عوامل كثيرة الحدود - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 عوامل كثيرة الحدود ونظرية العوامل

المفاهيم الأساسية

نظرية العوامل: تكون كثيرة الحدود (x - r) عاملاً من عوامل كثيرة الحدود P(x) إذا وفقط إذا كان P(r) = 0.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها (صفحة 152)

مسائل مهارات التفكير العليا

تحليل المقادير

#### مثال: 1 + 12xⁿ + 36x²ⁿ

التبرير بإعطاء مثال مضاد

#### مثال: إثبات خطأ a² + b² = (a + b)²

مسائل مفتوحة

#### كتابة معادلة من الدرجة السادسة بصيغة تكعيبية

الربط بين التمثيل البياني والتحليل

#### كيف يساعد الرسم على تحليل الدالة؟

تدريب على اختبار

حل معادلات

#### مثال: 0 = 27 + x³

مسائل كلامية (فرق الأعداد)

#### مثال: إيجاد قيمة k

مراجعة تراكمية

تحديد خصائص كثيرات الحدود

#### الدرجة والمعامل الرئيس

#### مثال: 4x³ - 6x² + 5x⁴ - 8x

#### مثال: -2x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 9

#### مثال: -x⁴ - 3x³ + 2x⁶ - x⁷

جمع الأعداد المركبة (تطبيق)

#### إيجاد المعاوقة الكلية: (4j + 3) + (6j - 2)

قسمة كثيرات الحدود

#### مثال: (x² + 6x - 2) ÷ (x + 4)

#### مثال: (2x² + 8x - 10) ÷ (2x + 1)

#### مثال: (8x³ + 4x² + 6) ÷ (x + 2)

تحدٍ (حل معادلات خاصة)

#### مثال: (x² - 4)² - (x² - 4) - 2 = 0

#### مثال: (x² + 3)² - 7(x² + 3) + 12 = 0

توسع: حل متباينات كثيرات الحدود (صفحة 153)

الطريقة 1: تمثيل طرفي المتباينة

#### الخطوات

• تمثيل الطرف الأيسر f1(x) = x^4 + 2x^3
• تمثيل الطرف الأيمن f2(x) = 7
• إيجاد نقاط التقاطع

#### الحل: x \ge 1.29 أو x \le -2.47 تقريباً

الطريقة 2: تمثيل المعادلة المرتبطة

#### الخطوات

• كتابة المتباينة على الصورة: x^4 + 2x^3 - 7 = 0
• إيجاد أصفار الدالة (تقاطع المنحنى مع المحور x)

#### الحل: x \ge 1.29 أو x \le -2.47 تقريباً

نظريتا الباقي والعوامل (صفحة 154)

التعويض التركيبي

#### الهدف

• إيجاد قيم الدوال
• تحديد ما إذا كانت ثنائية حد عاملاً من عوامل كثيرة حدود

#### مثال تطبيقي

• دالة أرباح البقالة: S(x) = 0.02x⁴ – 0.52x³ + 4.03x² + 0.09x + 77.54
• إيجاد الأرباح في العام 1440هـ (عند x=20)

نظرية الباقي

#### الصيغة العامة

P(x) = Q(x) • (x - r) + P(r)

#### مثال توضيحي

x² + 6x + 2 = (x - 4) • (x + 10) + 42

#### المقارنة بين الطريقتين

##### القسمة الطويلة على x - 3

• الناتج: -3x - 4
• الباقي: -8

##### القسمة التركيبية للقسمة على x - 3

• الناتج: -3x - 4
• الباقي: -8

##### حساب f(3) مباشرة

f(3) = -3(3)² + 5(3) + 4 = -8

المفردات

• نظرية الباقي (Remainder Theorem)
• التعويض التركيبي (Synthetic Substitution)
• نظرية العوامل (Factor Theorem)

التعويض التركيبي (صفحة 155)

تطبيق التعويض التركيبي

#### مثال 1: إيجاد f(4)

• الدالة: f(x) = 3x⁴ – 2x³ + 5x + 2
• بناءً على نظرية الباقي: f(4) = باقي قسمة f(x) على (x - 4)
• الناتج: f(4) = 662
• التحقق بالتعويض المباشر: 3(4)⁴ – 2(4)³ + 5(4) + 2 = 662

#### مثال 2 من واقع الحياة: تقدير الأرباح

• دالة الأرباح: P(x) = -0.02x⁴ – 0.52x³ + 4.03x² + 0.09x + 77.54
• إيجاد الأرباح عند x = 20 (العام 1440هـ)
• الناتج: 731.34 (تقريباً 73134 ريالاً)

استخدامات التعويض التركيبي

• في الحالات التي تكون فيها حسابات التعويض المباشر معقدة.

عوامل كثيرة الحدود (صفحة 156)

العلاقة بين القسمة والعوامل

#### قاعدة عامة

• عند قسمة كثيرة حدود على ثنائية حد، يكون ناتج القسمة كثيرة حدود تقل درجتها بواحد عن درجة كثيرة الحدود الأصلية.

#### مثال توضيحي

• قسمة -2x³ – 3x² + 17x + 30 على (x + 3)
• الناتج: -2x² + 9x + 10
• العلاقة: (-2x² + 9x + 10) • (x + 3) + 0 = -2x³ – 3x² + 17x + 30

نظرية العوامل

#### الشرط

• إذا كان باقي القسمة = 0، فإن (x - r) عامل لكثيرة الحدود P(x).
• أي: P(r) = 0 ↔ (x - r) عامل لـ P(x).

#### الاستخدام

• للتحقق مما إذا كانت ثنائية حد معينة عامل من عوامل كثيرة حدود معطاة.

مثال تطبيقي

#### المثال 3: استعمال نظرية العوامل

• كثيرة الحدود: x³ – 7x² + 7x + 15
• هل (x - 5) عامل؟
• الحل:

- باستخدام التعويض التركيبي: P(5) = 0

- إذن (x - 5) عامل.

- القسمة تعطي: (x² – 2x – 3)

- تحليل الناتج: (x + 1)(x – 3)

- التحليل النهائي: (x – 5)(x + 1)(x – 3)

إرشادات للدراسة

• عوامل كثيرة الحدود ليست بالضرورة ثنائيات حد.

```

نقاط مهمة

• إذا كان باقي قسمة كثيرة حدود على (x - r) يساوي صفراً، فإن (x - r) عامل لها.
• يمكن استخدام نظرية العوامل للتحقق من عوامل كثيرة حدود معطاة.
• بعد إيجاد عامل واحد، يمكن قسمة كثيرة الحدود عليه لإيجاد باقي العوامل.
• التحقق من الإجابة يكون بضرب العوامل ومقارنة الناتج بكثيرة الحدود الأصلية.

عوامل كثيرة الحدود: تبين القسمة التركيبية أدناه أن ناتج قسمة 30 + 17x – 3x² – 2x³ على 3 + x هو 10 + 9x – 2x².

عند قسمة كثيرة حدود على ثنائية حد، يكون ناتج القسمة كثيرة حدود تقل درجتها بواحد عن درجة كثيرة الحدود الأصلية.

بناءً على عملية القسمة وباستعمال نظرية الباقي فإن:

ناتج القسمة المقسوم عليه الباقي المقسوم (2x² – 9x + 10) • (x + 3) + 0 = 2x³ – 3x² – 17x + 30

وبما أن باقي القسمة يساوي صفراً، فإن 0 = )3-(f. وهذا يعني أن 3 + x عامل لكثيرة الحدود، التي تعد حالة خاصة من نظرية العوامل.

نظرية العوامل

تكون كثيرة الحدود P(x) عاملاً من عوامل كثيرة الحدود (x)P إذا وفقط إذا كان 0 = )r(P.

يمكنك استعمال نظرية العوامل للتحقق من أن ثنائية حد معينة عامل من عوامل كثيرة حدود معطاة.

استعمال نظرية العوامل

حدد ما إذا كان 5 – x عاملاً من عوامل كثيرة الحدود 15 + 7x – 7x² + x³ أم لا، ثم أوجد عواملها الأخرى.

بناءً على نظرية العوامل تكون ثنائية الحد 5 – x عاملاً لكثيرة الحدود P(x) إذا كان 0 = )5(P. ويمكن استعمال التعويض التركيبي.

تحليل كثيرة الحدود بما أن 5 – x عامل لكثيرة الحدود؛ لذا يمكن تحليل كثيرة الحدود الآتي: (x – 5)(x² – 2x – 3). وتكون كثيرة الحدود الناتجة عن قسمة كثيرة الحدود 15 + 7x – 7x² + x³ على (x – 5) هي (x² – 2x – 3).

تحقق مما إذا كانت كثيرة الحدود هذه قابلة للتحليل أم لا. x² – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) وعليه فإن (x – 5)(x + 1)(x – 3) = 15 + 7x – 7x² + x³

يمكنك التحقق من إجابتك بضرب العوامل ومقارنة كثيرة الحدود الناتجة بكثيرة الحدود الأصلية.

حدد ما إذا كان 2 – x عاملاً من عوامل كثيرة الحدود 12 + 4x – 7x² + x³ أم لا، ثم أوجد عواملها الأخرى.

التحليل إلى العوامل ليس شرطاً أن تكون عوامل كثيرة الحدود ثنائيات حد. فمثلاً، عوامل كثيرة الحدود 15 + x³ – 7x² + x هي: 3 + x و 5 – x² – 2x و 5 + x.

الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها

156

--- SECTION: عوامل كثيرة الحدود --- عوامل كثيرة الحدود: تبين القسمة التركيبية أدناه أن ناتج قسمة 30 + 17x – 3x² – 2x³ على 3 + x هو 10 + 9x – 2x². عند قسمة كثيرة حدود على ثنائية حد، يكون ناتج القسمة كثيرة حدود تقل درجتها بواحد عن درجة كثيرة الحدود الأصلية. بناءً على عملية القسمة وباستعمال نظرية الباقي فإن: ناتج القسمة المقسوم عليه الباقي المقسوم (2x² – 9x + 10) • (x + 3) + 0 = 2x³ – 3x² – 17x + 30 وبما أن باقي القسمة يساوي صفراً، فإن 0 = )3-(f. وهذا يعني أن 3 + x عامل لكثيرة الحدود، التي تعد حالة خاصة من نظرية العوامل. --- SECTION: مفهوم أساسي --- نظرية العوامل --- SECTION: أضف إلى معلوماتك --- تكون كثيرة الحدود P(x) عاملاً من عوامل كثيرة الحدود (x)P إذا وفقط إذا كان 0 = )r(P. يمكنك استعمال نظرية العوامل للتحقق من أن ثنائية حد معينة عامل من عوامل كثيرة حدود معطاة. --- SECTION: مثال 3 --- استعمال نظرية العوامل حدد ما إذا كان 5 – x عاملاً من عوامل كثيرة الحدود 15 + 7x – 7x² + x³ أم لا، ثم أوجد عواملها الأخرى. --- SECTION: الخطوة 1 --- بناءً على نظرية العوامل تكون ثنائية الحد 5 – x عاملاً لكثيرة الحدود P(x) إذا كان 0 = )5(P. ويمكن استعمال التعويض التركيبي. --- SECTION: الخطوة 2 --- تحليل كثيرة الحدود بما أن 5 – x عامل لكثيرة الحدود؛ لذا يمكن تحليل كثيرة الحدود الآتي: (x – 5)(x² – 2x – 3). وتكون كثيرة الحدود الناتجة عن قسمة كثيرة الحدود 15 + 7x – 7x² + x³ على (x – 5) هي (x² – 2x – 3). تحقق مما إذا كانت كثيرة الحدود هذه قابلة للتحليل أم لا. x² – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) وعليه فإن (x – 5)(x + 1)(x – 3) = 15 + 7x – 7x² + x³ --- SECTION: تحقق --- يمكنك التحقق من إجابتك بضرب العوامل ومقارنة كثيرة الحدود الناتجة بكثيرة الحدود الأصلية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- حدد ما إذا كان 2 – x عاملاً من عوامل كثيرة الحدود 12 + 4x – 7x² + x³ أم لا، ثم أوجد عواملها الأخرى. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التحليل إلى العوامل ليس شرطاً أن تكون عوامل كثيرة الحدود ثنائيات حد. فمثلاً، عوامل كثيرة الحدود 15 + x³ – 7x² + x هي: 3 + x و 5 – x² – 2x و 5 + x. الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 156