إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 أصفار دوال كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

صفر الدالة: هو الإحداثي x لنقطة تقاطع التمثيل البياني للدالة مع المحور x.

الصفر المكرر: عندما يمس التمثيل البياني المحور x، يكون للدالة صفران متساويان (صفر مكرر).

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تعريف كثيرة الحدود

عبارة جبرية بمتغير واحد

الصيغة العامة: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

مفاهيم أساسية

الصيغة القياسية

#### ترتيب الأسس تنازلياً

درجة كثيرة الحدود

#### أكبر أس للمتغير

المعامل الرئيس

#### معامل الحد ذو أكبر أس

سلوك طرفي التمثيل البياني

العوامل المحددة

#### درجة الدالة (زوجية/فردية)

#### إشارة المعامل الرئيس (موجب/سالب)

الحالات

#### دالة فردية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة فردية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

أمثلة وتطبيقات

مثال تطبيقي من الحياة

#### حجم الهواء في الرئتين: v(t) = -0.037t³ + 0.152t² + 0.173t

تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 8x⁵ - 4x³ + 2x² - x - 3

##### الدرجة: 5

##### المعامل الرئيس: 8

#### مثال: 12x² - 3xy + 8x

##### ليست كثيرة حدود بمتغير واحد (متغيران: x, y)

إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود

التعويض بقيمة عددية

#### مثال: إيجاد حجم الهواء في الرئتين عند زمن محدد

التعويض بمتغير أو عبارة جبرية

#### مثال: إيجاد قيمة f(3c-4) - 5f(c) عندما f(x) = x² + 2x – 3

أصفار الدالة

التعريف

#### الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنى مع المحور x

تحديد عدد الأصفار

#### عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع محور x

الصفر المكرر

#### عندما يمس المنحنى المحور x فقط

العلاقة بدرجة الدالة

#### الدوال الفردية الدرجة

##### عدد فردي من الأصفار الحقيقية

#### الدوال الزوجية الدرجة

##### عدد زوجي من الأصفار الحقيقية

##### أو لا يكون لها أصفار حقيقية

```

نقاط مهمة

• يمكن تحديد عدد الأصفار الحقيقية لمعادلة كثيرة الحدود من خلال عدد تقاطعات تمثيلها البياني مع المحور x.
• الدوال الفردية الدرجة (مثل: درجة 3، 5، 7) يكون لها عدد فردي من الأصفار الحقيقية (مثل: 1، 3، 5).
• الدوال الزوجية الدرجة (مثل: درجة 2، 4، 6) يكون لها عدد زوجي من الأصفار الحقيقية (مثل: 0، 2، 4) أو لا يكون لها أصفار حقيقية.
• عند وصف دالة من تمثيلها البياني، يجب الانتباه إلى:

1. سلوك طرفي التمثيل البياني (الاتجاه عند x → -∞ و x → +∞).

2. تحديد ما إذا كانت الدرجة فردية أم زوجية بناءً على سلوك الطرفين.

3. عد نقاط تقاطع المنحنى مع المحور x لتحديد عدد الأصفار الحقيقية.

الصفر المكرر عندما يمس التمثيل البياني المحور x ، يكون للدالة صفران متساويان (صفر مكرر).

صفر الدالة هو الإحداثي x لنقطة تقاطع التمثيل البياني للدالة مع المحور x ، لذا فإنه يمكن تحديد عدد الأصفار المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية لمعادلة كثيرة الحدود من التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود المرتبطة بها. تذكر أن مقاطع x تحدد هذه الأصفار ؛ ولذا فإن عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع محور x يساوي عدد هذه الأصفار.

أصفار الدوال الفردية الدرجة والزوجية الدرجة

يكون للدوال الفردية الدرجة عدد فردي من الأصفار المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية، ويكون للدوال الزوجية الدرجة عدد زوجي من الأصفار أو لا يكون لها أصفار تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

کثیر تا حدود زوجيتا الدرجة

كثير تا حدود فرديتا الدرجة

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

ليس لها أصفار حقيقية

لها 4 أصفار حقيقية

لها 3 أصفار حقيقية

لها صفر واحد حقيقي

أجب عن الأسئلة الآتية لكل من التمثيلين البيانيين أدناه : . صف سلوك طرفي التمثيل البياني . . حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. . اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.

f(x)

x → -∞ عندما f(x( → -∞ x → +∞ عندما f(x( → +∞

f(x)

x → -∞ عندما f(x( → +∞ x → +∞ عندما f(x( → -∞

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه، بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في اتجاهين فالدالة زوجية الدرجة، وبما أن التمثيل البياني للدالة مختلفين، فالدالة فردية الدرجة، وبما أن التمثيل يقطع المحور x في نقطتين؛ لذا فللدالة صفران البياني للدالة يقطع المحور x في 5 نقاط؛ لذا فللدالة حقيقيان. 5 أصفار حقيقية.

تحقق من فهمك

f(x)

f(x)

وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 53- دوال كثيرات الحدود 20231447 141

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- الصفر المكرر عندما يمس التمثيل البياني المحور x ، يكون للدالة صفران متساويان (صفر مكرر). --- SECTION: مفهوم أساسي --- صفر الدالة هو الإحداثي x لنقطة تقاطع التمثيل البياني للدالة مع المحور x ، لذا فإنه يمكن تحديد عدد الأصفار المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية لمعادلة كثيرة الحدود من التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود المرتبطة بها. تذكر أن مقاطع x تحدد هذه الأصفار ؛ ولذا فإن عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع محور x يساوي عدد هذه الأصفار. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أصفار الدوال الفردية الدرجة والزوجية الدرجة يكون للدوال الفردية الدرجة عدد فردي من الأصفار المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية، ويكون للدوال الزوجية الدرجة عدد زوجي من الأصفار أو لا يكون لها أصفار تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. کثیر تا حدود زوجيتا الدرجة كثير تا حدود فرديتا الدرجة f(x) f(x) f(x) f(x) ليس لها أصفار حقيقية لها 4 أصفار حقيقية لها 3 أصفار حقيقية لها صفر واحد حقيقي --- SECTION: مثال 4 وصف دالة كثيرة الحدود من تمثيلها البياني --- أجب عن الأسئلة الآتية لكل من التمثيلين البيانيين أدناه : . صف سلوك طرفي التمثيل البياني . . حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. . اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. f(x) x → -∞ عندما f(x( → -∞ x → +∞ عندما f(x( → +∞ f(x) x → -∞ عندما f(x( → +∞ x → +∞ عندما f(x( → -∞ بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه، بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في اتجاهين فالدالة زوجية الدرجة، وبما أن التمثيل البياني للدالة مختلفين، فالدالة فردية الدرجة، وبما أن التمثيل يقطع المحور x في نقطتين؛ لذا فللدالة صفران البياني للدالة يقطع المحور x في 5 نقاط؛ لذا فللدالة حقيقيان. 5 أصفار حقيقية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك f(x) f(x) وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 53- دوال كثيرات الحدود 20231447 141 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a wavy function with no real zeros. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a W-shaped function with 4 real zeros. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a cubic function with 3 real zeros. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a cubic function with 1 real zero. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a cubic function with arrows indicating end behavior. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a cubic function with arrows indicating end behavior. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a cubic function with arrows indicating end behavior. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a parabola. X-axis: x Y-axis: f(x)