صفحة 149 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل معادلات كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

* التحليل التام: تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية تماماً.

* كثيرة الحدود الأولية: كثيرة حدود لا يمكن تحليلها.

* الصورة التربيعية: كتابة كثيرة حدود على الصورة au^2 + bu + c حيث u عبارة معرفة بدلالة متغير آخر (مثل x^2 أو y^3).

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تحليل كثيرات الحدود

مجموع وفرق مكعبين

كثيرة الحدود الأولية

التحليل التام

ملخص طرق التحليل

التحليل بتجميع الحدود

حل معادلات كثيرات الحدود

التحليل باستعمال الفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين، والفرق بين مكعبين

حل معادلات كثيرات الحدود

#### خطوات الحل

##### 1. كتابة المعادلة بالصورة القياسية

##### 2. التحليل التام لكثيرة الحدود

##### 3. مساواة كل عامل بالصفر

##### 4. حل المعادلات الناتجة

#### تطبيق على معادلات من الدرجة الرابعة

##### كتابتها على الصورة التربيعية أولاً

##### مثال: x^4 - 6x^2 + 8 = 0

##### مثال: y^4 - 18y^2 + 72 = 0

من واقع الحياة

#### مسائل هندسية تتضمن الحجوم

##### مثال: إيجاد أبعاد منشور مستطيل حجمه 55x سم³ وأبعاده: (x-3، x، x+3)

#### مسائل تتضمن المساحات

##### مثال: إيجاد عرض ممر حول بركة مستطيلة

```

نقاط مهمة

* الهدف من تحليل كثيرة الحدود هو كتابتها على صورة حاصل ضرب عوامل.

* إذا تعذر التحليل، تكتب كثيرة الحدود على أنها "أولية".

* يمكن استخدام الصورة التربيعية لحل معادلات كثيرة الحدود ذات الدرجات الأعلى من الثانية (مثل الدرجة الرابعة).

* تطبق خطوات حل معادلات كثيرات الحدود على مسائل هندسية من الحياة الواقعية لإيجاد أبعاد مجسمات أو مساحات.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تأكد ---
تأكد

حلل كلّ كثيرة حدود مما يأتي تحليلاً تاما. وإذا لم يكن ذلك ممكنًا، فاكتب كثيرة حدود أولية : الأمثلة 3-1

3ax + 2ay - az + 3bx (1

1683 + 2h³ (2

12qw3 - 1294 (3

a6x2-b6x2 (4

x3y² - 8x3y + 16x3 + y5 - 8y4 + 16y3 (5

8c3-125d3 (6

(7) إنشاءات صنع أنس ممرا خشبيا عرضه x ft حول بركة مستطيلة الشكل. فإذا كان طول البركة 40ft وعرضها ft 30، ومساحتها مع الممر
2000ft2، فما عرض الممر الخشبي ؟

اكتب كلا من العبارتين الآتيتين على الصورة التربيعية إن كان ذلك ممكنا: مثال 5

4x62x3+8 (8

25y65y2+20 (9

حل كلا من المعادلتين الآتيتين: مثال 6

x46x2 + 8 = 0 (10

y4 - 18y2 + 72 = 0 (11

--- SECTION: تدرب وحل المسائل ---
تدرب وحل المسائل

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلاً تاماً. وإذا لم يكن ذلك ممكنا، فاكتب كثيرة حدود أولية: الأمثلة 3-1

8c3-27d3 (12

64x4 + xy³ (13

a8a2b6 (14

x6y3 + y (15

gx2-3hx2 6fy2 - gy² + 6fx2 + 3hy2 (16

18x6 + 5y6 (17

8x5 - 25y3 + 80x4 - x²y³ + 200x3 - 10xy³ (18

12ax220cy2 - 18bx² - 10ay² + 15by² + 24cx² (19

20) هندسة : إذا كان حجم المجسم المجاور يساوي 55xcm3 حيث 0 < x، فأوجد
كلا من قيمة x، وطول قاعدته وعرضها، وارتفاعه.

الدرس 6-3 حل معادلات كثيرات الحدود 2014947

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A rectangular prism with dimensions labeled. The width is labeled as x-3, the length is labeled as x, and the height is labeled as x+3.
Context: Relates to question 20 about finding the value of x and the dimensions of the prism.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوة الأولى لتحليل كثيرة حدود مثل 3ax + 2ay - az + 3bx؟

أ) استخدام قانون الفرق بين مكعبين مباشرة.
ب) استخراج العامل المشترك من جميع الحدود الأربعة.
ج) استخراج العامل المشترك من الحدود التي تشترك في عامل.
د) تحويلها إلى معادلة تربيعية وحلها.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: استخراج العامل المشترك من الحدود التي تشترك في عامل.

الشرح: 1. لاحظ أن الحدود الثلاثة الأولى (3ax, 2ay, -az) تشترك في العامل 'a'. 2. الحد الرابع (3bx) لا يشترك معها في 'a' ولكنه يشترك مع الحد الأول في '3x'. 3. يمكن تجميع الحدود بشكل مناسب لاستخراج العوامل المشتركة.

تلميح: ابحث عن عامل مشترك بين مجموعات من الحدود، وليس بالضرورة بين جميع الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الصيغة العامة لتحليل مجموع مكعبين (a³ + b³)؟

أ) (a - b)(a² + ab + b²)
ب) (a + b)(a² + ab + b²)
ج) (a + b)(a² - ab + b²)
د) (a - b)(a² - ab + b²)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (a + b)(a² - ab + b²)

الشرح: صيغة مجموع مكعبين هي: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). مثال: 8c³ + 27d³ = (2c)³ + (3d)³ = (2c + 3d)(4c² - 6cd + 9d²).

تلميح: تذكر أن إشارة الحد الأوسط في القوس الثاني تكون سالبة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما الخطوة الأساسية لحل معادلة على الصورة x⁴ - 6x² + 8 = 0؟

أ) تحليلها مباشرة كفرق بين مربعين.
ب) استبدال متغير جديد، مثلاً u = x²، لتحويلها إلى معادلة تربيعية.
ج) استخراج العامل المشترك x² منها.
د) تطبيق القانون العام للمعادلات من الدرجة الرابعة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استبدال متغير جديد، مثلاً u = x²، لتحويلها إلى معادلة تربيعية.

الشرح: 1. لاحظ أن المعادلة x⁴ - 6x² + 8 = 0 هي معادلة تربيعية في x². 2. ضع u = x². 3. تصبح المعادلة: u² - 6u + 8 = 0. 4. حل المعادلة التربيعية لإيجاد قيم u، ثم استبدل u = x² لإيجاد قيم x.

تلميح: المعادلة تحتوي على x⁴ و x². فكر في طريقة لتبسيطها إلى صورة مألوفة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الشرط الأساسي الذي يجب توافره في أسس العبارة الجبرية التي على الصورة $ax^n + bx^m + c$ لكي يمكن كتابتها على الصورة التربيعية؟

أ) أن يكون أس الحد الأول (n) يساوي مربع أس الحد الأوسط (m²)
ب) أن يكون أس الحد الأول (n) ضعف أس الحد الأوسط (m)، أي أن n = 2m
ج) أن يكون أس الحد الأول (n) يزيد بمقدار 2 عن أس الحد الأوسط (m+2)
د) أن يكون مجموع الأسين (n+m) مساوياً للعدد 2 دائماً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن يكون أس الحد الأول (n) ضعف أس الحد الأوسط (m)، أي أن n = 2m

الشرح: لكتابة عبارة على الصورة التربيعية $au^2 + bu + c$، يجب أن يكون المتغير في الحد الأول هو مربع المتغير في الحد الأوسط. 1. نفرض أن $u = x^m$. 2. لكي يكون الحد الأول $u^2$، يجب أن يكون $(x^m)^2 = x^{2m}$. 3. بالتالي، يجب أن يكون الأس $n$ مساوياً لـ $2m$. مثال: في العبارة $4x^6 + 2x^3 + 8$، نجد أن $6 = 2(3)$، لذا يمكن كتابتها على الصورة التربيعية.

تلميح: تذكر أن الصورة التربيعية القياسية هي $au^2 + bu + c$، فكر في العلاقة بين $u^2$ و $u$.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط