إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل معادلات كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

التحليل باستعمال الفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين، والفرق بين مكعبين: طريقة لتحليل كثيرات الحدود.

تجميع 6 حدود أو أكثر: جمع الحدود التي بينها أكبر عدد من العوامل المشتركة.

حل معادلات كثيرات الحدود: يمكن تطبيق طرائق حل المعادلات التربيعية في حل معادلات كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى من الثانية.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تمارين تطبيقية

تمثيلات متعددة (48)

#### تحليلياً

##### تحديد المقطع x والمقطع y

##### تحديد الجذور

##### تحديد درجة الدالة

##### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني

#### جبرياً

##### كتابة الدالة بالصيغة القياسية

#### جدولياً

##### إنشاء جدول للتمثيل البياني

#### بيانياً

##### التمثيل بالنقاط والتوصيل بمنحنى

وصف سلوك الطرفين (49-51)

#### f(x) = -5x⁴ + 3x²

#### g(x) = 2x⁵ + 6x⁴

#### h(x) = -4x⁷ + 8x⁶ - 4x

اكتشاف الخطأ (52)

#### تحديد عدد أصفار التمثيل البياني

#### تفسير الإجابة الصحيحة

التحدي (53)

#### إذا كانت (x) من عوامل f(x)

#### درجة f(x) = 5، معاملها الرئيس موجب

#### درجة (x) = 3، معاملها الرئيس موجب

#### وصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة

مسألة مفتوحة (54)

#### تمثيل بياني لكثيرة حدود زوجية الدرجة

#### عدد جذورها 8، أحدها مكرر مرتين

كتابة (55)

#### وصف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني

#### كيفية تحديده

تدريب على اختبار (56-57)

#### باقي القسمة (56)

##### 5 + x³ – 7x على 3 + x

#### تبسيط العبارات المركبة (57)

##### (7)5i عندما 1-i = √-1

مراجعة تراكمية

#### تبسيط عبارات (58-60)

##### (16x⁴y³ + 32x⁶y⁵z²) / 8x²y

##### (18ab⁴c⁵ – 30a⁴b³c² + 12a⁵bc³) / 6abc²

##### (18c⁵d² – 3c²d² + 12a⁵c³d⁴) / 3c²d²

#### تحديد كثيرة الحدود ودرجتها (61-63)

##### 8x² + 5x⁴ – 6x + 4

##### 9x⁴ + 12x⁶ – 16

##### 3x⁴ + 2x² – x⁻¹

#### حل معادلات تربيعية (64-66)

##### x² – x – 3 = 0

##### x + x² + 1 = 0

##### x² – 13x + 12 = 0

تحليل كثيرات الحدود

مجموع وفرق مكعبين

#### الحالة العامة

##### مجموع مكعبين: a³ + b³

##### الفرق بين مكعبين: a³ - b³

#### مثال توضيحي

##### 16x⁴ + 54xy³

###### 1. إخراج العامل المشترك: 2x(8x³ + 27y³)

###### 2. تحليل مجموع مكعبين: (2x)³ + (3y)³

###### 3. الناتج: 2x(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)

##### 8y³ + 5x²

###### كثيرة حدود أولية (لا يمكن تحليلها)

كثيرة الحدود الأولية

#### تعريف: لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل

التحليل التام

#### شرطه: أن تكون جميع العوامل كثيرة حدود أولية

ملخص طرق التحليل

#### خطوات عامة

##### 1. ابحث عن العامل المشترك الأكبر أولاً

##### 2. حدد إذا كانت كثيرة الحدود الناتجة قابلة للتحليل

#### طرق التحليل حسب عدد الحدود

##### أي عدد من الحدود

###### إخراج العامل المشترك الأكبر

###### مثال: 4a^3b^2 - 8ab = 4ab(a^2b – 2)

##### حدان

###### الفرق بين مربعين: a^2-b^2= (a + b)(a – b)

###### مجموع مكعبين: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)

###### الفرق بين مكعبين: a^3-b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

##### ثلاثة حدود

###### ثلاثية حدود المربع الكامل

####### a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

####### a^2 - 2ab + b^2 = (a – b)^2

###### ثلاثية الحدود بالصورة العامة

####### acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

##### أربعة حدود أو أكثر

###### تجميع الحدود

####### مثال: ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)

التحليل بتجميع الحدود

#### الطريقة الأساسية لكثيرات الحدود من أربعة حدود أو أكثر

#### مثال توضيحي (2)

##### أ) 8ax + 4bx + 4cx + 6ay + 3by + 3cy

###### 1. التجميع: (8ax + 4bx + 4cx) + (6ay + 3by + 3cy)

###### 2. إخراج العامل المشترك: 4x(2a + b + c) + 3y (2a + b + c)

###### 3. خاصية التوزيع: (4x + 3y)(2a + b + c)

##### ب) 20fy - 16fz + 15gy + 8hz - 10hy - 12gz

###### 1. التجميع: (20fy + 15gy - 10hy) + (-16fz-12gz+8hz)

###### 2. إخراج العامل المشترك: 5y(4f + 3g - 2h) - 4z(4f + 3g - 2h)

###### 3. خاصية التوزيع: (5y-4z)(4f + 3g - 2h)

تحقق من فهمك

#### 2A: 30ax - 24bx + 6cx - 5ay^2 + 4by^2 – cy^2

#### 2B: 13ax + 18bz-15by14az

حل معادلات كثيرات الحدود

التحليل باستعمال الفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين، والفرق بين مكعبين

#### مثال 3

##### (a) x⁶ - y⁶

###### 1. الفرق بين مربعين: x⁶ - y⁶ = (x³ + y³)(x³ - y³)

###### 2. مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين: = (x + y)(x² - xy + y²)(x - y)(x² + xy + y²)

##### (b) a³x² - 6a³x + 9a³ - b³x² + 6b³x - 9b³

###### 1. تجميع الحدود: = (a³x² - 6a³x + 9a³) + (-b³x² + 6b³x - 9b³)

###### 2. إخراج العامل المشترك: = a³(x² - 6x + 9) - b³(x² - 6x + 9)

###### 3. خاصية التوزيع: = (a³ - b³)(x² - 6x + 9)

###### 4. الفرق بين مكعبين: = (a - b)(a² + ab + b²)(x - 3)²

#### تحقق من فهمك

##### 3A: a⁶ + b⁶

##### 3B: x⁵ + 4x⁴ + 4x³ + x²y³ + 4xy³ + 4y³

حل معادلات كثيرات الحدود

#### تطبيق طرائق حل المعادلات التربيعية

من واقع الحياة

#### مثال 4: هندسة

##### حجم الجزء المتبقي = حجم المكعب الكبير - حجم المكعب الصغير

##### المعادلة: (2x)³ - x³ = 7000

##### الحل: x = 10، أبعاد المكعبين: 20cm, 10cm

#### تحقق من فهمك

##### 4) هندسة: طول حرف المكعب الصغير = ثلث طول ضلع المكعب الكبير، حجم الجزء المتبقي = 3250cm³

```

نقاط مهمة

• عند تحليل كثيرة حدود يمكن اعتبارها فرقاً بين مربعين أو فرقاً بين مكعبين (مثل x⁶ - y⁶)، يجب البدء بالتحليل على أنها فرق بين مربعين لتسهيل التحليل.
• إذا بدأت تحليل x⁶ - y⁶ على أنها فرق بين مكعبين، ستحصل على (x²-y²)(x⁴+x²y²+y⁴) وهو تحليل غير تام ويصعب إتمامه.
• عند تحليل كثيرة حدود من 6 حدود أو أكثر، ابدأ بتجميع الحدود التي بينها أكبر عدد من العوامل المشتركة.
• لحل معادلات كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى من الثانية، يمكن تطبيق نفس طرق حل المعادلات التربيعية (مثل التحليل واستخدام خاصية الضرب الصفري).

مثال 3: التحليل باستعمال الفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين، والفرق بين مكعبين

التحليل باستعمال الفرق بين مكعبين: في مثال 3a، إذا بدأت بالتحليل على اعتبار أن كثيرة الحدود المعطاة فرق بين مكعبين، فإنك تحصل على التحليل التالي: (x²-y²)(x⁴+x²y²+y⁴) وهو تحليل غير تام ويصعب إتمامه.

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية: (a) x⁶ - y⁶ يمكن اعتبار كثيرة الحدود هذه فرقاً بين مربعين، أو فرقاً بين مكعبين. وفي مثل هذه الحالة يجب أن يتم التحليل أولاً على اعتبار أنها فرق بين مربعين قبل التحليل على اعتبار أنها فرق بين مكعبين؛ تسهيلاً للتحليل. الفرق بين مربعين x⁶ - y⁶ = (x³ + y³)(x³ - y³) مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين = (x + y)(x² - xy + y²)(x - y)(x² + xy + y²)

تجميع 6 حدود أو أكثر جمع الحدود التي بينها أكبر عدد من العوامل المشتركة.

(b) a³x² - 6a³x + 9a³ - b³x² + 6b³x - 9b³ بما أن كثيرة الحدود هذه من 6 حدود، إذن حلل أولاً بتجميع الحدود. جمع لإخراج العامل المشترك الأكبر = (a³x² - 6a³x + 9a³) + (-b³x² + 6b³x - 9b³) أخرج العامل المشترك الأكبر لكل تجميع = a³(x² - 6x + 9) - b³(x² - 6x + 9) خاصية التوزيع = (a³ - b³)(x² - 6x + 9) الفرق بين مكعبين = (a - b)(a² + ab + b²)(x - 3)²

تحقق من فهمك

3A) a⁶ + b⁶

3B) x⁵ + 4x⁴ + 4x³ + x²y³ + 4xy³ + 4y³

حل معادلات كثيرات الحدود: يمكنك تطبيق طرائق حل المعادلات التربيعية في حل معادلات كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى من الدرجة الثانية.

مثال 4: من واقع الحياة

هندسة: ارجع إلى فقرة لماذا في بداية هذا الدرس. إذا كان طول حرف المكعب الصغير يساوي نصف طول ضلع المكعب الكبير، وحجم الجزء المتبقي 7000cm³، فما بعدا المكعبين؟ بما أن طول حرف المكعب الصغير يساوي نصف طول ضلع المكعب الكبير، فيمكن أن يعبر عن طول ضلع المكعب الصغير بـ x، وطول ضلع المكعب الكبير بـ 2x. لاحظ أن حجم الجزء المتبقي يساوي حجم المكعب الكبير مطروحاً منه حجم المكعب الصغير. حجم الجزء المتبقي (2x)³ - x³ = 7000 8x³ - x³ = 7000 7x³ = 7000 اقسم على 7 للطرفين x³ = 1000 اطرح 1000 من كلا الطرفين x³ - 1000 = 0 فرق بين مكعبين (x - 10)(x² + 10x + 100) = 0 خاصية الضرب الصفري x - 10 = 0 أو x² + 10x + 100 = 0 x = 10 x = -5 ± 5i√3 وبما أن العدد 10 هو الحل الحقيقي الوحيد. فإن طولي ضلعي المكعبين هما 20cm, 10cm.

تحقق من فهمك

4) هندسة: إذا كان طول حرف المكعب الصغير ثلث طول ضلع المكعب الكبير، وحجم الجزء المتبقي 3250cm³، فأوجد بعدي المكعبين.

وزارة التعليم

الدرس 6-3 حل معادلات كثيرات الحدود 147

مثال 3: التحليل باستعمال الفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين، والفرق بين مكعبين --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التحليل باستعمال الفرق بين مكعبين: في مثال 3a، إذا بدأت بالتحليل على اعتبار أن كثيرة الحدود المعطاة فرق بين مكعبين، فإنك تحصل على التحليل التالي: (x²-y²)(x⁴+x²y²+y⁴) وهو تحليل غير تام ويصعب إتمامه. حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية: (a) x⁶ - y⁶ يمكن اعتبار كثيرة الحدود هذه فرقاً بين مربعين، أو فرقاً بين مكعبين. وفي مثل هذه الحالة يجب أن يتم التحليل أولاً على اعتبار أنها فرق بين مربعين قبل التحليل على اعتبار أنها فرق بين مكعبين؛ تسهيلاً للتحليل. الفرق بين مربعين x⁶ - y⁶ = (x³ + y³)(x³ - y³) مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين = (x + y)(x² - xy + y²)(x - y)(x² + xy + y²) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- تجميع 6 حدود أو أكثر جمع الحدود التي بينها أكبر عدد من العوامل المشتركة. (b) a³x² - 6a³x + 9a³ - b³x² + 6b³x - 9b³ بما أن كثيرة الحدود هذه من 6 حدود، إذن حلل أولاً بتجميع الحدود. جمع لإخراج العامل المشترك الأكبر = (a³x² - 6a³x + 9a³) + (-b³x² + 6b³x - 9b³) أخرج العامل المشترك الأكبر لكل تجميع = a³(x² - 6x + 9) - b³(x² - 6x + 9) خاصية التوزيع = (a³ - b³)(x² - 6x + 9) الفرق بين مكعبين = (a - b)(a² + ab + b²)(x - 3)² تحقق من فهمك --- SECTION: 3A --- 3A) a⁶ + b⁶ --- SECTION: 3B --- 3B) x⁵ + 4x⁴ + 4x³ + x²y³ + 4xy³ + 4y³ حل معادلات كثيرات الحدود: يمكنك تطبيق طرائق حل المعادلات التربيعية في حل معادلات كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى من الدرجة الثانية. مثال 4: من واقع الحياة --- SECTION: هندسة --- هندسة: ارجع إلى فقرة لماذا في بداية هذا الدرس. إذا كان طول حرف المكعب الصغير يساوي نصف طول ضلع المكعب الكبير، وحجم الجزء المتبقي 7000cm³، فما بعدا المكعبين؟ بما أن طول حرف المكعب الصغير يساوي نصف طول ضلع المكعب الكبير، فيمكن أن يعبر عن طول ضلع المكعب الصغير بـ x، وطول ضلع المكعب الكبير بـ 2x. لاحظ أن حجم الجزء المتبقي يساوي حجم المكعب الكبير مطروحاً منه حجم المكعب الصغير. حجم الجزء المتبقي (2x)³ - x³ = 7000 8x³ - x³ = 7000 7x³ = 7000 اقسم على 7 للطرفين x³ = 1000 اطرح 1000 من كلا الطرفين x³ - 1000 = 0 فرق بين مكعبين (x - 10)(x² + 10x + 100) = 0 خاصية الضرب الصفري x - 10 = 0 أو x² + 10x + 100 = 0 x = 10 x = -5 ± 5i√3 وبما أن العدد 10 هو الحل الحقيقي الوحيد. فإن طولي ضلعي المكعبين هما 20cm, 10cm. تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) هندسة: إذا كان طول حرف المكعب الصغير ثلث طول ضلع المكعب الكبير، وحجم الجزء المتبقي 3250cm³، فأوجد بعدي المكعبين. وزارة التعليم الدرس 6-3 حل معادلات كثيرات الحدود 147 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A 3D diagram illustrating two cubes, one larger and one smaller, where the smaller cube is conceptually removed from a corner of the larger one. The larger cube has all visible side lengths labeled '2x'. The smaller cube, shown as a dashed outline within the larger one, has all visible side lengths labeled 'x'. Arrows indicate the dimensions along the axes. Data: The diagram visually represents the setup for a geometry problem involving the volumes of two cubes. The larger cube has side length 2x, and the smaller cube has side length x. The problem involves finding the dimensions when the volume of the remaining part is given. Key Values: Larger cube side length: 2x, Smaller cube side length: x Context: This diagram is used to visualize the 'هندسة' (Geometry) problem in Example 4 and Exercise 4, which requires calculating the dimensions of two cubes based on the volume of the remaining solid after one is removed from the other.