تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: أوجد قيمة x مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. (مثلث قائم الزاوية أضلاعه 11، 4، والوتر x)

الإجابة: $x = \sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{121 + 16} = \sqrt{137} \approx 11.7$

سؤال 2: أوجد قيمة x مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. (مثلث قائم الزاوية أضلاعه 22، 8، والوتر x)

الإجابة: $x = \sqrt{22^2 + 8^2} = \sqrt{484 + 64} = \sqrt{548} \approx 23.4$

سؤال 3: أوجد قيمة x مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. (مثلث قائم الزاوية وتره 15، أحد أضلاعه 9، والضلع الآخر x)

الإجابة: $x = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$

سؤال 4: حدائق: يريد أحمد أن يصف ممرًا على قطر الحديقة، فكم سيكون طول الممر مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة؟

الإجابة: طول القطر $7.2m$

سؤال 5: أوجد القياسين المجهولين في كل مما يأتي (اكتب الجذور في أبسط صورة): (مثلث 45-45-90 أضلاعه 9، y، والوتر x)

الإجابة: $x = 9$, $y = 9\sqrt{2}$

سؤال 6: أوجد القياسين المجهولين في كل مما يأتي (اكتب الجذور في أبسط صورة): (مثلث 45-45-90 أضلاعه 13، y، والوتر x)

الإجابة: $x = 13\sqrt{2}$, $y = 13$

سؤال 7: سلالم: يستند سلم إلى جدار بحيث يصنع مع زاوية 45°، إذا كان طول السلم 12 قدمًا، فأوجد ارتفاع قمتة عن الأرض.

الإجابة: $12\sqrt{2} = 12 \times 1.414 = 16.968 \approx 17$

سؤال 8: ارتفاع: إذا كان طول السلم 12 قدمًا، فأوجد ارتفاع قمتة عن الأرض.

الإجابة: الارتفاع $12\sqrt{2}$

سؤال أ: مثال 1: أوجد قياس المجهول في المثلث القائم الزاوية أدناه. (مثلث قائم الزاوية وتره 18، أحد أضلاعه 5، والضلع الآخر a)

الإجابة: نظرية فيثاغورس عوض عن $c$ بـ 18 و $b$ بـ 5 بسط اطرح 25 من كلا الطرفين خذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين

سؤال ب: مثال 1: أوجد قياس المجهول في المثلث القائم الزاوية أدناه. (مثلث قائم الزاوية وتره 18، أحد أضلاعه 5، والضلع الآخر a)

الإجابة: $18^2 = a^2 + 5^2$ $324 = a^2 + 25$ $299 = a^2$ $17.3 \approx a$

سؤال ج: مثال 2: أوجد القياسين المجهولين في كل مما يأتي (اكتب الجذور في أبسط صورة): (مثلث قائم الزاوية وتره 18، أضلاعه x، y، وزاوية 45°)

الإجابة: نظرية فيثاغورس اجمع الحدود المتشابهة بسط اقسم كلا الطرفين على 2 خذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين بسط

سؤال د: مثال 2: أوجد القياسين المجهولين في كل مما يأتي (اكتب الجذور في أبسط صورة): (مثلث قائم الزاوية وتره 18، أضلاعه x، y، وزاوية 45°)

الإجابة: $x^2 + x^2 = 18^2$ $2x^2 = 324$ $x^2 = 162$ $x = 9\sqrt{2}$

ما هو الهدف الأساسي من استخدام التعويض التركيبي لإيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود عند قيمة معينة لـ x؟

• أ) إيجاد أصفار الدالة (الجذور) وحل المعادلة P(x)=0.
• ب) تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية.
• ج) تبسيط عملية الحساب وتجنب رفع العدد إلى أسس كبيرة، خاصة عند التعامل مع قيم x الكبيرة أو دوال ذات درجات عالية.
• د) رسم التمثيل البياني للدالة بيانياً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تبسيط عملية الحساب وتجنب رفع العدد إلى أسس كبيرة، خاصة عند التعامل مع قيم x الكبيرة أو دوال ذات درجات عالية.

الشرح: 1. التعويض التركيبي هو طريقة منظمة لحساب قيمة الدالة P(x) عند x = c. 2. يعتمد على ترتيب معاملات كثيرة الحدود وتنفيذ عمليات ضرب وجمع متتالية. 3. يختصر الوقت ويقلل احتمالية الخطأ مقارنة بالتعويض المباشر ورفع الأعداد لأسس.

تلميح: فكر في طريقة بديلة لحساب قيمة الدالة دون التعويض المباشر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6، وأردنا التحقق مما إذا كان (x - 1) عاملاً لها باستخدام نظرية العامل، فماذا يجب أن تكون قيمة P(1)؟

• أ) يجب أن تكون P(1) = 1.
• ب) يجب أن تكون P(1) = 0.
• ج) يجب أن تكون P(1) > 0.
• د) يجب أن تكون P(1) سالبة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يجب أن تكون P(1) = 0.

الشرح: 1. تنص نظرية العامل على أن (x - c) هو عامل من عوامل كثيرة الحدود P(x) إذا وفقط إذا كان P(c) = 0. 2. في هذه الحالة، c = 1. 3. لذلك، الشرط هو أن تكون قيمة الدالة عند 1 تساوي صفراً: P(1) = 0.

تلميح: تذكر شرط نظرية العامل: (x - c) هو عامل لـ P(x) إذا وفقط إذا كان...

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في مسألة تطبيقية، إذا كانت دالة تمثل عدد أزواج النسور P(x) = -0.16x³ + 15.83x² - 154.15x + 1147.97، حيث x عدد السنوات منذ 1390هـ، فكيف نجد العدد المتوقع في عام 1443هـ باستخدام التعويض التركيبي؟

• أ) نحسب قيمة P(1390).
• ب) نحسب قيمة P(1443).
• ج) نحسب قيمة P(53) لأن 1443 - 1390 = 53 سنة.
• د) نحل المعادلة P(x)=0 لإيجاد x.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نحسب قيمة P(53) لأن 1443 - 1390 = 53 سنة.

الشرح: 1. المتغير x يمثل عدد السنوات منذ سنة الأساس 1390هـ. 2. السنة المطلوبة هي 1443هـ. 3. نحسب الفرق: 1443 - 1390 = 53 سنة. 4. لذلك، نجد العدد المتوقع بحساب P(53) باستخدام التعويض التركيبي في الدالة المعطاة.

تلميح: أولاً، أوجد قيمة x التي تمثل الفرق الزمني.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا استخدمنا التعويض التركيبي لإيجاد f(6) للدالة f(t) = -0.04t⁴ + 0.8t³ + 0.5t² - t، وكانت النتيجة سالبة، فماذا يمكن أن يعني ذلك في سياق مسألة سرعة الزورق؟

• أ) أن الزورق توقف تماماً عن الحركة.
• ب) أن هناك خطأ في الحسابات لأن السرعة لا يمكن أن تكون سالبة.
• ج) أن سرعة الزورق تضاعفت.
• د) قد يعني أن الزورق يتحرك في الاتجاه المعاكس للاتجاه المرجعي الموجب (إلى الخلف) بعد 6 ثوانٍ، أو أن النموذج الرياضي له قيود عند هذه القيمة.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: قد يعني أن الزورق يتحرك في الاتجاه المعاكس للاتجاه المرجعي الموجب (إلى الخلف) بعد 6 ثوانٍ، أو أن النموذج الرياضي له قيود عند هذه القيمة.

الشرح: 1. الدالة f(t) تمثل سرعة الزورق. 2. السرعة كمية متجهة لها مقدار واتجاه. 3. إذا كانت f(6) موجبة، فالزورق يتحرك في الاتجاه الموجب (الأمام). 4. إذا كانت سالبة، فهذا يشير إلى أن الزورق يتحرك في الاتجاه المعاكس (الخلف) بالنسبة للاتجاه المرجعي المحدد في المسألة.

تلميح: فكر في معنى إشارة ناتج دالة السرعة في التطبيق العملي.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

بناءً على نظرية العوامل الموضحة في تمارين الصفحة، ما هو الشرط الضروري والكافي ليكون ثنائي الحد (x - r) عاملاً من عوامل كثيرة الحدود P(x)؟

• أ) أن تكون قيمة الدالة عند r تساوي صفراً، أي P(r) = 0
• ب) أن تكون قيمة الدالة عند r تساوي واحداً، أي P(r) = 1
• ج) أن تكون قيمة الدالة عند القيمة السالبة r تساوي صفراً، أي P(-r) = 0
• د) أن يكون المعامل الرئيس لكثيرة الحدود مساوياً للقيمة r

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أن تكون قيمة الدالة عند r تساوي صفراً، أي P(r) = 0

الشرح: 1. تنص نظرية العوامل على أن (x - c) يُعد عاملاً لكثيرة الحدود f(x) إذا وفقط إذا كان f(c) = 0. 2. يرتبط هذا بنظرية الباقي؛ حيث إن باقي قسمة P(x) على (x - r) هو P(r). 3. ليكون المقدار عاملاً، يجب أن تقبل كثيرة الحدود القسمة عليه بدون باقٍ (أي الباقي = 0). 4. لذا، نتحقق من التعويض بالثابت r (بعكس إشارة الحد في ثنائي الحد) فإذا كان الناتج صفراً فإنه عامل.

تلميح: تذكر العلاقة بين باقي القسمة وكون المقسوم عليه جزءاً أصيلاً (عاملاً) من المقسوم.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط