تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 كثيرات الحدود ودوالها - تمارين

المفاهيم الأساسية

(الصفحة تحتوي على تمارين تطبيقية فقط، ولا تقدم تعريفات جديدة)

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تعريف كثيرة الحدود

عبارة جبرية بمتغير واحد

الصيغة العامة: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

مفاهيم أساسية

الصيغة القياسية

#### ترتيب الأسس تنازلياً

درجة كثيرة الحدود

#### أكبر أس للمتغير

المعامل الرئيس

#### معامل الحد ذو أكبر أس

سلوك طرفي التمثيل البياني

العوامل المحددة

#### درجة الدالة (زوجية/فردية)

#### إشارة المعامل الرئيس (موجب/سالب)

الحالات

#### دالة فردية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس موجب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → +∞ عندما x → +∞

#### دالة فردية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → +∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

#### دالة زوجية - معامل رئيس سالب

##### f(x) → -∞ عندما x → -∞

##### f(x) → -∞ عندما x → +∞

أمثلة وتطبيقات

مثال تطبيقي من الحياة

#### حجم الهواء في الرئتين: v(t) = -0.037t³ + 0.152t² + 0.173t

تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 8x⁵ - 4x³ + 2x² - x - 3

##### الدرجة: 5

##### المعامل الرئيس: 8

#### مثال: 12x² - 3xy + 8x

##### ليست كثيرة حدود بمتغير واحد (متغيران: x, y)

إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود

التعويض بقيمة عددية

#### مثال: إيجاد حجم الهواء في الرئتين عند زمن محدد

التعويض بمتغير أو عبارة جبرية

#### مثال: إيجاد قيمة f(3c-4) - 5f(c) عندما f(x) = x² + 2x – 3

أصفار الدالة

التعريف

#### الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنى مع المحور x

تحديد عدد الأصفار

#### عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع محور x

الصفر المكرر

#### عندما يمس المنحنى المحور x فقط

العلاقة بدرجة الدالة

#### الدوال الفردية الدرجة

##### عدد فردي من الأصفار الحقيقية

#### الدوال الزوجية الدرجة

##### عدد زوجي من الأصفار الحقيقية

##### أو لا يكون لها أصفار حقيقية

تمارين الصفحة 142

مثال 1: تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

#### تمارين 1-4 و 13-20

مثال 2: إيجاد قيمة الدالة عند عدد

#### تمارين 5-6 و 21-24

مثال 3: التعويض بمتغير أو عبارة

#### تمارين 7-10 و 25-30

مثال 4: تحليل التمثيل البياني

#### الشكل 11 والشكل 12

##### وصف سلوك الطرفين

##### تحديد زوجية/فردية الدرجة

##### عد الأصفار الحقيقية

```

نقاط مهمة

• الصفحة تحتوي على أربعة أمثلة تطبيقية رئيسية مع تمارين لكل منها.
• التمارين تهدف إلى تطبيق المفاهيم السابقة: تحديد خصائص كثيرة الحدود، إيجاد قيم الدوال، وتحليل الرسوم البيانية.
• مثال 4 يركز على تحليل الرسوم البيانية لاستنتاج: سلوك طرفي المنحنى، زوجية/فردية درجة الدالة، وعدد الأصفار الحقيقية.

مثال 1 حدد الدرجة والمعامل الرئيسي لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب:

11x⁶ – 5x⁵ + 4x²

–10x⁷ – 5x³ + 4x – 22

14x⁴ – 9x³ + 3x – 4y

8x⁵ – 3x² + 4xy – 5

أوجد (–4)w و (5)w لكل من الدالتين الآتيتين:

w(x) = –2x³ + 3x – 12

w(x) = 2x⁴ – 5x³ + 3x² – 2x + 8

إذا كانت c(x) = 4x³ – 5x² + 2, d(x) = 3x² + 6x – 10 فأوجد كلاً مما يأتي:

c(y³)

–4[d(3z)]

6c(4a) + 2d(3a – 5)

–3c(2b) + 6d(4b – 3)

أجب عن الفروع a – c لكل من التمثيليين البيانيين أدناه:

صف سلوك طرفي التمثيل البياني.

حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية.

اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.

مثال 1 حدد الدرجة والمعامل الرئيسي لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب:

–6x⁶ – 4x⁵ + 13xy

3a⁷ – 4a⁴ + 3/a

8x⁵ – 12x⁶ + 14x³ – 9

–12 – 8x² + 5x – 21x⁷

13b³ – 9b + 3b⁵ – 18

(5 – 2y)(4 + 3y)

6x⁵ – 5x⁴ + 2x⁹ – 3x²

7x⁴ + 3x⁷ – 2x⁸ + 7

أوجد p(–6), p(3) لكل دالة مما يأتي:

p(x) = x⁴ – 2x² + 3

p(x) = x⁴ – 4x³ + 3x² – 5x + 24

p(x) = –x³ + 3x² – 5

p(x) = 2x⁴ + x³ – 4x²

إذا كانت c(x) = 2x² – 4x + 3, d(x) = –x³ + x + 1 كانت 1

c(3a)

5d(2a)

c(b²)

d(4a²)

d(4y – 3)

c(y² – 1)

142 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: تأكد --- مثال 1 حدد الدرجة والمعامل الرئيسي لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب: 11x⁶ – 5x⁵ + 4x² –10x⁷ – 5x³ + 4x – 22 14x⁴ – 9x³ + 3x – 4y 8x⁵ – 3x² + 4xy – 5 --- SECTION: مثال 2 --- أوجد (–4)w و (5)w لكل من الدالتين الآتيتين: w(x) = –2x³ + 3x – 12 w(x) = 2x⁴ – 5x³ + 3x² – 2x + 8 --- SECTION: مثال 3 --- إذا كانت c(x) = 4x³ – 5x² + 2, d(x) = 3x² + 6x – 10 فأوجد كلاً مما يأتي: c(y³) –4[d(3z)] 6c(4a) + 2d(3a – 5) –3c(2b) + 6d(4b – 3) --- SECTION: مثال 4 --- أجب عن الفروع a – c لكل من التمثيليين البيانيين أدناه: --- SECTION: a --- صف سلوك طرفي التمثيل البياني. --- SECTION: b --- حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. --- SECTION: c --- اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. --- SECTION: تمارين ومسائل --- مثال 1 حدد الدرجة والمعامل الرئيسي لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب: –6x⁶ – 4x⁵ + 13xy 3a⁷ – 4a⁴ + 3/a 8x⁵ – 12x⁶ + 14x³ – 9 –12 – 8x² + 5x – 21x⁷ 13b³ – 9b + 3b⁵ – 18 (5 – 2y)(4 + 3y) 6x⁵ – 5x⁴ + 2x⁹ – 3x² 7x⁴ + 3x⁷ – 2x⁸ + 7 --- SECTION: مثال 2 --- أوجد p(–6), p(3) لكل دالة مما يأتي: p(x) = x⁴ – 2x² + 3 p(x) = x⁴ – 4x³ + 3x² – 5x + 24 p(x) = –x³ + 3x² – 5 p(x) = 2x⁴ + x³ – 4x² --- SECTION: مثال 3 --- إذا كانت c(x) = 2x² – 4x + 3, d(x) = –x³ + x + 1 كانت 1 c(3a) 5d(2a) c(b²) d(4a²) d(4y – 3) c(y² – 1) a. صف سلوك طرفي التمثيل البياني. b. حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. c. اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. a. صف سلوك طرفي التمثيل البياني. b. حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. c. اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. 142 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A symmetrical W-shaped curve with its peak at the origin and two valleys below the x-axis. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Used to analyze the end behavior, degree (odd), and number of real roots of a polynomial function. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous curve with multiple local maxima and minima, extending infinitely in both directions. X-axis: x Y-axis: f(x) Context: Used to analyze the end behavior, degree (even), and number of real roots of a polynomial function.