لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تحليل كثيرات الحدود (مجموع وفرق مكعبين)

المفاهيم الأساسية

مجموع مكعبين: a³ + b³

الفرق بين مكعبين: a³ - b³

كثيرة حدود أولية: كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل من درجة كثيرة الحدود المعطاة.

التحليل التام: كتابة كثيرة الحدود في صورة ناتج ضرب كثيرات حدود جميعها أولية.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تمارين تطبيقية

تمثيلات متعددة (48)

#### تحليلياً

##### تحديد المقطع x والمقطع y

##### تحديد الجذور

##### تحديد درجة الدالة

##### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني

#### جبرياً

##### كتابة الدالة بالصيغة القياسية

#### جدولياً

##### إنشاء جدول للتمثيل البياني

#### بيانياً

##### التمثيل بالنقاط والتوصيل بمنحنى

وصف سلوك الطرفين (49-51)

#### f(x) = -5x⁴ + 3x²

#### g(x) = 2x⁵ + 6x⁴

#### h(x) = -4x⁷ + 8x⁶ - 4x

اكتشاف الخطأ (52)

#### تحديد عدد أصفار التمثيل البياني

#### تفسير الإجابة الصحيحة

التحدي (53)

#### إذا كانت (x) من عوامل f(x)

#### درجة f(x) = 5، معاملها الرئيس موجب

#### درجة (x) = 3، معاملها الرئيس موجب

#### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة

مسألة مفتوحة (54)

#### تمثيل بياني لكثيرة حدود زوجية الدرجة

#### عدد جذورها 8، أحدها مكرر مرتين

كتابة (55)

#### وصف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني

#### كيفية تحديده

تدريب على اختبار (56-57)

#### باقي القسمة (56)

##### 5 + x³ – 7x على 3 + x

#### تبسيط العبارات المركبة (57)

##### (7)5i عندما 1-i = √-1

مراجعة تراكمية

#### تبسيط عبارات (58-60)

##### (16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z²) / 8x²y

##### (18ab⁴c⁵ – 30a⁴b³c² + 12a⁵bc³) / 6abc²

##### (18c⁵d² – 3c²d² + 12a⁵c³d⁴) / 3c²d²

#### تحديد كثيرة الحدود ودرجتها (61-63)

##### 8x² + 5x⁴ – 6x + 4

##### 9x⁴ + 12x⁶ – 16

##### 3x⁴ + 2x² – x⁻¹

#### حل معادلات تربيعية (64-66)

##### x² – x – 3 = 0

##### x + x² + 1 = 0

##### x² – 13x + 12 = 0

تحليل كثيرات الحدود

مجموع وفرق مكعبين

#### الحالة العامة

##### مجموع مكعبين: a³ + b³

##### الفرق بين مكعبين: a³ - b³

#### مثال توضيحي

##### 16x⁴ + 54xy³

###### 1. إخراج العامل المشترك: 2x(8x³ + 27y³)

###### 2. تحليل مجموع مكعبين: (2x)³ + (3y)³

###### 3. الناتج: 2x(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)

##### 8y³ + 5x²

###### كثيرة حدود أولية (لا يمكن تحليلها)

كثيرة الحدود الأولية

#### تعريف: لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل

التحليل التام

#### شرطه: أن تكون جميع العوامل كثيرة حدود أولية

```

نقاط مهمة

• يمكن تحليل كثيرات الحدود التكعيبية باستخدام قوانين خاصة لمجموع وفرق مكعبين.
• الخطوة الأولى في التحليل غالباً هي إخراج العامل المشترك الأكبر.
• لتحليل مجموع مكعبين a³ + b³، استخدم الصيغة: (a + b)(a² - ab + b²).
• إذا لم تكن كثيرة الحدود من نوع مجموع أو فرق مكعبين، ولا يوجد عامل مشترك، فقد تكون كثيرة حدود أولية.
• مثال تطبيقي: 16x⁴ + 54xy³ = 2x(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²).

قطع مكعب صغير من آخر كبير كما في الشكل المجاور، وأعطي حجم الجزء المتبقي والعلاقة بين بعدي المكعبين، والمطلوب إيجاد أبعاد المكعبين الصغير والكبير. لاحظ أنه يمكن إيجادها بتحليل كثيرة الحدود التكعيبية y³ - x³.

تعلمت سابقاً أنه يمكنك تحليل كثيرات الحدود التربيعية تماماً كما تحلل الأعداد الكلية، ولكن عواملها ستكون كثيرات حدود، ولكن بعض كثيرات الحدود التربيعية يمكنك تحليل كثيرات الحدود التكعيبية بقوانين خاصة.

تسمى كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل من درجة كثيرة الحدود المعطاة كثيرة حدود أولية.

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً، وإذا لم يكن ذلك ممكناً، فاكتب كثيرة حدود أولية: (a) 16x⁴ + 54xy³ أخرج العامل المشترك الأكبر 16x⁴ + 54xy³ = 2x(8x³ + 27y³) كل من 8x³ و 27y³ مكعب كامل، لذا تستطيع استعمال طريقة مجموع مكعبين: 8x³ + 27y³ = (2x)³ + (3y)³ = (2x + 3y)[(2x)² - (2x)(3y) + (3y)²] = (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) إذن: 16x⁴ + 54xy³ = 2x(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) 8y³ + 5x² (b) الحد الأول مكعب كامل، لكن الحد الثاني ليس كذلك، ولا يمكن تحليل كثيرة الحدود بطريقة مجموع مكعبين، أو بإخراج العامل المشترك الأكبر؛ لذا فهي كثيرة حدود أولية.

يعد تحليل كثيرة الحدود تاماً إذا كتبت في صورة ناتج ضرب كثيرات حدود جميعها أولية. إذا حللت إلى أقصى درجة ممكنة.

تحقق من فهمك

وزارة التعليم

الدرس 3-6 حل معادلات كثيرة الحدود

--- SECTION: لماذا؟ --- قطع مكعب صغير من آخر كبير كما في الشكل المجاور، وأعطي حجم الجزء المتبقي والعلاقة بين بعدي المكعبين، والمطلوب إيجاد أبعاد المكعبين الصغير والكبير. لاحظ أنه يمكن إيجادها بتحليل كثيرة الحدود التكعيبية y³ - x³. تعلمت سابقاً أنه يمكنك تحليل كثيرات الحدود التربيعية تماماً كما تحلل الأعداد الكلية، ولكن عواملها ستكون كثيرات حدود، ولكن بعض كثيرات الحدود التربيعية يمكنك تحليل كثيرات الحدود التكعيبية بقوانين خاصة. --- SECTION: مفهوم أساسي --- --- SECTION: مجموعة مكعبين والفرق بينهما --- تسمى كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل من درجة كثيرة الحدود المعطاة كثيرة حدود أولية. --- SECTION: مثال 1 --- حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً، وإذا لم يكن ذلك ممكناً، فاكتب كثيرة حدود أولية: (a) 16x⁴ + 54xy³ أخرج العامل المشترك الأكبر 16x⁴ + 54xy³ = 2x(8x³ + 27y³) كل من 8x³ و 27y³ مكعب كامل، لذا تستطيع استعمال طريقة مجموع مكعبين: 8x³ + 27y³ = (2x)³ + (3y)³ = (2x + 3y)[(2x)² - (2x)(3y) + (3y)²] = (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) إذن: 16x⁴ + 54xy³ = 2x(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) 8y³ + 5x² (b) الحد الأول مكعب كامل، لكن الحد الثاني ليس كذلك، ولا يمكن تحليل كثيرة الحدود بطريقة مجموع مكعبين، أو بإخراج العامل المشترك الأكبر؛ لذا فهي كثيرة حدود أولية. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- يعد تحليل كثيرة الحدود تاماً إذا كتبت في صورة ناتج ضرب كثيرات حدود جميعها أولية. إذا حللت إلى أقصى درجة ممكنة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 1A. 5y⁴ - 320yz³ 1B. -54w⁴ - 250wz³ --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم --- SECTION: الدرس 3-6 حل معادلات كثيرة الحدود --- الدرس 3-6 حل معادلات كثيرة الحدود --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A larger cube with dimensions labeled 'x' on all sides. A smaller cube is removed from one corner. The dimensions of the removed cube are labeled 'x' for height, and 'y' for width and depth. The remaining volume is represented by the shaded area. X-axis: x Y-axis: y Data: Visual representation of a geometric problem involving volumes of cubes. Key Values: Volume of large cube = x³, Volume of removed cube = xy², Remaining volume = x³ - xy² Context: Illustrates a scenario that can be modeled by the difference of cubes, leading to the problem of analyzing polynomial equations.