3-8 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 2: تحقق من فهمك 2) إذا كان $\tan B = \frac{3}{7}$ ، فأوجد قيمة $\sin B$.

الإجابة: $\sin B = \frac{3}{\sqrt{58}} = \frac{3\sqrt{58}}{58}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا نسبة مثلثية معطاة: $\tan B = \frac{3}{7}$. - المطلوب هو إيجاد قيمة $\sin B$.
2. **الخطوة 2 (الفكرة والقانون):** لحل هذا السؤال، نتذكر العلاقة بين النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية. نعلم أن: $$\tan B = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$$ من المعطى $\tan B = \frac{3}{7}$، إذن: - طول الضلع المقابل للزاوية $B$ = 3 - طول الضلع المجاور للزاوية $B$ = 7 الآن، لإيجاد $\sin B$، نستخدم تعريفه: $$\sin B = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}$$ نحتاج أولاً إلى إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس.
3. **الخطوة 3 (الحل - إيجاد الوتر):** نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم: $$(\text{الوتر})^2 = (\text{المقابل})^2 + (\text{المجاور})^2$$ بالتعويض: $$(\text{الوتر})^2 = (3)^2 + (7)^2$$ $$(\text{الوتر})^2 = 9 + 49$$ $$(\text{الوتر})^2 = 58$$ إذن: $$\text{الوتر} = \sqrt{58}$$
4. **الخطوة 4 (الحل - إيجاد $\sin B$):** الآن نعوض في قانون $\sin B$: $$\sin B = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{3}{\sqrt{58}}$$ هذه هي الإجابة في أبسط صورة. يمكننا توزيع الجذر على المقام لتبسيطها أكثر: $$\sin B = \frac{3}{\sqrt{58}} \times \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}} = \frac{3\sqrt{58}}{58}$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن قيمة $\sin B$ هي: $$\sin B = \frac{3}{\sqrt{58}} = \frac{3\sqrt{58}}{58}$$

ما هي النظرية الأساسية في الجبر؟

• أ) كل معادلة تربيعية لها جذران حقيقيان.
• ب) كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.
• ج) كل معادلة كثيرة حدود يمكن تحليلها إلى عوامل خطية.
• د) عدد جذور المعادلة يساوي درجة كثيرة الحدود.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.

الشرح: 1. النظرية الأساسية في الجبر هي حقيقة رياضية أساسية. 2. تنص على أن أي معادلة كثيرة حدود (مثل axⁿ + ... = 0). 3. بشرط أن تكون درجتها أكبر من الصفر (n ≥ 1). 4. فإن لها على الأقل حل واحد (جذر). 5. وهذا الحل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة (قد يكون حقيقياً أو تخيلياً).

تلميح: تتعلق هذه النظرية بوجود حلول لمعادلات كثيرة الحدود.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

إذا كانت 2، 1، -2، -3 هي أصفار الدالة P(x) = x⁴ + 2x³ - 7x² - 8x + 12، فأي مما يلي يمثل عوامل كثيرة الحدود P(x)؟

• أ) (x + 2), (x + 1), (x - 2), (x - 3)
• ب) (x - 2), (x - 1), (x + 2), (x + 3)
• ج) (x - 2), (x + 1), (x + 2), (x - 3)
• د) (x + 2), (x - 1), (x - 2), (x + 3)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (x - 2), (x - 1), (x + 2), (x + 3)

الشرح: 1. إذا كان c صفراً للدالة P(x)، فإن (x - c) عامل من عوامل P(x). 2. الأصفار المعطاة هي: 2، 1، -2، -3. 3. العامل المقابل للصفر 2 هو (x - 2). 4. العامل المقابل للصفر 1 هو (x - 1). 5. العامل المقابل للصفر -2 هو (x - (-2)) = (x + 2). 6. العامل المقابل للصفر -3 هو (x - (-3)) = (x + 3).

تلميح: تذكر العلاقة بين صفر الدالة (c) وعاملها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي العبارات التالية تصف العلاقة بين مفاهيم: صفر الدالة، جذر المعادلة، عامل كثيرة الحدود، ومقطع المحور x؟

• أ) هي مفاهيم مختلفة تماماً ولا ترتبط ببعضها.
• ب) هي مفاهيم متكافئة عندما يكون c عدداً حقيقياً.
• ج) هي مفاهيم متكافئة فقط في الدوال التربيعية.
• د) هي مفاهيم متكافئة عندما يكون c عدداً تخيلياً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هي مفاهيم متكافئة عندما يكون c عدداً حقيقياً.

الشرح: 1. لاحظ ملخص المفهوم في الصفحة. 2. إذا كانت c صفراً للدالة P(x)، فإن P(c) = 0. 3. c هو أيضاً جذر للمعادلة P(x) = 0. 4. (x - c) هو عامل من عوامل كثيرة الحدود P(x). 5. إذا كان c حقيقياً، فإن النقطة (c, 0) هي مقطع للمحور x في التمثيل البياني. 6. لذلك، هذه المفاهيم الأربعة تصف نفس الفكرة الأساسية ولكن من زوايا مختلفة.

تلميح: انظر إلى ملخص المفهوم في الصفحة عن التكافؤ.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

ما أنواع الجذور التي يمكن أن تمتلكها معادلة كثيرة الحدود؟

• أ) جذور حقيقية فقط.
• ب) جذور تخيلية فقط.
• ج) جذور حقيقية، أو جذور تخيلية (مركبة)، أو مزيج منهما.
• د) جذور نسبية فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: جذور حقيقية، أو جذور تخيلية (مركبة)، أو مزيج منهما.

الشرح: 1. معادلة كثيرة الحدود لها حلول تسمى جذوراً. 2. هذه الجذور يمكن أن تكون أعداداً حقيقية (مثل 2، -1.5). 3. ويمكن أن تكون أعداداً تخيلية (مركبة) (مثل 3i، 2+5i). 4. النظرية الأساسية في الجبر تضمن وجود جذر مركب واحد على الأقل. 5. لذلك، الإجابة الصحيحة تجمع بين الاحتمالين.

تلميح: فكر في مجموعة الأعداد التي تنتمي إليها الحلول.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل