التعويض التركيبي - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 التعويض التركيبي

المفاهيم الأساسية

التعويض التركيبي: طريقة لإيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود عند عدد معين باستعمال القسمة التركيبية، بناءً على نظرية الباقي.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها (صفحة 152)

مسائل مهارات التفكير العليا

تحليل المقادير

#### مثال: 1 + 12xⁿ + 36x²ⁿ

التبرير بإعطاء مثال مضاد

#### مثال: إثبات خطأ a² + b² = (a + b)²

مسائل مفتوحة

#### كتابة معادلة من الدرجة السادسة بصيغة تكعيبية

الربط بين التمثيل البياني والتحليل

#### كيف يساعد الرسم على تحليل الدالة؟

تدريب على اختبار

حل معادلات

#### مثال: 0 = 27 + x³

مسائل كلامية (فرق الأعداد)

#### مثال: إيجاد قيمة k

مراجعة تراكمية

تحديد خصائص كثيرات الحدود

#### الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 4x³ - 6x² + 5x⁴ - 8x

#### مثال: -2x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 9

#### مثال: -x⁴ - 3x³ + 2x⁶ - x⁷

جمع الأعداد المركبة (تطبيق)

#### إيجاد المعاوقة الكلية: (4j + 3) + (6j - 2)

قسمة كثيرات الحدود

#### مثال: (x² + 6x - 2) ÷ (x + 4)

#### مثال: (2x² + 8x - 10) ÷ (2x + 1)

#### مثال: (8x³ + 4x² + 6) ÷ (x + 2)

تحدٍ (حل معادلات خاصة)

#### مثال: (x² - 4)² - (x² - 4) - 2 = 0

#### مثال: (x² + 3)² - 7(x² + 3) + 12 = 0

توسع: حل متباينات كثيرات الحدود (صفحة 153)

الطريقة 1: تمثيل طرفي المتباينة

#### الخطوات

• تمثيل الطرف الأيسر f1(x) = x^4 + 2x^3
• تمثيل الطرف الأيمن f2(x) = 7
• إيجاد نقاط التقاطع

#### الحل: x \ge 1.29 أو x \le -2.47 تقريباً

الطريقة 2: تمثيل المعادلة المرتبطة

#### الخطوات

• كتابة المتباينة على الصورة: x^4 + 2x^3 - 7 = 0
• إيجاد أصفار الدالة (تقاطع المنحنى مع المحور x)

#### الحل: x \ge 1.29 أو x \le -2.47 تقريباً

نظريتا الباقي والعوامل (صفحة 154)

التعويض التركيبي

#### الهدف

• إيجاد قيم الدوال
• تحديد ما إذا كانت ثنائية حد عاملاً من عوامل كثيرة حدود

#### مثال تطبيقي

• دالة أرباح البقالة: S(x) = 0.02x⁴ – 0.52x³ + 4.03x² + 0.09x + 77.54
• إيجاد الأرباح في العام 1440هـ (عند x=20)

نظرية الباقي

#### الصيغة العامة

P(x) = Q(x) • (x - r) + P(r)

#### مثال توضيحي

x² + 6x + 2 = (x - 4) • (x + 10) + 42

#### المقارنة بين الطريقتين

##### القسمة الطويلة على x - 3

• الناتج: -3x - 4
• الباقي: -8

##### القسمة التركيبية للقسمة على x - 3

• الناتج: -3x - 4
• الباقي: -8

##### حساب f(3) مباشرة

f(3) = -3(3)² + 5(3) + 4 = -8

المفردات

• نظرية الباقي (Remainder Theorem)
• التعويض التركيبي (Synthetic Substitution)
• نظرية العوامل (Factor Theorem)

التعويض التركيبي (صفحة 155)

تطبيق التعويض التركيبي

#### مثال 1: إيجاد f(4)

• الدالة: f(x) = 3x⁴ – 2x³ + 5x + 2
• بناءً على نظرية الباقي: f(4) = باقي قسمة f(x) على (x - 4)
• الناتج: f(4) = 662
• التحقق بالتعويض المباشر: 3(4)⁴ – 2(4)³ + 5(4) + 2 = 662

#### مثال 2 من واقع الحياة: تقدير الأرباح

• دالة الأرباح: P(x) = -0.02x⁴ – 0.52x³ + 4.03x² + 0.09x + 77.54
• إيجاد الأرباح عند x = 20 (العام 1440هـ)
• الناتج: 731.34 (تقريباً 73134 ريالاً)

استخدامات التعويض التركيبي

• في الحالات التي تكون فيها حسابات التعويض المباشر معقدة.

```

نقاط مهمة

• التعويض التركيبي هو تطبيق عملي لنظرية الباقي.
• عند ترتيب معاملات كثيرة الحدود للقسمة التركيبية، يجب وضع `0` مكان معامل الحدود الناقصة (مثل x²).
• يمكن التحقق من صحة الناتج باستخدام التعويض المباشر في الدالة الأصلية.
• تُستخدم هذه الطريقة في التطبيقات الواقعية مثل تقدير الأرباح أو عدد الطلاب.

التعويض التركيبي

إذا كان 2 + 5x - 2x³ + 3x⁴ = (x)f ، فأوجد (4)f باستعمال التعويض التركيبي. بناءً على نظرية الباقي، فإن (4)f يساوي باقي قسمة كثيرة الحدود على 4 – x. بما أنه لا يوجد حد يحتوي على x²، لذا ضع 0 للمحافظة على مكان عامل الحد x². بما أن باقي القسمة يساوي 662 ، فإنه باستعمال التعويض التركيبي يكون (4)f = (4)f. وللتحقق نستعمل التعويض المباشر. الدالة الأصلية f(x) = 3x⁴ – 2x³ + 5x + 2 عوض العدد 4 بدلاً من x f(4) = 3(4)⁴ – 2(4)³ + 5(4) + 2 بسط = 768 – 128 + 20 + 2 = 662 وعليه فإن 662 = (4)f ، وبذلك تكون قد توصلنا إلى الإجابة نفسها من خلال التعويض المباشر.

تحقق من فهمك

إذا كان 11 – x = x² + 6x³ – 3x⁴ ، فأوجد (x)f

إذا كان 1 – x² + 2x³ = (x)g ، فأوجد (1-)g

يمكنك استعمال التعويض التركيبي في الحالات التي تكون فيها حسابات التعويض المباشر معقدة.

مثال 2 من واقع الحياة

مبيعات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية هذا الدرس. ما قيمة الأرباح في العام 1440 هـ؟ أوجد ناتج قسمة 77.54 + 0.09x + 4.03x² – 0.52x³ – 0.02x⁴ على 20 – x مستعملاً القسمة التركيبية.

تقدر الأرباح بـ 73134 ريالاً تقريباً.

تحقق من فهمك

مدارس: يمكن استعمال الدالة C(x) = 2.4x³ – 22.3x² + 53.8x + 548.2 لتقدير عدد الطلاب في إحدى المناطق منذ عام 1427 هـ، حيث تمثل x عدد السنوات، و C(x) عدد الطلاب بالعشرات عام 1442 هـ.

وزارة التعليم 2023 - 1447 155 الدرس 7-3 نظريتا الباقي والعوامل

--- SECTION: التعويض التركيبي --- التعويض التركيبي --- SECTION: مثال 1 --- إذا كان 2 + 5x - 2x³ + 3x⁴ = (x)f ، فأوجد (4)f باستعمال التعويض التركيبي. بناءً على نظرية الباقي، فإن (4)f يساوي باقي قسمة كثيرة الحدود على 4 – x. بما أنه لا يوجد حد يحتوي على x²، لذا ضع 0 للمحافظة على مكان عامل الحد x². بما أن باقي القسمة يساوي 662 ، فإنه باستعمال التعويض التركيبي يكون (4)f = (4)f. وللتحقق نستعمل التعويض المباشر. الدالة الأصلية f(x) = 3x⁴ – 2x³ + 5x + 2 عوض العدد 4 بدلاً من x f(4) = 3(4)⁴ – 2(4)³ + 5(4) + 2 بسط = 768 – 128 + 20 + 2 = 662 وعليه فإن 662 = (4)f ، وبذلك تكون قد توصلنا إلى الإجابة نفسها من خلال التعويض المباشر. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1A --- إذا كان 11 – x = x² + 6x³ – 3x⁴ ، فأوجد (x)f --- SECTION: 1B --- إذا كان 1 – x² + 2x³ = (x)g ، فأوجد (1-)g يمكنك استعمال التعويض التركيبي في الحالات التي تكون فيها حسابات التعويض المباشر معقدة. --- SECTION: مثال 2 من واقع الحياة --- مثال 2 من واقع الحياة --- SECTION: مبيعات --- مبيعات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية هذا الدرس. ما قيمة الأرباح في العام 1440 هـ؟ أوجد ناتج قسمة 77.54 + 0.09x + 4.03x² – 0.52x³ – 0.02x⁴ على 20 – x مستعملاً القسمة التركيبية. تقدر الأرباح بـ 73134 ريالاً تقريباً. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- مدارس: يمكن استعمال الدالة C(x) = 2.4x³ – 22.3x² + 53.8x + 548.2 لتقدير عدد الطلاب في إحدى المناطق منذ عام 1427 هـ، حيث تمثل x عدد السنوات، و C(x) عدد الطلاب بالعشرات عام 1442 هـ. وزارة التعليم 2023 - 1447 155 الدرس 7-3 نظريتا الباقي والعوامل