صفحة 158 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها (صفحة 158)

المفاهيم الأساسية

* نظرية العوامل: حالة خاصة من نظرية الباقي تحدث عندما يكون الباقي صفرًا.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها (صفحة 158)

تمارين على إيجاد العوامل باستخدام التمثيل البياني

28: f(x) = x⁴ - 2x³ - x² + 2x - 24

29: f(x) = 20x³ - 47x² + 8x + 12

تمارين متعددة التمثيلات (30)

الدالة: f(x) = x⁴ - 4x²

#### أ) جبريًا: قسمة الدالة على (x - 2)

#### ب) جدوليًا: تكوين جدول قيم للناتج

#### ج) تحليليًا: استنتاج باقي العوامل من الجدول

#### د) بيانيًا: تمثيل الدالة الأصلية للتأكيد

تمارين على نظرية الباقي (إيجاد k)

31: (x² - x + k) ÷ (x - 1) والباقي = 3

32: (x² + kx - 17) ÷ (x - 2) والباقي = 3

33: (x² + 5x + 7) ÷ (x - k) والباقي = 3

34: (x³ + 4x² + x + k) ÷ (x + 2) والباقي = 3

مسائل مهارات التفكير العليا

35) تبرير: الاستنتاج من قسمة f(x) على (x - c)

#### أ) إذا كان الباقي = 0

#### ب) إذا كان الباقي = 1

#### ج) إذا كان الناتج = 1 والباقي = 0

36) مسألة مفتوحة: كتابة دالة تكعيبية

#### شرط 1: باقي القسمة على (x - 2) = 8

#### شرط 2: باقي القسمة على (x - 3) = -5

37) توضيح: لماذا تعد نظرية العوامل حالة خاصة من نظرية الباقي؟

```

نقاط مهمة

* يمكن استخدام التمثيل البياني للدالة لتحديد أصفارها، وبالتالي عواملها.

* مسألة (30) تدمج بين الطرق الجبرية والجدولية والتحليلية والبيانية لفهم عوامل الدالة.

* نظرية الباقي تربط بين قيمة الدالة عند نقطة (f(r)) وباقي قسمتها على (x - r).

* نظرية العوامل هي حالة خاصة تحدث عندما يكون (f(r)) = 0، مما يعني أن (x - r) عامل للدالة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

استعمل التمثيل البياني لإيجاد جميع عوامل كل دالة كثيرة حدود فيما يأتي:

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = x⁴ - 2x³ - x² + 2x - 24

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = 20x³ - 47x² + 8x + 12

نوع: محتوى تعليمي

(30) تمثيلات متعددة : لتكن الدالة: f(x) = x⁴ - 4x² .

a

نوع: محتوى تعليمي

جبريًا : إذا كان 2 - x عاملاً من عوامل هذه الدالة، فأوجد كثيرة الحدود الناتجة عن قسمة هذه الدالة
)x - 2( على

b

نوع: محتوى تعليمي

جدوليا : كون جدول قيم لكثيرة الحدود التي وجدتها في الفرع "a" حيث 11-2- x.

c

نوع: محتوى تعليمي

تحليليا : اعتمادًا على جدول القيم الذي كوّنته، ما الاستنتاجات التي يمكن أن نتوصل إليها حول بقية
عوامل الدالة: f(x) = x⁴ - 4x²؟ وضح إجابتك.

d

نوع: محتوى تعليمي

بيانيا : مثل الدالة الأصلية بيانيا لتؤكد الاستنتاجات التي توصلت إليها.

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قيم k التي تجعل باقي القسمة في كل مما يأتي يساوي 3:

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(x² - x + k) ÷ (x - 1)

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(x² + kx - 17) ÷ (x - 2)

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(x² + 5x + 7) ÷ (x - k)

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(x³ + 4x² + x + k) ÷ (x + 2)

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: إذا قسمت دالة كثيرة الحدود (f(x على c x، فماذا يمكن أن تستنتج إذا كان:

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مسألة مفتوحة : اكتب دالة تكعيبية يكون باقي قسمتها على 2 - x يساوي 8 ، وباقي قسمتها على 3 - x
يساوي 5-.

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب وضّح لماذا تعد نظرية العوامل حالة خاصة من نظرية الباقي؟

🔍 عناصر مرئية

W-shaped curve with a local maximum at approximately (0, -24)

Wave-like curve with a local minimum and maximum

📄 النص الكامل للصفحة

استعمل التمثيل البياني لإيجاد جميع عوامل كل دالة كثيرة حدود فيما يأتي:

--- SECTION: 28 ---
f(x) = x⁴ - 2x³ - x² + 2x - 24

--- SECTION: 29 ---
f(x) = 20x³ - 47x² + 8x + 12

(30) تمثيلات متعددة : لتكن الدالة: f(x) = x⁴ - 4x² .

--- SECTION: a ---
جبريًا : إذا كان 2 - x عاملاً من عوامل هذه الدالة، فأوجد كثيرة الحدود الناتجة عن قسمة هذه الدالة
)x - 2( على

--- SECTION: b ---
جدوليا : كون جدول قيم لكثيرة الحدود التي وجدتها في الفرع "a" حيث 11-2- x.

--- SECTION: c ---
تحليليا : اعتمادًا على جدول القيم الذي كوّنته، ما الاستنتاجات التي يمكن أن نتوصل إليها حول بقية
عوامل الدالة: f(x) = x⁴ - 4x²؟ وضح إجابتك.

--- SECTION: d ---
بيانيا : مثل الدالة الأصلية بيانيا لتؤكد الاستنتاجات التي توصلت إليها.

أوجد قيم k التي تجعل باقي القسمة في كل مما يأتي يساوي 3:

--- SECTION: 31 ---
(x² - x + k) ÷ (x - 1)

--- SECTION: 32 ---
(x² + kx - 17) ÷ (x - 2)

--- SECTION: 33 ---
(x² + 5x + 7) ÷ (x - k)

--- SECTION: 34 ---
(x³ + 4x² + x + k) ÷ (x + 2)

مسائل مهارات التفكير العليا

--- SECTION: 35 ---
تبرير: إذا قسمت دالة كثيرة الحدود (f(x على c x، فماذا يمكن أن تستنتج إذا كان:
a. الباقي يساوي صفرا ؟
b. الباقي يساوي 1؟
c. ناتج القسمة يساوي 1 والباقي يساوي صفرًا؟

--- SECTION: 36 ---
مسألة مفتوحة : اكتب دالة تكعيبية يكون باقي قسمتها على 2 - x يساوي 8 ، وباقي قسمتها على 3 - x
يساوي 5-.

--- SECTION: 37 ---
اكتب وضّح لماذا تعد نظرية العوامل حالة خاصة من نظرية الباقي؟

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: W-shaped curve with a local maximum at approximately (0, -24)
X-axis: x
Y-axis: f(x)
(Note: Some details are estimated)

**GRAPH**: Untitled
Description: Wave-like curve with a local minimum and maximum
X-axis: x
Y-axis: f(x)
(Note: Some details are estimated)

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

إذا قسمت دالة كثيرة الحدود f(x) على (x - c) وكان الباقي يساوي صفراً، فماذا يمكن أن تستنتج؟

أ) c هو المعامل الرئيس للدالة.
ب) درجة الدالة f(x) هي 1.
ج) (x - c) هو عامل من عوامل الدالة f(x).
د) ناتج القسمة يساوي f(c).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (x - c) هو عامل من عوامل الدالة f(x).

الشرح: وفقاً لنظرية الباقي، إذا قسمت f(x) على (x - c) وكان الباقي = 0، فإن f(c) = 0. وهذا يعني أن c هو صفر (جذر) للدالة، وبالتالي فإن (x - c) هو عامل من عواملها.

تلميح: تذكر العلاقة بين الباقي الصفري في القسمة وبين عوامل كثيرة الحدود.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

لماذا تُعد نظرية العوامل حالة خاصة من نظرية الباقي؟

أ) لأن كلتا النظريتين تستخدمان لإيجاد أصفار الدالة فقط.
ب) لأن نظرية الباقي تعطي قيمة الباقي لأي قاسم، بينما نظرية العوامل تعطي قيمة الباقي عندما يكون القاسم عاملاً.
ج) لأن نظرية العوامل تنص على أن (x - c) عامل لـ f(x) إذا وفقط إذا كان f(c) = 0، وهي حالة خاصة تحدث عندما يكون الباقي في نظرية الباقي مساوياً للصفر.
د) لأن نظرية العوامل أقدم وأشمل من نظرية الباقي.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن نظرية العوامل تنص على أن (x - c) عامل لـ f(x) إذا وفقط إذا كان f(c) = 0، وهي حالة خاصة تحدث عندما يكون الباقي في نظرية الباقي مساوياً للصفر.

الشرح: نظرية الباقي: باقي قسمة f(x) على (x - c) هو f(c). نظرية العوامل: (x - c) عامل لـ f(x) إذا وفقط إذا كان f(c) = 0. عندما نطبق شرط f(c)=0 على نظرية الباقي، نحصل على أن الباقي = 0، وهو الشرط المطلوب في نظرية العوامل. لذا، نظرية العوامل هي تطبيق لنظرية الباقي عندما يكون الباقي صفراً.

تلميح: فكر في الشرط الذي يحوّل نتيجة نظرية الباقي إلى نتيجة نظرية العوامل.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

أي مما يلي يمثل الخطوة الأولى الصحيحة لإيجاد قيمة k التي تجعل باقي قسمة (x³ + 4x² + x + k) على (x + 2) يساوي 3؟

أ) حساب f(2) حيث f(x) = x³ + 4x² + x + k.
ب) حساب f(-2) حيث f(x) = x³ + 4x² + x + k.
ج) إجراء القسمة الطويلة للدالة على (x + 2).
د) تحليل الدالة f(x) إلى عواملها.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حساب f(-2) حيث f(x) = x³ + 4x² + x + k.

الشرح: المقسوم عليه هو (x + 2) والذي يمكن كتابته كـ (x - (-2)). وفقاً لنظرية الباقي، باقي القسمة يساوي f(-2). إذن، الخطوة الأولى هي تعويض x = -2 في الدالة f(x) = x³ + 4x² + x + k، مما يعطينا: (-2)³ + 4*(-2)² + (-2) + k.

تلميح: تذكر كيفية تطبيق نظرية الباقي عندما يكون المقسوم عليه على الصورة (x - a).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بناءً على المفاهيم الرياضية في موضوع كثيرات الحدود، لماذا تُعد «نظرية العوامل» حالة خاصة من «نظرية الباقي»؟

أ) لأنها تشترط أن يكون المعامل الرئيس للدالة دائماً مساوياً للواحد الصحيح.
ب) لأنها تتعامل مع الحالة التي يكون فيها باقي القسمة f(c) مساوياً للصفر، مما يحدد العوامل.
ج) لأن نظرية العوامل تُستخدم فقط مع الأعداد المركبة بخلاف نظرية الباقي.
د) لأنها الطريقة الوحيدة الممكنة لإيجاد ناتج قسمة دالة تكعيبية على دالة خطية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأنها تتعامل مع الحالة التي يكون فيها باقي القسمة f(c) مساوياً للصفر، مما يحدد العوامل.

الشرح: 1. تنص نظرية الباقي على أن باقي قسمة الدالة f(x) على (x - c) هو القيمة f(c). 2. تنص نظرية العوامل على أن (x - c) يكون عاملاً للدالة إذا وفقط إذا كان f(c) = 0. 3. بما أن نظرية العوامل تشترط قيمة محددة للباقي (وهي الصفر) للحكم على «العامل»، فهي بذلك تطبيق خاص لنظرية الباقي العامة.

تلميح: فكر في قيمة الباقي المطلوبة لاعتبار المقسوم عليه عاملاً للدالة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط