مثال 1 تحديد عدد الجذور وأنواعها - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 1 تحديد عدد الجذور وأنواعها

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الجذور والأصفار (تابع)

المفاهيم الأساسية

الجذر المكرر: جذر يظهر مرتين أو أكثر في تحليل كثيرة الحدود (مثل: -3 في (x+3)^2=0).

نتيجة النظرية الأساسية في الجبر: معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها بالضبط n جذراً مركباً (بما في ذلك الجذور المكررة). مثال: x^3 + 2x^2+6=0 لها 3 جذور.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها (صفحة 159)

تدريب على اختبار

38) تحليل مجموع مكعبين

#### 27x³ + y³

39) ضرب الأعداد المركبة

#### (1 - i)(4 - i)

مراجعة تراكمية

حل معادلات الدرجة الرابعة (الدرس 2-3)

#### 40) x⁴ - 4x² - 21 = 0

#### 41) x⁴ - 6x² = 27

#### 42) 4x⁴ - 8x² - 96 = 0

حل أنظمة المعادلات بيانياً (مهارة سابقة)

#### 43) y = 3x - 1

##### y = -2x + 4

#### 44) 3x + 2y = 8

##### -4x + 6y = 11

عمليات على الدوال (الدرس 3-3)

#### الدالتان: c(x) = x² - 2x , d(x) = 3x² - 6x + 4

#### 45) c(a + 2) – d(a - 4)

#### 46) c(a - 3) + d(a + 1)

#### 47) c(-3a) + d(a + 4)

#### 48) 3d(3a) - 2c(-a)

#### 49) c(a) + 5d(2a)

#### 50) -2d(2a + 3) - 4c(a² + 1)

الجذور والأصفار (صفحة 160)

أهداف الدرس

تحديد عدد جذور معادلة كثيرة حدود وأنواعها

إيجاد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة والأصفار التخيلية للدالة

كتابة دالة كثيرة حدود بأقل درجة ممكنة بمعرفة أصفارها

المفاهيم المتكافئة (للدالة P(x))

C صفر للدالة P(x)

C جذر أو حل للمعادلة P(x) = 0

X - C عامل من عوامل كثيرة الحدود P(x)

(C, 0) نقطة تقاطع التمثيل البياني مع المحور x (إذا كان C حقيقياً)

النظرية الأساسية في الجبر

كل معادلة كثيرة حدود درجتها > 0 لها جذر مركب واحد على الأقل

الجذور والأصفار (صفحة 161)

مثال 1: تحديد عدد الجذور وأنواعها

(a) x^2+6x+9= 0

#### الحل: x = -3

#### جذر حقيقي واحد مكرر مرتين

#### التمثيل البياني: يمس المحور x عند x = -3

(b) x^3+25x = 0

#### الحل: x = 0 أو x = ±5i

#### ثلاثة جذور: جذر حقيقي (0) وجذران تخيليان (5i, -5i)

#### التمثيل البياني: يقطع المحور x عند x = 0

نتيجة النظرية الأساسية في الجبر

معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها بالضبط n جذراً مركباً (بما في ذلك المكررة)

مثال: x^3 + 2x^2+6=0 → 3 جذور

مثال: 4x^4+3x^3+5x-6=0 → 4 جذور

مثال: -2x^5+3x^2+8=0 → 5 جذور

إرشادات للدراسة

الجذور المكررة: يمكن أن تكرر مرتين أو ثلاث أو أربع مرات...

تحقق من فهمك

1A) x^3 + 2x = 0

1B) x^4 - 16 = 0

1C) 3x^3+9x-3 = 0

```

نقاط مهمة

  • عدد حلول معادلة كثيرة الحدود يساوي درجتها.
  • الجذر المكرر يظهر عندما يكون العامل مرفوعاً لأس (مثل (x+3)^2).
  • يمكن أن تكون الجذور حقيقية (مثل 0، -3) أو تخيلية (مثل ±5i).
  • العلاقة بين التمثيل البياني والجذور:

- جذر مكرر: الرسم يمس المحور x.

- جذر حقيقي غير مكرر: الرسم يقطع المحور x.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

مثال 1 تحديد عدد الجذور وأنواعها

نوع: محتوى تعليمي

مثال 1 تحديد عدد الجذور وأنواعها حُلَّ كل معادلة مما يأتي، واذكر عدد جذورها، ونوعها :

نوع: محتوى تعليمي

x2+6x+9= 0 (a x2+6x+9=0 (x + 3)2 = 0 x+3=0 x = -3 المعادلة الأصلية حلل إلى العوامل خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين أوجد قيمة x وبما أن العامل (3) + ( مكرر مرتين في تحليل كثيرة الحدود، فإن 3 جذر مكرر مرتين. أي للمعادلة جذر حقيقي واحد مكرر مرتين هو 3- . تحقق بما أن التمثيل البياني للدالة يمس المحور x عندما 3 - = x. فإن 3- جذر مكرر مرتين.

نوع: محتوى تعليمي

x3+25x = 0 (b x3+25x=0 x (x²+25) = 0 x² + 25 = 0 أو x = 0 x2 = -25 x = ±√-25 = ±5i المعادلة الأصلية حلل إلى العوامل خاصية الضرب الصفري اطرح 25 من كلا الطرفين خاصية الجذر التربيعي، ثم التبسيط للمعادلة ثلاثة جذور: جذر حقيقي واحد هو 0 وجذران تخیلیان هما 5-5 تحقق بما أن التمثيل البياني للدالة يقطع المحور x عندما 0 = x ، فإن للمعادلة جذرًا حقيقيا واحدا هو 0.

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة الجذور المكررة يمكن أن يكون لمعادلات كثيرات الحدود جذر مكرر مرتين أو ثلاث أو أربع مرات وهكذا.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك x3 + 2x = 0 (1A

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x4 - 16 = 0 (1B

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3x3x²+9x-3 = 0 (1C

نوع: محتوى تعليمي

اختبر حَلَّ كل معادلة في المثال ،1، ولاحظ أن عدد حلول كل معادلة يساوي درجة كثيرة الحدود. والنتيجة الآتية للنظرية الأساسية في الجبر تصف العلاقة بين درجة معادلة كثيرة الحدود وعدد جذورها.

مفهوم أساسي

نوع: محتوى تعليمي

مفهوم أساسي نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر التعبير اللفظي : يكون لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n العدد 7 فقط من الجذور المركبة بما في ذلك الجذور المكررة مثال : x3 + 2x2+6=0 3 جذور 4x43x3 + 5x-6=0 4 جذور -2x53x2+8=0 5 جذور وبالمثل دالة كثيرة الحدود من الدرجة n لها فقط العدد n من الأصفار المركبة. وقد اكتشف العالم الفرنسي ديكارت علاقة بين إشارات معاملات دالة كثيرة الحدود وعدد الأصفار الحقيقية ....

🔍 عناصر مرئية

Parabola opening upwards

Curve passing through origin

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال 1 تحديد عدد الجذور وأنواعها --- مثال 1 تحديد عدد الجذور وأنواعها حُلَّ كل معادلة مما يأتي، واذكر عدد جذورها، ونوعها : x2+6x+9= 0 (a x2+6x+9=0 (x + 3)2 = 0 x+3=0 x = -3 المعادلة الأصلية حلل إلى العوامل خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين أوجد قيمة x وبما أن العامل (3) + ( مكرر مرتين في تحليل كثيرة الحدود، فإن 3 جذر مكرر مرتين. أي للمعادلة جذر حقيقي واحد مكرر مرتين هو 3- . تحقق بما أن التمثيل البياني للدالة يمس المحور x عندما 3 - = x. فإن 3- جذر مكرر مرتين. x3+25x = 0 (b x3+25x=0 x (x²+25) = 0 x² + 25 = 0 أو x = 0 x2 = -25 x = ±√-25 = ±5i المعادلة الأصلية حلل إلى العوامل خاصية الضرب الصفري اطرح 25 من كلا الطرفين خاصية الجذر التربيعي، ثم التبسيط للمعادلة ثلاثة جذور: جذر حقيقي واحد هو 0 وجذران تخیلیان هما 5-5 تحقق بما أن التمثيل البياني للدالة يقطع المحور x عندما 0 = x ، فإن للمعادلة جذرًا حقيقيا واحدا هو 0. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة الجذور المكررة يمكن أن يكون لمعادلات كثيرات الحدود جذر مكرر مرتين أو ثلاث أو أربع مرات وهكذا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك x3 + 2x = 0 (1A x4 - 16 = 0 (1B 3x3x²+9x-3 = 0 (1C اختبر حَلَّ كل معادلة في المثال ،1، ولاحظ أن عدد حلول كل معادلة يساوي درجة كثيرة الحدود. والنتيجة الآتية للنظرية الأساسية في الجبر تصف العلاقة بين درجة معادلة كثيرة الحدود وعدد جذورها. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر التعبير اللفظي : يكون لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n العدد 7 فقط من الجذور المركبة بما في ذلك الجذور المكررة مثال : x3 + 2x2+6=0 3 جذور 4x43x3 + 5x-6=0 4 جذور -2x53x2+8=0 5 جذور وبالمثل دالة كثيرة الحدود من الدرجة n لها فقط العدد n من الأصفار المركبة. وقد اكتشف العالم الفرنسي ديكارت علاقة بين إشارات معاملات دالة كثيرة الحدود وعدد الأصفار الحقيقية .... --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Parabola opening upwards X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Curve passing through origin X-axis: x Y-axis: f(x)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 3A: تحقق من فهمك استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. قرب إلى أقرب جزء من عشرة.

الإجابة: $\cos 60^\circ = \frac{x}{14}$ $14 \cos 60^\circ = x$ $7 = x$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا مثلث قائم الزاوية. - الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) طوله 14. - الزاوية المعطاة هي 60 درجة. - المطلوب هو إيجاد طول الضلع المجاور لهذه الزاوية، والذي رمزنا له بـ x.
  2. **الخطوة 2 (اختيار الدالة المثلثية):** نتذكر أن الدوال المثلثية تربط بين زاوية في مثلث قائم وأطوال أضلاعه. - الجيب (sin) = (المقابل) / (الوتر). - جيب التمام (cos) = (المجاور) / (الوتر). - الظل (tan) = (المقابل) / (المجاور). في حالتنا، الضلع المطلوب (x) هو المجاور للزاوية 60 درجة، والوتر معلوم (14). إذن، الدالة المناسبة هي **جيب التمام (cos)**.
  3. **الخطوة 3 (كتابة المعادلة):** نكتب العلاقة باستخدام دالة جيب التمام: $$\cos(60^\circ) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{x}{14}$$
  4. **الخطوة 4 (الحل):** نحل المعادلة لإيجاد قيمة x: 1. نعوض بقيمة جيب تمام 60 درجة. من جدول القيم المثلثية، نعلم أن: $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$$ 2. نعوض في المعادلة: $$0.5 = \frac{x}{14}$$ 3. نضرب طرفي المعادلة في 14 لعزل x: $$x = 14 \times 0.5$$ 4. نقوم بالضرب: $$x = 7$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن، قيمة x هي **7**. بما أن الناتج عدد صحيح، فلا حاجة للتقريب إلى أقرب جزء من عشرة.

سؤال 3B: تحقق من فهمك استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. قرب إلى أقرب جزء من عشرة.

الإجابة: $\sin 45^\circ = \frac{x}{10}$ $10 \sin 45^\circ = x$ $7.1 \approx x$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا مثلث قائم الزاوية. - الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) طوله 10. - الزاوية المعطاة هي 45 درجة. - المطلوب هو إيجاد طول الضلع المقابل لهذه الزاوية، والذي رمزنا له بـ x.
  2. **الخطوة 2 (اختيار الدالة المثلثية):** نتذكر الدوال المثلثية: - الجيب (sin) = (المقابل) / (الوتر). - جيب التمام (cos) = (المجاور) / (الوتر). - الظل (tan) = (المقابل) / (المجاور). في حالتنا، الضلع المطلوب (x) هو المقابل للزاوية 45 درجة، والوتر معلوم (10). إذن، الدالة المناسبة هي **الجيب (sin)**.
  3. **الخطوة 3 (كتابة المعادلة):** نكتب العلاقة باستخدام دالة الجيب: $$\sin(45^\circ) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{x}{10}$$
  4. **الخطوة 4 (الحل):** نحل المعادلة لإيجاد قيمة x: 1. نعوض بقيمة جيب 45 درجة. من جدول القيم المثلثية، نعلم أن: $$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$$ 2. نعوض في المعادلة: $$0.7071 \approx \frac{x}{10}$$ 3. نضرب طرفي المعادلة في 10 لعزل x: $$x \approx 10 \times 0.7071$$ 4. نقوم بالضرب: $$x \approx 7.071$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة والتقريب):** القيمة التقريبية لـ x هي 7.071. المطلوب تقريب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة (أي منزلة عشرية واحدة). ننظر إلى الرقم في المنزلة المئوية (الرقم الثاني بعد الفاصلة)، وهو 7. بما أن 7 أكبر من أو تساوي 5، نقرب الرقم في المنزلة العشرية (1) للأعلى. إذن، قيمة x بعد التقريب هي **7.1**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما المقصود بالجذر المكرر في معادلة كثيرة الحدود؟

  • أ) هو جذر غير حقيقي (تخيلي).
  • ب) هو جذر يظهر مرتين أو أكثر في تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها.
  • ج) هو الجذر الوحيد للمعادلة.
  • د) هو جذر لا يقطع التمثيل البياني للمعادلة محور x.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو جذر يظهر مرتين أو أكثر في تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها.

الشرح: 1. الجذر المكرر هو حل للمعادلة يظهر أكثر من مرة. 2. يحدث عندما يكون العامل الخطي المقابل لهذا الجذر مرفوعاً لأس أكبر من 1 في تحليل كثيرة الحدود. 3. مثال: في المعادلة (x+3)²=0، الجذر x=-3 يظهر مرتين، لذا هو جذر مكرر مرتين.

تلميح: فكر في عدد مرات ظهور العامل نفسه عند التحليل.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما نتيجة النظرية الأساسية في الجبر فيما يتعلق بعدد جذور معادلة كثيرة الحدود؟

  • أ) معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها جذر حقيقي واحد على الأكثر.
  • ب) معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها عدد n من الجذور المركبة (بما في ذلك الجذور المكررة).
  • ج) معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها عدد جذور يساوي مجموع معاملاتها.
  • د) معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها دائمًا n جذراً حقيقياً متميزاً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n لها عدد n من الجذور المركبة (بما في ذلك الجذور المكررة).

الشرح: 1. تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كل معادلة كثيرة حدود غير ثابتة لها جذر مركب واحد على الأقل. 2. نتيجة هذه النظرية: معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n (أعلى أس للمتغير) لها بالضبط n جذراً مركباً. 3. هذه الجذور قد تكون حقيقية أو تخيلية، وقد تكون مكررة.

تلميح: اربط بين درجة المعادلة وعدد الحلول.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لحل معادلة كثيرة الحدود مثل x³ + 25x = 0؟

  • أ) 1. استخدام القانون العام. 2. التعويض في الصيغة. 3. إيجاد الناتج.
  • ب) 1. تحليل المعادلة إلى عوامل. 2. تطبيق خاصية الضرب الصفري. 3. حل كل معادلة ناتجة.
  • ج) 1. نقل الحدود. 2. قسمة الطرفين على معامل x. 3. إيجاد قيمة x.
  • د) 1. إكمال المربع. 2. أخذ الجذر التربيعي. 3. عزل المتغير.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. تحليل المعادلة إلى عوامل. 2. تطبيق خاصية الضرب الصفري. 3. حل كل معادلة ناتجة.

الشرح: 1. الخطوة الأولى: تحليل المعادلة بإخراج العامل المشترك x: x(x² + 25) = 0. 2. الخطوة الثانية: تطبيق خاصية الضرب الصفري: إما x = 0 أو x² + 25 = 0. 3. الخطوة الثالثة: حل المعادلتين البسيطتين: x = 0 (جذر حقيقي)، و x² = -25 → x = ±5i (جذران تخيليان).

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان تحليل المعادلة التربيعية هو (x - 4)² = 0، فما عدد جذورها ونوعها؟

  • أ) لها جذران حقيقيان متميزان هما 4 و -4.
  • ب) لها جذر تخيلي واحد.
  • ج) لها جذر حقيقي واحد مكرر مرتين هو x = 4.
  • د) ليس لها جذور حقيقية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لها جذر حقيقي واحد مكرر مرتين هو x = 4.

الشرح: 1. من المعادلة (x - 4)² = 0، نأخذ الجذر التربيعي: x - 4 = 0. 2. نحل لإيجاد x: x = 4. 3. لأن العامل (x-4) مرفوع للأس 2، فهذا يعني أن الجذر x=4 يظهر مرتين في التحليل. إذن، هو جذر حقيقي مكرر مرتين.

تلميح: ما معنى الأس ² على القوس؟

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل