.173t

تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 8x⁵ - 4x³ + 2x² - x - 3

##### الدرجة: 5

##### المعامل الرئيس: 8

#### مثال: 12x² - 3xy + 8x

##### ليست كثيرة حدود بمتغير واحد (متغيران: x, y)

إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود

التعويض بقيمة عددية

#### مثال: إيجاد حجم الهواء في الرئتين عند زمن محدد

التعويض بمتغير أو عبارة جبرية

#### مثال: إيجاد قيمة f(3c-4) - 5f(c) عندما f(x) = x² + 2x – 3

أصفار الدالة

التعريف

#### الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنى مع المحور x

تحديد عدد الأصفار

#### عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع محور x

الصفر المكرر

#### عندما يمس المنحنى المحور x فقط

العلاقة بدرجة الدالة

#### الدوال الفردية الدرجة

##### عدد فردي من الأصفار الحقيقية

#### الدوال الزوجية الدرجة

##### عدد زوجي من الأصفار الحقيقية

##### أو لا يكون لها أصفار حقيقية

تمارين الصفحة 142

مثال 1: تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

#### تمارين 1-4 و 13-20

مثال 2: إيجاد قيمة الدالة عند عدد

#### تمارين 5-6 و 21-24

مثال 3: التعويض بمتغير أو عبارة

#### تمارين 7-10 و 25-30

مثال 4: تحليل التمثيل البياني

#### الشكل 11 والشكل 12

##### وصف سلوك الطرفين

##### تحديد زوجية/فردية الدرجة

##### عد الأصفار الحقيقية

تمارين الصفحة 143

تحليل التمثيلات البيانية (31-33)

#### وصف سلوك الطرفين

#### تحديد زوجية/فردية الدرجة

#### عد الأصفار الحقيقية

تطبيقات حياتية

#### فيزياء: الطاقة الحركية

##### KE(v) = 0.5mv^2

#### ملابس: أرباح مصنع

##### w(x) = -x^4 + 40x^2 - 144

إيجاد قيمة الدالة عند عدد (35-38)

#### التعويض بقيم محددة (مثل f(8), f(-2))

مطابقة الدالة مع تمثيلها البياني (39-42)

#### استخدام درجة الدالة وسلوك طرفي التمثيل البياني

التعويض بمتغير أو عبارة (43-46)

#### مع دوال محددة: c(x) = x^3 - 2x, d(x) = 4x^2 - 6x + 8

```

نقاط مهمة

تحليل التمثيل البياني يتطلب الإجابة عن: سلوك الطرفين، زوجية/فردية الدرجة، عدد الأصفار الحقيقية.
تطبيقات دوال كثيرات الحدود تشمل مجالات مثل الفيزياء (الطاقة الحركية) والأعمال (حساب الأرباح).
يمكن إيجاد قيمة الدالة عند عدد (تعويض مباشر) أو عند متغير أو عبارة جبرية.
الربط مع الحياة: يستخدم تصميم الملابس عناصر علمية وجمالية، وتنتج من ألياف طبيعية وصناعية.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

أجب عن الفروع من a-c لكل التمثيلات البيانية الآتية:
a) صف سلوك طرفي التمثيل البياني.
b) حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية.
c) اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(31)

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(32)

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(33)

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

34) فيزياء: تعطى الطاقة الحركية KE بالجول لجسم متحرك كتلته m kg بالدالة KE(v) = 0.5mv^2، حيث تمثل v سرعة الجسم بالأمتار لكل ثانية. أوجد الطاقة الحركية لعربة كتلتها 171 kg تسير بسرعة 11m/s.

نوع: محتوى تعليمي

أوجد f(8), f(-2) لكل دالة مما يأتي:

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = 1/4 x^4 + 1/2 x^3 - 4x^2 (35)

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = 1/8 x^4 - 3/2 x^3 + 12x - 18 (36)

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = 3/4 x^4 - 1/8 x^2 + 6x (37)

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = 5/8 x^3 - 1/2 x^2 + 3/4 x + 10 (38)

نوع: محتوى تعليمي

حدد التمثيل البياني المناسب لكل دالة في الأسئلة (42-39) مستعملاً درجة كثيرة الحدود وسلوك طرفي التمثيل البياني لها.

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x (39)

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = -2x^2 + 8x + 5 (40)

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = x^4 - 3x^2 + 6x (41)

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = -4x^3 - 4x^2 + 8 (42)

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

فن صناعة تصميم الملابس يعتمد على العلم والجمال، ويقوم على عدة عناصر تتكامل من حيث الخط والشكل واللون والنسيج، وتتناسق من حيث التصميم والابتكار ليحصل الفرد في النهاية على زي يُشعره بالتناسق، ويراعى مراحل ترتيب قياسية في مراحل إنتاج الملابس الجاهزة. وتنتج الملابس من الألياف الصناعية بجانب الألياف الطبيعية والمخلوطة ذات الطبيعة الخاصة.

نوع: محتوى تعليمي

إذا كانت c(x) = x^3 - 2x, d(x) = 4x^2 - 6x + 8، فأوجد كلاً مما يأتي:

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3c(a - 4) + 3d(a + 5) (43)

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

-2d(2a + 3) - 4c(a^2 + 1) (44)

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5c(a^2) - 8d(6 - 3a) (45)

46

نوع: QUESTION_HOMEWORK

-7d(a^3) + 6c(a^4 + 1) (46)

47

نوع: QUESTION_HOMEWORK

47) ملابس: تُمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود w(x) = -x^4 + 40x^2 - 144، حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف، و w(x) ربح المصنع بألوف الريالات.
a) أنشئ جدولاً لتمثيل الدالة بيانياً، ثم مثلها (استعمل قيم x التالية: 7, 6, 4, 2, 1, 0, -2, -3, -4, -6, -7).
b) أوجد أصفار الدالة.
c) بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحاً.
d) وضح لماذا أخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c.

🔍 عناصر مرئية

A quartic-like function with two minima and one maximum. Both ends point upwards.

A cubic-like function with one maximum and one minimum. Left end points up, right end points down.

A quartic-like function with two maxima and one minimum. Both ends point downwards.

Cubic function behavior: left end down, right end up.

Quadratic function behavior: both ends down.

Cubic function behavior: left end up, right end down.

Quartic function behavior: both ends up.

A photograph showing a variety of colorful clothing items hanging on a rack in a retail setting.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال 4 ---
أجب عن الفروع من a-c لكل التمثيلات البيانية الآتية:
a) صف سلوك طرفي التمثيل البياني.
b) حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية.
c) اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.
a. صف سلوك طرفي التمثيل البياني.
b. حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية.
c. اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.

--- SECTION: 31 ---
(31)

--- SECTION: 32 ---
(32)

--- SECTION: 33 ---
(33)

--- SECTION: 34 ---
34) فيزياء: تعطى الطاقة الحركية KE بالجول لجسم متحرك كتلته m kg بالدالة KE(v) = 0.5mv^2، حيث تمثل v سرعة الجسم بالأمتار لكل ثانية. أوجد الطاقة الحركية لعربة كتلتها 171 kg تسير بسرعة 11m/s.

أوجد f(8), f(-2) لكل دالة مما يأتي:

--- SECTION: 35 ---
f(x) = 1/4 x^4 + 1/2 x^3 - 4x^2 (35)

--- SECTION: 36 ---
f(x) = 1/8 x^4 - 3/2 x^3 + 12x - 18 (36)

--- SECTION: 37 ---
f(x) = 3/4 x^4 - 1/8 x^2 + 6x (37)

--- SECTION: 38 ---
f(x) = 5/8 x^3 - 1/2 x^2 + 3/4 x + 10 (38)

حدد التمثيل البياني المناسب لكل دالة في الأسئلة (42-39) مستعملاً درجة كثيرة الحدود وسلوك طرفي التمثيل البياني لها.

--- SECTION: 39 ---
f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x (39)

--- SECTION: 40 ---
f(x) = -2x^2 + 8x + 5 (40)

--- SECTION: 41 ---
f(x) = x^4 - 3x^2 + 6x (41)

--- SECTION: 42 ---
f(x) = -4x^3 - 4x^2 + 8 (42)

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
فن صناعة تصميم الملابس يعتمد على العلم والجمال، ويقوم على عدة عناصر تتكامل من حيث الخط والشكل واللون والنسيج، وتتناسق من حيث التصميم والابتكار ليحصل الفرد في النهاية على زي يُشعره بالتناسق، ويراعى مراحل ترتيب قياسية في مراحل إنتاج الملابس الجاهزة. وتنتج الملابس من الألياف الصناعية بجانب الألياف الطبيعية والمخلوطة ذات الطبيعة الخاصة.

إذا كانت c(x) = x^3 - 2x, d(x) = 4x^2 - 6x + 8، فأوجد كلاً مما يأتي:

--- SECTION: 43 ---
3c(a - 4) + 3d(a + 5) (43)

--- SECTION: 44 ---
-2d(2a + 3) - 4c(a^2 + 1) (44)

--- SECTION: 45 ---
5c(a^2) - 8d(6 - 3a) (45)

--- SECTION: 46 ---
-7d(a^3) + 6c(a^4 + 1) (46)

--- SECTION: 47 ---
47) ملابس: تُمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود w(x) = -x^4 + 40x^2 - 144، حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف، و w(x) ربح المصنع بألوف الريالات.
a) أنشئ جدولاً لتمثيل الدالة بيانياً، ثم مثلها (استعمل قيم x التالية: 7, 6, 4, 2, 1, 0, -2, -3, -4, -6, -7).
b) أوجد أصفار الدالة.
c) بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحاً.
d) وضح لماذا أخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c.
a. أنشئ جدولاً لتمثيل الدالة بيانياً، ثم مثلها (استعمل قيم x التالية: 7, 6, 4, 2, 1, 0, -2, -3, -4, -6, -7).
b. أوجد أصفار الدالة.
c. بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحاً.
d. وضح لماذا أخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c.

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: A quartic-like function with two minima and one maximum. Both ends point upwards.

**GRAPH**: Untitled
Description: A cubic-like function with one maximum and one minimum. Left end points up, right end points down.

**GRAPH**: Untitled
Description: A quartic-like function with two maxima and one minimum. Both ends point downwards.

**GRAPH**: Untitled
Description: Cubic function behavior: left end down, right end up.

**GRAPH**: Untitled
Description: Quadratic function behavior: both ends down.

**GRAPH**: Untitled
Description: Cubic function behavior: left end up, right end down.

**GRAPH**: Untitled
Description: Quartic function behavior: both ends up.

**IMAGE**: Untitled
Description: A photograph showing a variety of colorful clothing items hanging on a rack in a retail setting.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 3: 3) فن: في المثال أعلاه، ما احتمال أن تكون اللوحة التي اختارها إبراهيم مائية أو شكلاً هندسياً؟

الإجابة: س3: عدد اللوحات المائية = 12 ، وعدد لوحات الأشكال الهندسية = 11 ، والتقاطع = 3 $P(\text{هندسية} \cup \text{مائية}) = \frac{12}{30} + \frac{11}{30} - \frac{3}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من المعلومات في السؤال: - إجمالي عدد اللوحات: 30 لوحة. - عدد اللوحات المائية: 12 لوحة. - عدد لوحات الأشكال الهندسية: 11 لوحة. - عدد اللوحات التي هي مائية وهندسية معاً (التقاطع): 3 لوحات.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الاحتمال لحادثتين: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ حيث: - $A$ هو حدث اختيار لوحة مائية. - $B$ هو حدث اختيار لوحة هندسية. - $A \cap B$ هو حدث اختيار لوحة مائية وهندسية معاً.
**الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب احتمالات كل حدث على حدة: $$P(A) = \frac{\text{عدد اللوحات المائية}}{\text{إجمالي اللوحات}} = \frac{12}{30}$$ $$P(B) = \frac{\text{عدد اللوحات الهندسية}}{\text{إجمالي اللوحات}} = \frac{11}{30}$$ $$P(A \cap B) = \frac{\text{عدد اللوحات المائية والهندسية}}{\text{إجمالي اللوحات}} = \frac{3}{30}$$ ثانياً، نعوض في القانون: $$P(A \cup B) = \frac{12}{30} + \frac{11}{30} - \frac{3}{30}$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** نقوم بالجمع والطرح: $$P(A \cup B) = \frac{12 + 11 - 3}{30} = \frac{20}{30}$$ نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 10: $$\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$$ إذن احتمال أن تكون اللوحة مائية أو شكلاً هندسياً هو: **$\frac{2}{3}$**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما قانون حساب الطاقة الحركية لجسم متحرك، وما وحدات الكميات المستخدمة فيه؟

أ) KE = m × v، حيث KE بالجول، m بالجرام، v بالأمتار لكل ثانية.
ب) KE = 0.5 × m × v²، حيث KE بالجول، m بالكيلوجرام، v بالأمتار لكل ثانية.
ج) KE = m × v²، حيث KE بالكيلوجرام.متر/ثانية، m بالكيلوجرام، v بالأمتار لكل ثانية.
د) KE = 0.5 × m × v، حيث KE بالجول، m بالكيلوجرام، v بالأمتار لكل ثانية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: KE = 0.5 × m × v²، حيث KE بالجول، m بالكيلوجرام، v بالأمتار لكل ثانية.

الشرح: 1. القانون: KE(v) = 0.5 × m × v². 2. الوحدات: الكتلة (m) تقاس بالكيلوجرام (kg). 3. السرعة (v) تقاس بالأمتار لكل ثانية (m/s). 4. الطاقة الحركية (KE) تقاس بالجول (J).

تلميح: تذكر أن الطاقة الحركية تعتمد على كتلة الجسم ومربع سرعته.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

إذا كانت دالة كثيرة الحدود من الدرجة الفردية (مثل x³)، فكيف يكون سلوك طرفي تمثيلها البياني؟

أ) طرفي التمثيل البياني يتجهان في نفس الاتجاه (كلاهما لأعلى أو كلاهما لأسفل).
ب) طرفي التمثيل البياني يتجهان في اتجاهين متعاكسين (أحدهما لأعلى والآخر لأسفل).
ج) التمثيل البياني يكون دائماً على شكل قطع مكافئ.
د) سلوك الطرفين يعتمد فقط على عدد الأصفار وليس على الدرجة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: طرفي التمثيل البياني يتجهان في اتجاهين متعاكسين (أحدهما لأعلى والآخر لأسفل).

الشرح: 1. درجة الدالة تحدد سلوك طرفي المنحنى. 2. إذا كانت الدرجة فردية ومعامل الحد الأعلى موجباً، فإن الطرف الأيسر يتجه لأسفل والأيمن يتجه لأعلى. 3. إذا كان المعامل سالباً، فإن العكس يحدث. 4. النقطة الأساسية هي أن الطرفين يتجهان في اتجاهين متعاكسين.

تلميح: فكر في شكل منحنى الدالة التكعيبية البسيطة y = x³.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت دالة الربح لمصنع ملابس هي w(x) = -x⁴ + 40x² - 144، حيث x عدد القطع بالألوف، فماذا تمثل أصفار هذه الدالة (حلول w(x)=0) في سياق المسألة؟

أ) تمثل سعر بيع كل قطعة ملابس.
ب) تمثل عدد قطع الملابس (بالألوف) التي عند بيعها يكون ربح المصنع صفراً (نقطة التعادل).
ج) تمثل التكلفة الإجمالية لإنتاج الألف قطعة.
د) تمثل أقصى ربح ممكن يمكن تحقيقه.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تمثل عدد قطع الملابس (بالألوف) التي عند بيعها يكون ربح المصنع صفراً (نقطة التعادل).

الشرح: 1. الدالة w(x) تمثل الربح. 2. حل المعادلة w(x)=0 يعني إيجاد قيم x التي تجعل الربح صفراً. 3. في سياق المسألة، x هو عدد القطع المباعة. 4. لذلك، الأصفار تمثل كمية المبيعات التي عندها لا يحقق المصنع ربحاً ولا خسارة (نقطة التعادل).

تلميح: عندما تكون الدالة w(x) تساوي صفراً، يكون الربح صفراً.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

عند التعويض في دالة كثيرة الحدود مثل c(x) = x³ - 2x، ما الخطوة الأولى الصحيحة لإيجاد قيمة مثل 3c(a - 4)؟

أ) ضرب قاعدة الدالة c(x) في 3 أولاً، ثم تعويض (a-4) مكان x.
ب) تعويض (a - 4) مكان x في قاعدة الدالة c(x)، ثم ضرب الناتج في 3.
ج) تعويض الرقم 3 مكان x في قاعدة الدالة c(x) ثم تعويض (a-4).
د) جمع (a-4) مع قاعدة الدالة c(x) ثم الضرب في 3.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تعويض (a - 4) مكان x في قاعدة الدالة c(x)، ثم ضرب الناتج في 3.

الشرح: 1. الخطوة الأولى: التعويض عن x بـ (a - 4) في قاعدة الدالة الأصلية: c(a-4) = (a-4)³ - 2(a-4). 2. الخطوة الثانية: تبسيط التعبير الناتج من الخطوة الأولى. 3. الخطوة الثالثة: ضرب الناتج المبسط في 3 للحصول على 3c(a-4).

تلميح: اتبع ترتيب العمليات: التعويض أولاً ثم الضرب في المعامل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط