إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تحليل كثيرات الحدود (طرائق التحليل)

المفاهيم الأساسية

التحليل التام: تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية (جميع العوامل كثيرة حدود أولية).

كثيرة الحدود الأولية: كثيرة حدود لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل.

التحقق من الإجابة: ضرب العوامل الناتجة للتأكد من صحة التحليل.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تمارين تطبيقية

تمثيلات متعددة (48)

#### تحليلياً

##### تحديد المقطع x والمقطع y

##### تحديد الجذور

##### تحديد درجة الدالة

##### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني

#### جبرياً

##### كتابة الدالة بالصيغة القياسية

#### جدولياً

##### إنشاء جدول للتمثيل البياني

#### بيانياً

##### التمثيل بالنقاط والتوصيل بمنحنى

وصف سلوك الطرفين (49-51)

#### f(x) = -5x⁴ + 3x²

#### g(x) = 2x⁵ + 6x⁴

#### h(x) = -4x⁷ + 8x⁶ - 4x

اكتشاف الخطأ (52)

#### تحديد عدد أصفار التمثيل البياني

#### تفسير الإجابة الصحيحة

التحدي (53)

#### إذا كانت (x) من عوامل f(x)

#### درجة f(x) = 5، معاملها الرئيس موجب

#### درجة (x) = 3، معاملها الرئيس موجب

#### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة

مسألة مفتوحة (54)

#### تمثيل بياني لكثيرة حدود زوجية الدرجة

#### عدد جذورها 8، أحدها مكرر مرتين

كتابة (55)

#### وصف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني

#### كيفية تحديده

تدريب على اختبار (56-57)

#### باقي القسمة (56)

##### 5 + x³ – 7x على 3 + x

#### تبسيط العبارات المركبة (57)

##### (7)5i عندما 1-i = √-1

مراجعة تراكمية

#### تبسيط عبارات (58-60)

##### (16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z²) / 8x²y

##### (18ab⁴c⁵ – 30a⁴b³c² + 12a⁵bc³) / 6abc²

##### (18c⁵d² – 3c²d² + 12a⁵c³d⁴) / 3c²d²

#### تحديد كثيرة الحدود ودرجتها (61-63)

##### 8x² + 5x⁴ – 6x + 4

##### 9x⁴ + 12x⁶ – 16

##### 3x⁴ + 2x² – x⁻¹

#### حل معادلات تربيعية (64-66)

##### x² – x – 3 = 0

##### x + x² + 1 = 0

##### x² – 13x + 12 = 0

تحليل كثيرات الحدود

مجموع وفرق مكعبين

#### الحالة العامة

##### مجموع مكعبين: a³ + b³

##### الفرق بين مكعبين: a³ - b³

#### مثال توضيحي

##### 16x⁴ + 54xy³

###### 1. إخراج العامل المشترك: 2x(8x³ + 27y³)

###### 2. تحليل مجموع مكعبين: (2x)³ + (3y)³

###### 3. الناتج: 2x(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)

##### 8y³ + 5x²

###### كثيرة حدود أولية (لا يمكن تحليلها)

كثيرة الحدود الأولية

#### تعريف: لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل

التحليل التام

#### شرطه: أن تكون جميع العوامل كثيرة حدود أولية

ملخص طرق التحليل

#### خطوات عامة

##### 1. ابحث عن العامل المشترك الأكبر أولاً

##### 2. حدد إذا كانت كثيرة الحدود الناتجة قابلة للتحليل

#### طرق التحليل حسب عدد الحدود

##### أي عدد من الحدود

###### إخراج العامل المشترك الأكبر

###### مثال: 4a^3b^2 - 8ab = 4ab(a^2b – 2)

##### حدان

###### الفرق بين مربعين: a^2-b^2= (a + b)(a – b)

###### مجموع مكعبين: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)

###### الفرق بين مكعبين: a^3-b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

##### ثلاثة حدود

###### ثلاثية حدود المربع الكامل

####### a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

####### a^2 - 2ab + b^2 = (a – b)^2

###### ثلاثية الحدود بالصورة العامة

####### acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

##### أربعة حدود أو أكثر

###### تجميع الحدود

####### مثال: ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)

التحليل بتجميع الحدود

#### الطريقة الأساسية لكثيرات الحدود من أربعة حدود أو أكثر

#### مثال توضيحي (2)

##### أ) 8ax + 4bx + 4cx + 6ay + 3by + 3cy

###### 1. التجميع: (8ax + 4bx + 4cx) + (6ay + 3by + 3cy)

###### 2. إخراج العامل المشترك: 4x(2a + b + c) + 3y (2a + b + c)

###### 3. خاصية التوزيع: (4x + 3y)(2a + b + c)

##### ب) 20fy - 16fz + 15gy + 8hz - 10hy - 12gz

###### 1. التجميع: (20fy + 15gy - 10hy) + (-16fz-12gz+8hz)

###### 2. إخراج العامل المشترك: 5y(4f + 3g - 2h) - 4z(4f + 3g - 2h)

###### 3. خاصية التوزيع: (5y-4z)(4f + 3g - 2h)

تحقق من فهمك

#### 2A: 30ax - 24bx + 6cx - 5ay^2 + 4by^2 – cy^2

#### 2B: 13ax + 18bz-15by14az

```

نقاط مهمة

• ابدأ دائماً بالبحث عن العامل المشترك الأكبر عند تحليل أي كثيرة حدود.
• طريقة تجميع الحدود هي الطريقة الأساسية لتحليل كثيرات الحدود المكونة من أربعة حدود أو أكثر.
• لكثيرات الحدود ذات الحدين أو الثلاثة حدود، استخدم الطرق المحددة في جدول الملخص (الفرق بين مربعين، المربع الكامل، إلخ).
• تحقق من صحة إجابتك عن طريق ضرب العوامل الناتجة، يجب أن تعيد الحصول على العبارة الأصلية.

التحقق من الإجابة : للتحقق من صحة إجابتك، اضرب العوامل لتتحقق من صحة تحليل كثيرة الحدود.

يلخص الجدول الآتي معظم الطرائق المستعملة لتحليل كثيرات الحدود، وعندما تريد تحليل كثيرة حدود ابحث أولا عن العامل المشترك الأكبر، ثم حدد ما إذا كانت كثيرة الحدود الناتجة بعد إخراج العامل المشترك الأكبر قابلة للتحليل أم لا مستعملا واحدة أو أكثر من الطرائق المذكورة في الجدول أدناه:

جدول يلخص طرق التحليل

حلل كلا من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلا تاما، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا، فاكتب كثيرة حدود أولية:

8ax + 4bx + 4cx + 6ay + 3by + 3cy = (8ax + 4bx + 4cx) + (6ay + 3by + 3cy) = 4x(2a + b + c) + 3y (2a + b + c) = (4x + 3y)(2a + b + c)

العبارة الأصلية جمع لإخراج العامل المشترك الأكبر أخرج العامل المشترك الأكبر لكل تجميع خاصية التوزيع

20fy - 16fz + 15gy + 8hz - 10hy - 12gz = (20fy + 15gy - 10hy) + (-16fz-12gz+8hz) = 5y(4f + 3g - 2h) - 4z(4f + 3g - 2h) = (5y-4z)(4f + 3g - 2h)

العبارة الأصلية جمع لإخراج العامل المشترك الأكبر أخرج العامل المشترك الأكبر لكل تجميع خاصية التوزيع

30ax - 24bx + 6cx - 5ay² + 4by² — су²

13ax + 18bz-15by14az

تعد طريقة التحليل بتجميع الحدود هي الطريقة الأساسية لتحليل كثيرات الحدود المكونة من أربعة حدود أو أكثر، أما كثيرات الحدود المتضمنة حدين أو ثلاثة حدود فيمكنك تحليلها اعتمادًا على إحدى الطرائق الموجودة في الجدول أعلاه .

146 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها

وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- التحقق من الإجابة : للتحقق من صحة إجابتك، اضرب العوامل لتتحقق من صحة تحليل كثيرة الحدود. يلخص الجدول الآتي معظم الطرائق المستعملة لتحليل كثيرات الحدود، وعندما تريد تحليل كثيرة حدود ابحث أولا عن العامل المشترك الأكبر، ثم حدد ما إذا كانت كثيرة الحدود الناتجة بعد إخراج العامل المشترك الأكبر قابلة للتحليل أم لا مستعملا واحدة أو أكثر من الطرائق المذكورة في الجدول أدناه: --- SECTION: ملخص المفهوم --- جدول يلخص طرق التحليل --- SECTION: مثال 2 التحليل بتجميع الحدود --- حلل كلا من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلا تاما، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا، فاكتب كثيرة حدود أولية: a. 8ax + 4bx + 4cx + 6ay + 3by + 3cy 8ax + 4bx + 4cx + 6ay + 3by + 3cy = (8ax + 4bx + 4cx) + (6ay + 3by + 3cy) = 4x(2a + b + c) + 3y (2a + b + c) = (4x + 3y)(2a + b + c) العبارة الأصلية جمع لإخراج العامل المشترك الأكبر أخرج العامل المشترك الأكبر لكل تجميع خاصية التوزيع b. 20fy - 16fz + 15gy + 8hz - 10hy - 12gz 20fy - 16fz + 15gy + 8hz - 10hy - 12gz = (20fy + 15gy - 10hy) + (-16fz-12gz+8hz) = 5y(4f + 3g - 2h) - 4z(4f + 3g - 2h) = (5y-4z)(4f + 3g - 2h) العبارة الأصلية جمع لإخراج العامل المشترك الأكبر أخرج العامل المشترك الأكبر لكل تجميع خاصية التوزيع --- SECTION: تحقق من فهمك --- --- SECTION: 2A --- 30ax - 24bx + 6cx - 5ay² + 4by² — су² --- SECTION: 2B --- 13ax + 18bz-15by14az تعد طريقة التحليل بتجميع الحدود هي الطريقة الأساسية لتحليل كثيرات الحدود المكونة من أربعة حدود أو أكثر، أما كثيرات الحدود المتضمنة حدين أو ثلاثة حدود فيمكنك تحليلها اعتمادًا على إحدى الطرائق الموجودة في الجدول أعلاه . 146 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: جدول يلخص طرق التحليل Description: جدول يلخص طرق التحليل Table Structure: Headers: عدد الحدود | طريقة التحليل | نموذج Rows: Row 1: أي عدد | إخراج العامل المشترك الأكبر | 4a3b2 - 8ab = 4ab(a²b – 2) Row 2: حدان | الفرق بين مربعين | a²-b²= (a + b)(a – b) Row 3: حدان | مجموع مكعبين | a3 + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) Row 4: حدان | الفرق بين مكعبين | a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Row 5: ثلاثة حدود | ثلاثية حدود المربع الكامل | a² + 2ab + b² = (a + b)2 a2 - 2ab + b² = (a – b)2 Row 6: ثلاثة حدود | ثلاثية الحدود بالصورة العامة | acx² + (ad+bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) Row 7: أربعة حدود أو أكثر | تجميع الحدود | ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)