صفحة 154 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 نظريتا الباقي والعوامل (صفحة 154)

المفاهيم الأساسية

التعويض التركيبي: طريقة سهلة لإيجاد قيمة دالة كثيرة حدود عند عدد معين، باستعمال القسمة التركيبية ونظرية الباقي.

نظرية الباقي: إذا قسمت كثيرة حدود $ P(x) $ على $ x - r $، فإن الباقي ثابت ويساوي $ P(r) $.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها (صفحة 152)

مسائل مهارات التفكير العليا

تحليل المقادير

#### مثال: 1 + 12xⁿ + 36x²ⁿ

التبرير بإعطاء مثال مضاد

#### مثال: إثبات خطأ a² + b² = (a + b)²

مسائل مفتوحة

#### كتابة معادلة من الدرجة السادسة بصيغة تكعيبية

الربط بين التمثيل البياني والتحليل

#### كيف يساعد الرسم على تحليل الدالة؟

تدريب على اختبار

حل معادلات

#### مثال: 0 = 27 + x³

مسائل كلامية (فرق الأعداد)

#### مثال: إيجاد قيمة k

مراجعة تراكمية

تحديد خصائص كثيرات الحدود

#### الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 4x³ - 6x² + 5x⁴ - 8x

#### مثال: -2x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 9

#### مثال: -x⁴ - 3x³ + 2x⁶ - x⁷

جمع الأعداد المركبة (تطبيق)

#### إيجاد المعاوقة الكلية: (4j + 3) + (6j - 2)

قسمة كثيرات الحدود

#### مثال: (x² + 6x - 2) ÷ (x + 4)

#### مثال: (2x² + 8x - 10) ÷ (2x + 1)

#### مثال: (8x³ + 4x² + 6) ÷ (x + 2)

تحدٍ (حل معادلات خاصة)

#### مثال: (x² - 4)² - (x² - 4) - 2 = 0

#### مثال: (x² + 3)² - 7(x² + 3) + 12 = 0

توسع: حل متباينات كثيرات الحدود (صفحة 153)

الطريقة 1: تمثيل طرفي المتباينة

#### الخطوات

تمثيل الطرف الأيسر f1(x) = x^4 + 2x^3
تمثيل الطرف الأيمن f2(x) = 7
إيجاد نقاط التقاطع

#### الحل: x \ge 1.29 أو x \le -2.47 تقريباً

الطريقة 2: تمثيل المعادلة المرتبطة

#### الخطوات

كتابة المتباينة على الصورة: x^4 + 2x^3 - 7 = 0
إيجاد أصفار الدالة (تقاطع المنحنى مع المحور x)

#### الحل: x \ge 1.29 أو x \le -2.47 تقريباً

نظريتا الباقي والعوامل (صفحة 154)

التعويض التركيبي

#### الهدف

إيجاد قيم الدوال
تحديد ما إذا كانت ثنائية حد عاملاً من عوامل كثيرة حدود

#### مثال تطبيقي

دالة أرباح البقالة: S(x) = 0.02x⁴ – 0.52x³ + 4.03x² + 0.09x + 77.54
إيجاد الأرباح في العام 1440هـ (عند x=20)

نظرية الباقي

#### الصيغة العامة

P(x) = Q(x) • (x - r) + P(r)

#### مثال توضيحي

x² + 6x + 2 = (x - 4) • (x + 10) + 42

#### المقارنة بين الطريقتين

##### القسمة الطويلة على x - 3

الناتج: -3x - 4
الباقي: -8

##### القسمة التركيبية للقسمة على x - 3

الناتج: -3x - 4
الباقي: -8

##### حساب f(3) مباشرة

f(3) = -3(3)² + 5(3) + 4 = -8

المفردات

نظرية الباقي (Remainder Theorem)
التعويض التركيبي (Synthetic Substitution)
نظرية العوامل (Factor Theorem)

```

نقاط مهمة

التعويض التركيبي هو تطبيق عملي لنظرية الباقي باستخدام القسمة التركيبية.
نظرية الباقي تربط بين باقي القسمة على $ x - r $ وقيمة الدالة $ P(r) $.
هذه الطرق مفيدة خصوصاً عندما تكون درجة كثيرة الحدود أكبر من الثانية.

📄 النص الكامل للصفحة

نظريتا الباقي والعوامل
The Remainder and Factor Theorems

رابط الدرس الرقمي
www.ien.edu.sa

--- SECTION: فيما سبق ---
فيما سبق:
درست استعمال خاصية
التوزيع والتحليل لتبسيط
عبارات جبرية.
)3-3( الدرس

--- SECTION: والآن ---
والآن:
- أجد قيم الدوال
باستعمال التعويض
التركيبي.
أستعمل التعويض
التركيبي لأحدد ما إذا
كانت ثنائية حد عاملا
من عوامل كثيرة حدود
أم لا .

--- SECTION: لماذا ؟ ---
لماذا ؟
قدر صاحب بقالة أرباحه السنوية بالدالة:
S(x) = 0.02x⁴ – 0.52x³ + 4.03x² + 0.09x + 77.54 ، حيث x عدد السنوات منذ العام 1420هـ، وتمثل
(S(x قيمة الأرباح بمئات الريالات.
يمكنك استعمال هذه الدالة لتقدير الأرباح في العام 1440هـ ، بإيجاد قيمة الدالة (S(x عندما 20 = x، ويمكنك
استعمال التعويض التركيبي باعتباره طريقة أخرى للوصول إلى ذلك.

--- SECTION: التعويض التركيبي ---
التعويض التركيبي : يمكنك إيجاد باقي قسمة دالة كثيرة حدود مثل: f(x) = −3x² + 5x + 4
على الدالة 3 - x بطريقتين :

--- SECTION: الطريقة 1 ---
الطريقة 1 : القسمة الطويلة

-3x-4
x - 3/-3x² + 5x + 4
(-)-3x² + 9x
-4x + 4
(-)
-4x + 12
-8

--- SECTION: الطريقة 2 ---
الطريقة 2 : القسمة التركيبية

3|-3 5 4
 -9 -12
 -3 -4 |-8

قارن بين باقي القسمة وهو العدد 8- ، وقيمة (3)f .

f(3) = -3(3)² + 5(3) + 4
=-27+15 + 4
= -8

عوض العدد 3 بدلا من x
اضرب
بسط

لاحظ أن قيمة (3)f تساوي باقي قسمة كثيرة الحدود على 3 - x. وهذا يوضح نظرية الباقي.

--- SECTION: مفهوم أساسي ---
مفهوم أساسي
نظرية الباقي

--- SECTION: أضف إلى مطويتك ---
أضف إلى
مطويتك
التعبير اللفظي إذا قسمت كثيرة حدود (x) على x - r ، فإن الباقي ثابت ويساوي (r) ، وكذلك :
P(x) = Q(x) • (x-r) + P(r)
حيث (x) دالة كثيرة حدود تقل درجتها بواحد عن درجة (x)Q.
مثال
x² + 6x + 2 = (x-4) • (x+10) + 42

إن عملية إيجاد قيمة دالة عند عدد بتطبيق نظرية الباقي واستعمال القسمة التركيبية تسمى التعويض التركيبي. وهي
طريقة سهلة لإيجاد قيم دوال كثيرات الحدود، خصوصًا عندما تكون درجة كثيرة الحدود أكبر من الدرجة الثانية.

--- SECTION: المفردات ---
المفردات:

--- SECTION: نظرية الباقي ---
نظرية الباقي
Remainder Theorm

--- SECTION: التعويض التركيبي ---
التعويض التركيبي
synthetic substitution

--- SECTION: نظرية العوامل ---
نظرية العوامل
Factor Theorm

154 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 7

سؤال س:1 (د): اختر رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي: 1) اختيرت نقطة عشوائيا في الشكل المجاور، فما احتمال وقوعها في المنطقة المظللة؟

الإجابة: 0.5

سؤال س:2 (ب): 2) كم عددًا مكونًا من 3 أرقام يمكن تكوينه باستعمال الأرقام 1, 2, 6, 7 دون تكرار الرقم الواحد أكثر من مرة؟

الإجابة: 6

سؤال س:3 (ج): 3) إذا كانت A, B حادثتين متنافيتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية ما، وكان P(A) = $\frac{1}{3}$ ، P(B) = $\frac{1}{2}$ ، فما قيمة P(A $\cup$ B)؟

الإجابة: $\frac{5}{6}$

سؤال س:4 (أ): 4) قيمة محددة المصفوفة $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -5 \end{vmatrix}$ تساوي:

الإجابة: 11-

سؤال س:5 (ب): 5) يكتب المقدار: $\frac{4x-1}{4x^2-14x+6} - \frac{5}{6}$ في أبسط صورة على النحو:

الإجابة: $\frac{2-7x}{3(2x-1)}$

سؤال س:6 (ب): 6) إذا كانت A حادثة في فضاء العينة لتجربة عشوائية، وكان P(A) = 0.8 ، فما احتمال عدم وقوع الحادثة A؟

الإجابة: 0.2

سؤال س:7 (ج): 7) سحبت عينتان عشوائيا واحدة تلو الأخرى دون إرجاع من صندوق يحتوي على ٥ كرات من فصائل دم مختلفة، فإذا كان في الصندوق ٤ كرات من فصيلة الدم A ، و 3 كرات من فصيلة الدم B ، و ٥ كرات من فصيلة الدم AB ، و ٥ كرات من فصيلة الدم O ، فما احتمال أن تكون العينتان المسحوبتان من فصيلة الدم AB؟

الإجابة: $\frac{5}{51}$

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما نص نظرية الباقي فيما يتعلق بقسمة كثيرة حدود P(x) على (x - r)؟

أ) الباقي يساوي قيمة معامل الحد الرئيسي.
ب) الباقي ثابت ويساوي P(r).
ج) الباقي يساوي درجة كثيرة الحدود Q(x).
د) الباقي يساوي صفراً دائماً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الباقي ثابت ويساوي P(r).

الشرح: تنص نظرية الباقي على أنه إذا قسمت كثيرة حدود P(x) على (x - r)، فإن الباقي يكون قيمة ثابتة ويساوي قيمة الدالة عند r، أي P(r). يمكن التعبير عنها بالصيغة: P(x) = Q(x) • (x - r) + P(r).

تلميح: فكر في العلاقة بين القيمة التي تُعوض في الدالة وباقي القسمة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما المقصود بالتعويض التركيبي؟

أ) هي طريقة القسمة الطويلة على كثيرة حدود.
ب) هي عملية تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية.
ج) هي عملية إيجاد قيمة دالة عند عدد بتطبيق نظرية الباقي واستعمال القسمة التركيبية.
د) هي طريقة لرسم التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي عملية إيجاد قيمة دالة عند عدد بتطبيق نظرية الباقي واستعمال القسمة التركيبية.

الشرح: التعويض التركيبي هو طريقة مختصرة لإيجاد قيمة دالة كثيرة حدود عند عدد معين (مثل r). تعتمد على تطبيق نظرية الباقي باستخدام خوارزمية القسمة التركيبية، وهي مفيدة خصوصاً عندما تكون درجة كثيرة الحدود مرتفعة.

تلميح: اربط بين اسم الطريقة واستعمالها لإيجاد قيمة الدالة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الفائدة الرئيسية لاستخدام التعويض التركيبي مقارنة بالتعويض المباشر لإيجاد قيمة دالة كثيرة حدود؟

أ) يعطي دائماً نتيجة أدق من التعويض المباشر.
ب) يُستخدم فقط عندما يكون باقي القسمة صفراً.
ج) هي طريقة أسهل وأسرع، خصوصاً عندما تكون درجة كثيرة الحدود أكبر من الثانية.
د) يُستخدم فقط مع دوال الدرجة الثانية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي طريقة أسهل وأسرع، خصوصاً عندما تكون درجة كثيرة الحدود أكبر من الثانية.

الشرح: التعويض المباشر يتطلب رفع العدد إلى أسس كبيرة وإجراء عمليات ضرب متعددة، مما يزيد فرصة الخطأ ويستهلك وقتاً. التعويض التركيبي يختصر هذه الخطوات باستخدام خوارزمية منظمة للقسمة التركيبية، مما يجعله أكثر كفاءة وسهولة، خاصة مع دوال الدرجة الثالثة فما فوق.

تلميح: فكر في التعقيد الحسابي عندما تكون الأسس كبيرة.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

وفقاً لنظرية الباقي، ما القيمة التي يمثلها باقي قسمة كثيرة الحدود $P(x)$ على ثنائية الحد $(x - r)$؟

أ) $P(r)$
ب) $P(-r)$
ج) الصفر دائماً
د) المعامل الرئيس لـ $P(x)$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: قيمة الدالة عند $r$، أي $P(r)$

الشرح: 1. تنص نظرية الباقي على أنه عند قسمة كثيرة حدود $P(x)$ على $x - r$، فإن الباقي يكون عدداً ثابتاً. 2. هذا الثابت يساوي قيمة الدالة عندما نعوض فيها بالعدد $r$. 3. رياضياً: الباقي = $P(r)$. 4. تُستخدم هذه النظرية في 'التعويض التركيبي' لإيجاد قيم الدوال المعقدة بسهولة بدلاً من التعويض المباشر.

تلميح: فكر في العلاقة بين ناتج التعويض المباشر في الدالة وبين الباقي الناتج من عملية القسمة التركيبية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل