مثال 5

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 تحليل وحل معادلات كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

* التحليل التام: تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية تماماً.

* كثيرة حدود أولية: كثيرة حدود لا يمكن تحليلها.

خريطة المفاهيم

```markmap

دوال كثيرات الحدود

تحليل كثيرات الحدود

مجموع وفرق مكعبين

كثيرة الحدود الأولية

التحليل التام

ملخص طرق التحليل

التحليل بتجميع الحدود

حل معادلات كثيرات الحدود

التحليل باستعمال الفرق بين مربعين، ومجموع مكعبين، والفرق بين مكعبين

حل معادلات كثيرات الحدود

#### خطوات الحل

##### 1. كتابة المعادلة بالصورة القياسية

##### 2. التحليل التام لكثيرة الحدود

##### 3. مساواة كل عامل بالصفر

##### 4. حل المعادلات الناتجة

#### تطبيق على معادلات من الدرجة الرابعة

##### كتابتها على الصورة التربيعية أولاً

##### مثال: x^4 - 6x^2 + 8 = 0

##### مثال: y^4 - 18y^2 + 72 = 0

#### تطبيق على معادلات من الدرجة السادسة

##### كتابتها على الصورة التربيعية أولاً

##### مثال: x^6 - 26x^3 - 27 = 0

من واقع الحياة

#### مسائل هندسية تتضمن الحجوم

##### مثال: إيجاد أبعاد منشور مستطيل حجمه 55x سم³ وأبعاده: (x-3، x، x+3)

##### مثال: منشور متوازي مستطيلات أبعاده (6-x)، (4-x)، (2-x)، وحجمه 40x

#### مسائل تتضمن المساحات

##### مثال: إيجاد عرض ممر حول بركة مستطيلة

```

نقاط مهمة

* يمكن كتابة بعض كثيرات الحدود ذات الدرجات الزوجية (مثل الدرجة الرابعة أو السادسة) على الصورة التربيعية لتسهيل تحليلها أو حلها.

* عند حل معادلات كثيرة الحدود، يجب مساواة كل عامل بالصفر بعد التحليل التام.

* في المسائل الهندسية (كالمنشور)، قد تكون بعض الحلول الناتجة غير مقبولة في السياق الحقيقي (مثل الأبعاد السالبة).

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

اكتب كل عبارة مما يأتي على الصورة التربيعية إن كان ذلك ممكنا:

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ + 12x² - 8

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

-15x⁴ + 18x² - 4

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8x⁶ + 6x³ + 7

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5x⁶ - 2x² + 8

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9x⁸ - 21x⁴ + 12

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16x¹⁰ + 2x⁵

مثال 6

نوع: محتوى تعليمي

حُلَّ كل معادلة مما يأتي:

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ + 6x² + 5 = 0

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ - 3x² - 10 = 0

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4x⁴ - 14x² + 12 = 0

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9x⁴ - 27x² + 20 = 0

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4x⁴ - 5x² - 6 = 0

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24x⁴ + 14x² - 3 = 0

نوع: محتوى تعليمي

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلاً تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا، فاكتب كثيرة حدود أولية:

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ - 625

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁶ - 64

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁵ - 16x

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8x⁵y² - 27x²y⁵

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15ax - 10bx + 5cx + 12ay - 8by + 4cy + 15az - 10bz + 5cz

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6a²x² - 24b²x² + 18c²x² - 5a²y³ + 20b²y³ - 15c²y³ + 2a²z² – 8b²z² + 6c²z²

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6x⁵ - 11x⁴ - 10x³ - 54x³ + 99x² + 90x

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20x⁶ - 7x⁵ - 6x⁴ - 500x⁴ + 175x³ + 150x²

نوع: محتوى تعليمي

حُلَّ كل معادلة مما يأتي:

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ + x² - 90 = 0

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ - 16x² - 720 = 0

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ - 7x² - 44 = 0

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ + 6x² - 91 = 0

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x³ + 216 = 0

46

نوع: QUESTION_HOMEWORK

64x³ + 1 = 0

نوع: محتوى تعليمي

حل كل معادلة مما يأتي:

47

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8x⁴ + 10x² - 3 = 0

48

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6x⁴ - 5x² - 4 = 0

49

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20x⁴ - 53x² + 18 = 0

50

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18x⁴ + 43x² - 5 = 0

51

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8x⁴ - 18x² + 4 = 0

52

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3x⁴ - 22x² - 45 = 0

53

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁶ - 26x³ - 27 = 0

54

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4x⁴ - 4x² - x² + 1 = 0

55

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁶ - 9x⁴ - x² + 9 = 0

56

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x⁴ + 8x² + 15 = 0

57

نوع: QUESTION_HOMEWORK

هندسة : منشور متوازي مستطيلات أبعاده 6 - x ، 4 - x ، 2 - x ، وحجمه 40x وحدة مكعبة.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال 5 ---
اكتب كل عبارة مما يأتي على الصورة التربيعية إن كان ذلك ممكنا:

--- SECTION: 21 ---
x⁴ + 12x² - 8

--- SECTION: 22 ---
-15x⁴ + 18x² - 4

--- SECTION: 23 ---
8x⁶ + 6x³ + 7

--- SECTION: 24 ---
5x⁶ - 2x² + 8

--- SECTION: 25 ---
9x⁸ - 21x⁴ + 12

--- SECTION: 26 ---
16x¹⁰ + 2x⁵

--- SECTION: مثال 6 ---
حُلَّ كل معادلة مما يأتي:

--- SECTION: 27 ---
x⁴ + 6x² + 5 = 0

--- SECTION: 28 ---
x⁴ - 3x² - 10 = 0

--- SECTION: 29 ---
4x⁴ - 14x² + 12 = 0

--- SECTION: 30 ---
9x⁴ - 27x² + 20 = 0

--- SECTION: 31 ---
4x⁴ - 5x² - 6 = 0

--- SECTION: 32 ---
24x⁴ + 14x² - 3 = 0

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلاً تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا، فاكتب كثيرة حدود أولية:

--- SECTION: 33 ---
x⁴ - 625

--- SECTION: 34 ---
x⁶ - 64

--- SECTION: 35 ---
x⁵ - 16x

--- SECTION: 36 ---
8x⁵y² - 27x²y⁵

--- SECTION: 37 ---
15ax - 10bx + 5cx + 12ay - 8by + 4cy + 15az - 10bz + 5cz

--- SECTION: 38 ---
6a²x² - 24b²x² + 18c²x² - 5a²y³ + 20b²y³ - 15c²y³ + 2a²z² – 8b²z² + 6c²z²

--- SECTION: 39 ---
6x⁵ - 11x⁴ - 10x³ - 54x³ + 99x² + 90x

--- SECTION: 40 ---
20x⁶ - 7x⁵ - 6x⁴ - 500x⁴ + 175x³ + 150x²

حُلَّ كل معادلة مما يأتي:

--- SECTION: 41 ---
x⁴ + x² - 90 = 0

--- SECTION: 42 ---
x⁴ - 16x² - 720 = 0

--- SECTION: 43 ---
x⁴ - 7x² - 44 = 0

--- SECTION: 44 ---
x⁴ + 6x² - 91 = 0

--- SECTION: 45 ---
x³ + 216 = 0

--- SECTION: 46 ---
64x³ + 1 = 0

حل كل معادلة مما يأتي:

--- SECTION: 47 ---
8x⁴ + 10x² - 3 = 0

--- SECTION: 48 ---
6x⁴ - 5x² - 4 = 0

--- SECTION: 49 ---
20x⁴ - 53x² + 18 = 0

--- SECTION: 50 ---
18x⁴ + 43x² - 5 = 0

--- SECTION: 51 ---
8x⁴ - 18x² + 4 = 0

--- SECTION: 52 ---
3x⁴ - 22x² - 45 = 0

--- SECTION: 53 ---
x⁶ - 26x³ - 27 = 0

--- SECTION: 54 ---
4x⁴ - 4x² - x² + 1 = 0

--- SECTION: 55 ---
x⁶ - 9x⁴ - x² + 9 = 0

--- SECTION: 56 ---
x⁴ + 8x² + 15 = 0

--- SECTION: 57 ---
هندسة : منشور متوازي مستطيلات أبعاده 6 - x ، 4 - x ، 2 - x ، وحجمه 40x وحدة مكعبة.
a. اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل حجم المنشور.
b. حل المعادلة باستعمال التحليل إلى العوامل.
c. هل هناك قيم غير مقبولة للمتغير x عند حل المعادلة؟ وضح إجابتك.
d. ما أبعاد المنشور؟

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوة الأولى لتحويل معادلة من الصورة x⁴ + 6x² + 5 = 0 إلى معادلة تربيعية قابلة للحل؟

أ) تحليل العامل المشترك x²
ب) استبدال المتغير، مثلاً: جعل u = x²
ج) نقل الحد المطلق إلى الطرف الآخر
د) استخدام القانون العام مباشرة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استبدال المتغير، مثلاً: جعل u = x²

الشرح: 1. لاحظ أن المعادلة x⁴ + 6x² + 5 = 0 هي معادلة من الدرجة الرابعة في x. 2. يمكن كتابتها على الصورة (x²)² + 6(x²) + 5 = 0. 3. باستبدال u = x²، تصبح المعادلة: u² + 6u + 5 = 0، وهي معادلة تربيعية في u.

تلميح: فكر في طريقة لجعل المعادلة تبدو كمعادلة من الدرجة الثانية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند تحليل فرق بين مربعين مثل x⁴ - 625، ما هي الصيغة الأولية للتحليل؟

أ) (x - 5)(x + 5)(x² + 25)
ب) (x² - 25)(x² + 25)
ج) (x - 25)(x + 25)
د) (x² - 5)(x² + 125)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (x² - 25)(x² + 25)

الشرح: 1. اكتب العبارة: x⁴ - 625. 2. لاحظ أن x⁴ = (x²)² و 625 = 25². 3. طبق قاعدة فرق المربعين: أ² - ب² = (أ - ب)(أ + ب). 4. النتيجة: (x²)² - (25)² = (x² - 25)(x² + 25).

تلميح: تذكر أن x⁴ يمكن كتابته على صورة (x²)².

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت معادلة حجم منشور على الصورة (6 - x)(4 - x)(2 - x) = 40، وأردنا حلها، ما المبدأ الذي يجب مراعاته عند إيجاد قيم x؟

أ) قبول جميع الحلول الحقيقية للمعادلة.
ب) استبعاد القيم التي لا تحقق خاصية التوزيع في الضرب.
ج) استبعاد القيم التي تجعل أي بعد من أبعاد المنشور سالباً أو صفراً.
د) قبول القيم الصحيحة فقط وتجاهل الكسرية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: استبعاد القيم التي تجعل أي بعد من أبعاد المنشور سالباً أو صفراً.

الشرح: عند حل معادلة تمثل حجم منشور، الحلول الجبرية للمعادلة (قيم x) قد لا تكون جميعها مقبولة في السياق الهندسي. يجب استبعاد القيم التي تجعل أي من التعبيرات (6-x) أو (4-x) أو (2-x) يساوي صفر أو سالباً، لأن أبعاد المنشور الحقيقية يجب أن تكون أطوالاً موجبة.

تلميح: الأبعاد الفعلية للمنشور (الطول، العرض، الارتفاع) يجب أن تكون قيماً موجبة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

أي من المعادلات التالية يمكن حلها بتحويلها إلى معادلة تربيعية باستبدال مناسب؟

أ) 8x⁵y² - 27x²y⁵
ب) x⁵ - 16x
ج) 9x⁴ - 27x² + 20 = 0
د) 6a²x² - 24b²x² + 18c²x² - 5a²y³ + ...

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9x⁴ - 27x² + 20 = 0

الشرح: المعادلة 9x⁴ - 27x² + 20 = 0 يمكن كتابتها كـ 9(x²)² - 27(x²) + 20 = 0. باستبدال u = x²، تتحول إلى المعادلة التربيعية 9u² - 27u + 20 = 0، مما يجعل حلها ممكناً. المعادلات الأخرى إما أن أسسها لا تتبع هذا النمط (مثل x⁶ + 6x³ + 7) أو ليست على الصورة القياسية لتحويل بسيط.

تلميح: ابحث عن معادلة حيث أسس المتغير هي ضعف بعضها، مثل x⁴ و x².

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما الخطوة التالية بعد تحليل العبارة x⁶ - 64 إلى (x³ - 8)(x³ + 8)؟

أ) تركها كما هي لأنها تحليل تام.
ب) تحليل كل قوس باستخدام قواعد مجموع مكعبين وفرق مكعبين.
ج) استخراج العامل المشترك x³ من كل قوس.
د) تحويلها إلى فرق مربعين مرة أخرى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تحليل كل قوس باستخدام قواعد مجموع مكعبين وفرق مكعبين.

الشرح: 1. بعد الوصول إلى (x³ - 8)(x³ + 8)، نلاحظ أن 8 = 2³. 2. نطبق قاعدة فرق المكعبين على القوس الأول: أ³ - ب³ = (أ - ب)(أ² + أب + ب²)، فتصبح (x - 2)(x² + 2x + 4). 3. نطبق قاعدة مجموع المكعبين على القوس الثاني: أ³ + ب³ = (أ + ب)(أ² - أب + ب²)، فتصبح (x + 2)(x² - 2x + 4). 4. التحليل التام هو: (x - 2)(x + 2)(x² + 2x + 4)(x² - 2x + 4).

تلميح: تذكر صيغ تحليل مجموع المكعبين (أ³ + ب³) وفرق المكعبين (أ³ - ب³).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب