مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال س: ١: ١. أستعمل في الرسم الشجري قطعاً مستقيمة لعرض النواتج الممكنة.

الإجابة: س: ١ صح

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. الرسم الشجري هو أداة تُستخدم في الاحتمالات لتمثيل جميع النتائج الممكنة لتجربة ما. في هذا الرسم، نستخدم عادةً خطوطاً أو فروعاً مستقيمة لربط الخيارات أو الأحداث المتتالية. كل فرع يمثل نتيجة محتملة، ومسار من البداية إلى النهاية يمثل نتيجة واحدة كاملة. إذن، العبارة تصف استخداماً صحيحاً للرسم الشجري.

سؤال س: ٢: ٢. التباديل هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها غير مهم.

الإجابة: س: ٢ خطأ، والصحيح: التوافيق

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن التباديل هي ترتيبات لمجموعة من العناصر حيث يكون الترتيب مهماً. على سبيل المثال، ترتيب الحروف (أ، ب) يختلف عن (ب، أ) في التباديل.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** العبارة تقول: "التباديل هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها غير مهم." هذا غير صحيح، لأن الترتيب في التباديل مهم جداً. عندما لا يكون الترتيب مهماً، نستخدم التوافيق بدلاً من التباديل.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن العبارة خاطئة، والمصطلح الصحيح هو **التوافيق**.

سؤال س: ٣: ٣. تحديد تراتيب لمجموعة من الأشخاص حول منضدة دائرية يتطلب التباديل الدائرية.

الإجابة: س: ٣ صح

خطوات الحل:

1. **الشرح:** الفكرة هنا هي التفريق بين أنواع الترتيبات. عندما نرتب أشخاصاً حول منضدة دائرية، فإن الدوران الكامل للترتيب لا ينتج ترتيباً جديداً لأن المواقع النسبية تبقى كما هي. على سبيل المثال، إذا كان لدينا ثلاثة أشخاص (أ، ب، ج) حول طاولة، فإن الترتيب (أ، ب، ج) يعادل (ب، ج، أ) إذا قمنا بتدوير الطاولة. لذلك، نستخدم التباديل الدائرية لحساب عدد الترتيبات المميزة حقاً، حيث نأخذ في الاعتبار أن الدوران لا يغير الترتيب. إذن العبارة صحيحة.

سؤال س: ٤: ٤. إلقاء قطعة نقد مرة واحدة هي حدثان غير مستقلين.

الإجابة: س: ٤ صح

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن الحدثين المستقلين هما حدثان لا يؤثر وقوع أحدهما على احتمال وقوع الآخر. الحدثان غير المستقلين (أو التابعين) هما حدثان يؤثر وقوع أحدهما على احتمال وقوع الآخر.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** في إلقاء قطعة نقد مرة واحدة، لدينا نتيجتان محتملتان: صورة أو كتابة. إذا ألقينا القطعة مرة واحدة فقط، فإن نتيجة الإلقاء لا تؤثر على أي حدث آخر لأنها تجربة واحدة. لكن العبارة تقول "حدثان غير مستقلين"، وهذا يعني أن هناك حدثين مرتبطين. في إلقاء قطعة نقد مرة واحدة، يمكننا النظر إلى حدثين مثل "الحصول على صورة" و"الحصول على كتابة"، وهذان الحدثان متنافيان (لا يمكن وقوعهما معاً) وليسا مستقلين لأن وقوع أحدهما يستبعد الآخر. لذلك، هما غير مستقلين.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن العبارة صحيحة، لأن الحدثين في هذه الحالة غير مستقلين.

سؤال س: ٥: ٥. يتضمن الاحتمال الهندسي قياساً هندسياً مثل الطول أو المساحة.

الإجابة: س: ٥ صح

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. الاحتمال الهندسي هو نوع من الاحتمالات يُستخدم عندما تكون النتائج الممكنة غير منفصلة، بل مستمرة في فضاء عينة هندسي. في هذا النوع، نحسب الاحتمال كنسبة بين قياسين هندسيين، مثل الطول أو المساحة أو الحجم. على سبيل المثال، احتمال سقوط نقطة في منطقة معينة من خط أو سطح. إذن، العبارة تصف الاحتمال الهندسي بشكل صحيح.

سؤال س: ٦: ٦. ٦! = ٧٢٠

الإجابة: س: ٦ صح

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - المطلوب: حساب ٦! (ستة عاملي)
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم تعريف العاملي: $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 1$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$ $$6! = 720$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ٦! = **٧٢٠**، والعبارة صحيحة.

سؤال س: ٧: ٧. تسمى مجموعة كل النواتج الممكنة فضاء العينة.

الإجابة: س: ٧ صح

خطوات الحل:

1. **الشرح:** الفكرة في هذا السؤال هي فهم مصطلحات الاحتمالات. في أي تجربة عشوائية، مثل إلقاء حجر النرد أو سحب كرة، هناك مجموعة من جميع النتائج الممكنة التي يمكن أن تحدث. هذه المجموعة تسمى فضاء العينة. على سبيل المثال، في إلقاء حجر نرد عادل، فضاء العينة هو {1, 2, 3, 4, 5, 6}. إذن، العبارة تعرف فضاء العينة بشكل صحيح.

سؤال س: ٨: ٨. الاحتمال المشروط لـ B إذا وقع A هو: P(A∩B) / P(A)

الإجابة: س: ٨ صح

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حدث B بشرط أن يكون حدث A قد وقع. يُرمز له بـ P(B|A).
2. **الخطوة 2 (القانون):** الصيغة الرياضية للاحتمال المشروط هي: $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ حيث P(A∩B) هو احتمال تقاطع الحدثين A وB (أي وقوعهما معاً)، وP(A) هو احتمال وقوع A.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن العبارة تعطي الصيغة الصحيحة للاحتمال المشروط لـ B إذا وقع A، وهي صحيحة.

سؤال س: ٩: ٩. أجد قيمتين لواحد تلو الآخر من ٤ كرات ملونة دون إرجاع مثال على الحوادث المتنافية.

الإجابة: س: ٩ صح

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. الحوادث المتنافية هي أحداث لا يمكن وقوعها معاً في نفس الوقت. في المثال المذكور: "أجد قيمتين لواحد تلو الآخر من ٤ كرات ملونة دون إرجاع"، هذا يعني أننا نسحب كرتين من ٤ كرات دون إرجاع الكرة الأولى بعد سحبها. عند سحب كرتين دون إرجاع، الحدثان "سحب كرة معينة أولاً" و"سحب نفس الكرة ثانياً" متنافيان لأن الكرة لا يمكن سحبها مرة ثانية إذا لم نعدها. لكن العبارة تقول إن هذا مثال على الحوادث المتنافية، وهذا صحيح لأن سحب كرة معينة في المحاولة الأولى يستبعد سحبها في المحاولة الثانية دون إرجاع، مما يجعل الأحداث متنافية في السياق. إذن العبارة صحيحة.

ما المقصود بالصورة التربيعية لكثيرة الحدود؟

• أ) هي كتابة كثيرة الحدود على الصورة ax² + bx + c مباشرة، حيث x هو المتغير الأصلي.
• ب) هي تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية باستخدام طريقة إكمال المربع.
• ج) هي كتابة كثيرة الحدود في المتغير x على الصورة au² + bu + c، حيث u عبارة عن متغير معرف بدلالة x، و a, b, c أعداد حقيقية.
• د) هي طريقة لحل معادلات الدرجة الثانية فقط، وليس لكتابة كثيرات الحدود.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي كتابة كثيرة الحدود في المتغير x على الصورة au² + bu + c، حيث u عبارة عن متغير معرف بدلالة x، و a, b, c أعداد حقيقية.

الشرح: 1. الصورة التربيعية هي طريقة لإعادة كتابة كثيرات الحدود. 2. الهدف هو الوصول إلى صيغة تشبه الصيغة التربيعية القياسية. 3. نعرف متغيراً جديداً (u) يكون عادة قوة للمتغير الأصلي (x). 4. مثال: 12x⁶ + 8x³ + 1 يمكن كتابتها كـ 3(2x³)² + 4(2x³) + 1، حيث u = 2x³.

تلميح: فكر في شكل المعادلة التربيعية، ولكن ليس بالضرورة أن يكون المتغير هو x نفسه.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الخطوة الأولى المهمة عند محاولة كتابة كثيرة حدود على الصورة التربيعية؟

• أ) حل المعادلة بواسطة القانون العام للمعادلات التربيعية.
• ب) اختيار العبارة المكافئة لـ u بالنظر إلى الحدود التي تحوي متغيرات، مع الاهتمام بأسس المتغير الأصلي.
• ج) جمع الحدود المتشابهة بغض النظر عن أسسها.
• د) تحويل جميع الأسس إلى أسس زوجية بالقسمة على 2.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: اختيار العبارة المكافئة لـ u بالنظر إلى الحدود التي تحوي متغيرات، مع الاهتمام بأسس المتغير الأصلي.

الشرح: 1. نفحص حدود كثيرة الحدود التي تحتوي على المتغير. 2. نبحث عن حد يمكن اعتباره مربعاً كاملاً لمتغير جديد (u). 3. نختار u بحيث تكون قيمته بدلالة المتغير الأصلي (x). 4. مثال: في 150n⁸ + 40n⁴ - 15، نلاحظ أن 25n⁸ = (5n⁴)²، لذا نختار u = 5n⁴.

تلميح: التركيز على الحد الذي يمكن أن يمثل مربعاً كاملاً بالنسبة لمتغير جديد.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

لماذا لا يمكن كتابة العبارة y⁸ + 12y³ + 8 على الصورة التربيعية؟

• أ) لأن معامل الحد الثابت (8) ليس عدداً أولياً.
• ب) لأن الحد الأول y⁸ ليس مربعاً كاملاً لأي عبارة.
• ج) لأن أس المتغير في الحد الأوسط (y³) ليس ضعف أس المتغير في الحد الذي يمثل u² (والذي سيكون y⁴).
• د) لأن مجموع معاملات العبارة (1+12+8) لا يساوي صفراً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن أس المتغير في الحد الأوسط (y³) ليس ضعف أس المتغير في الحد الذي يمثل u² (والذي سيكون y⁴).

الشرح: 1. للكتابة على الصورة التربيعية، نفرض أن u هي عبارة عن قوة لـ y. 2. إذا افترضنا u = y⁴، فإن u² = y⁸ (يتطابق مع الحد الأول). 3. الحد الأوسط هو 12y³ = 12 * y³. 4. يجب أن يكون الحد الأوسط من الصورة b * u، أي b * y⁴. 5. بما أن y³ ≠ y⁴، فلا يمكن التعبير عن الحد الأوسط بدلالة u (y⁴).

تلميح: تذكر أن الصورة التربيعية تتطلب علاقة محددة بين أسس الحدود عند تعريف u.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب