صفحة 144 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 تمارين تطبيقية على دوال كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

سلوك طرفي التمثيل البياني: وصف اتجاه منحنى الدالة عندما تكون قيم `x` كبيرة جداً (تتجه إلى `+∞` أو `-∞`). يتم تحديده من خلال درجة الدالة (زوجية أو فردية) وإشارة المعامل الرئيس.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تمارين تطبيقية

تمثيلات متعددة (48)

#### تحليلياً

##### تحديد المقطع x والمقطع y

##### تحديد الجذور

##### تحديد درجة الدالة

##### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني

#### جبرياً

##### كتابة الدالة بالصيغة القياسية

#### جدولياً

##### إنشاء جدول للتمثيل البياني

#### بيانياً

##### التمثيل بالنقاط والتوصيل بمنحنى

وصف سلوك الطرفين (49-51)

#### f(x) = -5x⁴ + 3x²

#### g(x) = 2x⁵ + 6x⁴

#### h(x) = -4x⁷ + 8x⁶ - 4x

اكتشاف الخطأ (52)

#### تحديد عدد أصفار التمثيل البياني

#### تفسير الإجابة الصحيحة

التحدي (53)

#### إذا كانت (x) من عوامل f(x)

#### درجة f(x) = 5، معاملها الرئيس موجب

#### درجة (x) = 3، معاملها الرئيس موجب

#### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة

مسألة مفتوحة (54)

#### تمثيل بياني لكثيرة حدود زوجية الدرجة

#### عدد جذورها 8، أحدها مكرر مرتين

كتابة (55)

#### وصف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني

#### كيفية تحديده

تدريب على اختبار (56-57)

#### باقي القسمة (56)

##### 5 + x³ – 7x على 3 + x

#### تبسيط العبارات المركبة (57)

##### (7)5i عندما 1-i = √-1

مراجعة تراكمية

#### تبسيط عبارات (58-60)

##### (16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z²) / 8x²y

##### (18ab⁴c⁵ – 30a⁴b³c² + 12a⁵bc³) / 6abc²

##### (18c⁵d² – 3c²d² + 12a⁵c³d⁴) / 3c²d²

#### تحديد كثيرة الحدود ودرجتها (61-63)

##### 8x² + 5x⁴ – 6x + 4

##### 9x⁴ + 12x⁶ – 16

##### 3x⁴ + 2x² – x⁻¹

#### حل معادلات تربيعية (64-66)

##### x² – x – 3 = 0

##### x + x² + 1 = 0

##### x² – 13x + 12 = 0

```

نقاط مهمة

  • الصفحة تحتوي على تمارين متنوعة تهدف إلى تطبيق مفاهيم دوال كثيرات الحدود.
  • التمارين مقسمة إلى أربعة أقسام: تمثيلات متعددة، مسائل مهارات تفكير عليا، تدريب على اختبار، ومراجعة تراكمية.
  • تركز التمارين على مهارات: التحليل، التمثيل البياني، الوصف، اكتشاف الخطأ، والحل الجبري.
  • تتضمن المراجعة تراكمية مواضيع سابقة مثل: تبسيط العبارات، تحديد كثيرة الحدود، وحل المعادلات التربيعية.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

48

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تمثيلات متعددة: افترض أن .g(x) = (x - 2)(x + 1)(x-3)(x+4)

49

نوع: QUESTION_HOMEWORK

صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة فيما يأتي: f(x) = -5x⁴ + 3x²

50

نوع: QUESTION_HOMEWORK

g(x) = 2x⁵ + 6x⁴

51

نوع: QUESTION_HOMEWORK

h(x) = -4x⁷ + 8x⁶ - 4x

52

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتشف الخطأ : حدّد كل من ماجد وبدر عدد أصفار التمثيل البياني المجاور. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

53

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحد : إذا كانت (x) من عوامل (f(x ، وكانت درجة (f(x تساوي 5، ومعاملها الرئيس موجبا، وكانت درجة (x) تساوي 3 ومعاملها الرئيس موجبًا، فصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة . ، وفسر إجابتك.

54

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مسألة مفتوحة مثل بيانيا كثيرة حدود زوجية الدرجة عدد جذورها 8، وأحدها مكرر مرتين.

55

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب : صف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة حدود، وكيف يتم تحديده؟

56

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ما باقي قسمة : 5 + x³ – 7x على 3 + x ؟

57

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان 1-i = √-1 ، فإن (7)5i يساوي :

58

نوع: QUESTION_HOMEWORK

بسط كل عبارة مما يأتي : (الدرس (4-3) 16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z² 8x²y

59

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18ab⁴c⁵ – 30a⁴b³c² + 12a⁵bc³ 6abc²

60

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18c⁵d² – 3c²d² + 12a⁵c³d⁴ 3c²d²

61

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإن كانت كذلك فاذكر درجتها : (الدرس (3-3) 8x² + 5x⁴ – 6x + 4

62

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9x⁴ + 12x⁶ – 16

63

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3x⁴ + 2x² – x⁻¹

64

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حل كلا من المعادلات الآتية مستعملا القانون العام لحل المعادلة التربيعية: (الدرس (2-3) x²–x–3 = 0

65

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x + x² + 1 = 0

66

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x²–13x + 12 = 0

🔍 عناصر مرئية

A continuous wave-like curve oscillating around the x-axis.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 48 --- تمثيلات متعددة: افترض أن .g(x) = (x - 2)(x + 1)(x-3)(x+4) a. تحليليا : حدد المقطع x والمقطع y والجذور، ودرجة الدالة (x)، وصف سلوك طرفي تمثيلها البياني. b. جبريا : اكتب الدالة بالصيغة القياسية. c. جدوليا : أنشئ جدولا لتمثيل الدالة بيانيا، ثم مثلها. d. بيانيا : مثل الدالة بيانيا بتعيين نقاط، والتوصيل بينها بمنحنى. --- SECTION: 49 --- صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة فيما يأتي: f(x) = -5x⁴ + 3x² --- SECTION: 50 --- g(x) = 2x⁵ + 6x⁴ --- SECTION: 51 --- h(x) = -4x⁷ + 8x⁶ - 4x --- SECTION: 52 --- اكتشف الخطأ : حدّد كل من ماجد وبدر عدد أصفار التمثيل البياني المجاور. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك. --- SECTION: 53 --- تحد : إذا كانت (x) من عوامل (f(x ، وكانت درجة (f(x تساوي 5، ومعاملها الرئيس موجبا، وكانت درجة (x) تساوي 3 ومعاملها الرئيس موجبًا، فصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة . ، وفسر إجابتك. --- SECTION: 54 --- مسألة مفتوحة مثل بيانيا كثيرة حدود زوجية الدرجة عدد جذورها 8، وأحدها مكرر مرتين. --- SECTION: 55 --- اكتب : صف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة حدود، وكيف يتم تحديده؟ --- SECTION: 56 --- ما باقي قسمة : 5 + x³ – 7x على 3 + x ؟ -11 A 1 B -1 C 11 D --- SECTION: 57 --- إذا كان 1-i = √-1 ، فإن (7)5i يساوي : 70 A 35 B -35 C -70 D --- SECTION: 58 --- بسط كل عبارة مما يأتي : (الدرس (4-3) 16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z² 8x²y --- SECTION: 59 --- 18ab⁴c⁵ – 30a⁴b³c² + 12a⁵bc³ 6abc² --- SECTION: 60 --- 18c⁵d² – 3c²d² + 12a⁵c³d⁴ 3c²d² --- SECTION: 61 --- حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإن كانت كذلك فاذكر درجتها : (الدرس (3-3) 8x² + 5x⁴ – 6x + 4 --- SECTION: 62 --- 9x⁴ + 12x⁶ – 16 --- SECTION: 63 --- 3x⁴ + 2x² – x⁻¹ --- SECTION: 64 --- حل كلا من المعادلات الآتية مستعملا القانون العام لحل المعادلة التربيعية: (الدرس (2-3) x²–x–3 = 0 --- SECTION: 65 --- x + x² + 1 = 0 --- SECTION: 66 --- x²–13x + 12 = 0 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A continuous wave-like curve oscillating around the x-axis. X-axis: x Y-axis: f(x) (Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 4: أمطار: إذا كان احتمال هطول المطر 70% فما احتمال عدم هطوله؟

الإجابة: 100% - 70% = 30% (أي 0.3)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - احتمال هطول المطر: 70% أو 0.7 - نريد إيجاد: احتمال عدم هطول المطر
  2. **الخطوة 2 (المفهوم):** نتذكر أن مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة لحدث ما يساوي 100% (أو 1). هنا، النتائج الممكنة هما نتيجتان فقط: إما أن يهطل المطر، أو لا يهطل المطر.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بما أن مجموع الاحتمالين يجب أن يساوي 100%، فإن احتمال عدم الهطول يساوي: $$100\% - \text{احتمال الهطول}$$ بالتعويض: $$100\% - 70\% = 30\%$$ يمكن كتابته أيضاً في صورة كسر عشري: 0.3
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن احتمال عدم هطول المطر = **30%**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

كيف يتم تحديد سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة حدود؟

  • أ) يتم تحديده من خلال عدد أصفار الدالة ونقاط تقاطعها مع المحور y.
  • ب) يتم تحديده من خلال درجة الدالة (زوجية أو فردية) وإشارة معاملها الرئيس.
  • ج) يتم تحديده من خلال قيمة المقطع y وعدد الجذور المكررة.
  • د) يتم تحديده من خلال شكل المنحنى بالقرب من نقطة الأصل فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يتم تحديده من خلال درجة الدالة (زوجية أو فردية) وإشارة معاملها الرئيس.

الشرح: 1. انظر إلى أكبر أس في كثيرة الحدود (الدرجة). 2. انظر إلى إشارة معامل الحد ذي الدرجة الأعلى (المعامل الرئيس). 3. إذا كانت الدرجة زوجية والمعامل الرئيس موجب، يرتفع الطرفان لأعلى. 4. إذا كانت الدرجة زوجية والمعامل الرئيس سالب، ينخفض الطرفان لأسفل. 5. إذا كانت الدرجة فردية والمعامل الرئيس موجب، ينخفض الطرف الأيسر ويرتفع الأيمن. 6. إذا كانت الدرجة فردية والمعامل الرئيس سالب، يرتفع الطرف الأيسر وينخفض الأيمن.

تلميح: فكر في اتجاه المنحنى عندما تكون قيم x كبيرة جداً (تتجه إلى ∞+ أو ∞-).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت درجة دالة كثيرة حدود f(x) تساوي 5 ومعاملها الرئيس موجب، وكانت g(x) من عوامل f(x) ودرجتها 3 ومعاملها الرئيس موجب، فصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة g(x).

  • أ) يرتفع الطرفان لأعلى.
  • ب) ينخفض الطرفان لأسفل.
  • ج) ينخفض الطرف الأيسر ويرتفع الطرف الأيمن.
  • د) يرتفع الطرف الأيسر وينخفض الأيمن.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ينخفض الطرف الأيسر ويرتفع الطرف الأيمن.

الشرح: 1. درجة g(x) = 3 (فردية). 2. معاملها الرئيس موجب (معطى). 3. قاعدة سلوك الطرفين للدالة ذات الدرجة الفردية والمعامل الرئيس الموجب: عندما x → -∞، فإن g(x) → -∞ (ينخفض الطرف الأيسر). 4. عندما x → +∞، فإن g(x) → +∞ (يرتفع الطرف الأيمن). 5. النتيجة: ينخفض الطرف الأيسر ويرتفع الطرف الأيمن.

تلميح: تذكر قاعدة سلوك الطرفين للدوال ذات الدرجة الفردية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

عند تبسيط العبارة (16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z²) ÷ (8x²y)، ما الناتج؟

  • أ) 2xy² + 4x³y⁴z²
  • ب) 2x²y² + 4x⁴y⁴z²
  • ج) 8x²y² + 16x⁴y⁴z²
  • د) x²y² + 2x⁴y⁴z²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2x²y² + 4x⁴y⁴z²

الشرح: 1. اقسم الحد الأول: (16x⁴y³) ÷ (8x²y) = (16/8) * x⁴⁻² * y³⁻¹ = 2x²y². 2. اقسم الحد الثاني: (32x⁶y⁵z²) ÷ (8x²y) = (32/8) * x⁶⁻² * y⁵⁻¹ * z² = 4x⁴y⁴z². 3. اجمع الناتجين: 2x²y² + 4x⁴y⁴z².

تلميح: اقسم كل حد في البسط على المقام (8x²y) بشكل منفصل، واطرح الأسس عند قسمة القوى ذات الأساس نفسه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي العبارات الآتية لا تعتبر كثيرة حدود؟

  • أ) 8x² + 5x⁴ – 6x + 4
  • ب) 9x⁴ + 12x⁶ – 16
  • ج) 3x⁴ + 2x² – x⁻¹
  • د) جميعها تعتبر كثيرات حدود.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 3x⁴ + 2x² – x⁻¹

الشرح: 1. تعريف كثيرة الحدود: عبارة جبرية بمتغير واحد، أسسها أعداد صحيحة غير سالبة، ومعاملاتها أعداد حقيقية. 2. الخيار 3x⁴ + 2x² – x⁻¹ يحتوي على الحد x⁻¹، وهو ما يعادل 1/x. 3. الأس (-1) ليس عدداً صحيحاً غير سالب. 4. لذلك، هذه العبارة لا تعتبر كثيرة حدود. الخيارات الأخرى جميعها كثيرة حدود.

تلميح: تذكر أن كثيرة الحدود لا تحتوي على متغير في مقام أو أس سالب.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

كيف يتم تحديد سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود؟

  • أ) من خلال إيجاد قيمة المقطع y فقط.
  • ب) بالاعتماد على درجة الدالة وإشارة المعامل الرئيس.
  • ج) عن طريق حساب عدد الأصفار التخيلية للدالة.
  • د) بجمع جميع أسس المتغيرات في حدود الدالة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بالاعتماد على درجة الدالة وإشارة المعامل الرئيس.

الشرح: يتم تحديد سلوك طرفي الدالة بناءً على قاعدتين: 1- درجة الدالة (n): إذا كانت زوجية، يكون الطرفان في نفس الاتجاه. إذا كانت فردية، يكونان في اتجاهين متعاكسين. 2- المعامل الرئيس (aₙ): تحدد إشارته (موجب أو سالب) ما إذا كان الطرف الأيمن يتجه للأعلى أم للأسفل.

تلميح: فكر في العناصر الأساسية التي تتحكم في اتجاه طرفي المنحنى عند المانهاية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط