صفحة 19 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 44: بسط كل عبارة مما يأتي: $rac{x^2+4x-32}{x^2+9x-5} \cdot \frac{3x^2-11x-4}{x^2-x-12}$

الإجابة: 2(x(x+3)(x+8)) 2(x(x+3)(3x+1))

سؤال 45: بسط كل عبارة مما يأتي: $rac{8x^3+10x^2-3x}{3x^2-12x-36} \div \frac{5x^2-17x-6}{x^2-4x-24}$

الإجابة: $\frac{(x+1)(3x+1)(4x-1)}{12(x-4)(x+2)(x-10)^2}$

سؤال 46: بسط كل عبارة مما يأتي: $rac{4x^2-9x-9}{6x^2-x-18} \div \frac{2x^2+5x+3}{3x^2-4x-32} \cdot \frac{8x^2+10x+3}{6x^2-6x-12}$

الإجابة: $\frac{2(x-8)(x-2)(x+1)(x+4)}{ (2x+1)(x^2+2x+6)(x+4)}$

سؤال 47 أ: تمثيلات متعددة: استكشف في هذا السؤال العلاقة بين الكتابة بالصيغة اللفظية والتمثيل البياني للعلاقة. أ) جبريا، بسط العبارة $\frac{x^2-5x+4}{x^2-x-4}$

الإجابة: ليست دالة

سؤال 47 ب: ب) جدوليا، إذا كانت $f(x) = \frac{x^2-5x+4}{x-4}$، فتم استعمال الحاسبة البيانية لعمل جدول لقيم x، فكنا الدالتين. حيث $10 \ge x \ge 0$.

الإجابة: دالة

سؤال 47 ج: ج) تحليليا، أوجد قيمة كل من $f(4)$ و $f(x)$، ثم وضح الفرق بين القيمتين.

الإجابة: دالة

سؤال 47 د: د) لفظيا، ماذا تستنتج بالنسبة للعلاقة الأصلية في الفرع (b) والدالة $f(x)$؟

الإجابة: ليست دالة

سؤال 48: تعبير، قارن بين كل من $x-6/(x+3)$ و $2(x-6)/(x+3)$ عندما $x \ne -3$. اكتب إجابتك.

الإجابة: $\frac{x-2}{x+3}$

سؤال 49: اكتشف الخطأ، قام كل من علي ومحمد بتبسيط العبارة $\frac{x^2-y^2}{x^2-xy}$ . أيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

الإجابة: $\frac{x-y}{x+y}$

سؤال 50: تحد، ما قيمة x التي تجعل الجملة $2 - \frac{6}{x} = \frac{x-6}{x}$ صحيحة؟

الإجابة: $\frac{x-6}{x-2}$

سؤال 51: تعبير، هل الجملة الآتية صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا؟ فسر إجابتك. "العبارة النسبية التي تتضمن متغيرا في المقام تكون معرفة لجميع الأعداد الحقيقية."

الإجابة: $\frac{x-1}{x+4}$

سؤال 52: مسألة مفتوحة، اكتب عبارة نسبية ناتج تبسيطها $\frac{x-1}{x+4}$

الإجابة: $\frac{(x-1)(x+2)}{(x+4)(x-4)}$

سؤال 53: اكتب: إذا علمت أن ناتج تبسيط العبارة $\frac{x^2-3x}{x^2+3x}$ هو $\frac{x-3}{x+3}$، فما قيمة x التي تجعل العبارة غير معرفة لجميع قيم x؟

الإجابة: ينتج ٤

ما تعريف العلاقة المنفصلة؟

• أ) هي العلاقة التي يكون مجالها فترة جزئية من الأعداد الحقيقية وتمثل بخط متصل.
• ب) هي العلاقة التي يكون فيها المجال مجموعة من العناصر المنفردة، وتمثل بيانيًا بنقاط منفصلة.
• ج) هي العلاقة التي لا يمكن تمثيلها بيانيًا.
• د) هي العلاقة التي يكون مداها مجموعة من العناصر المنفردة فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هي العلاقة التي يكون فيها المجال مجموعة من العناصر المنفردة، وتمثل بيانيًا بنقاط منفصلة.

الشرح: 1. العلاقة المنفصلة لها مجال يتكون من عناصر منفردة (قيم معزولة). 2. تمثيلها البياني يتكون من نقاط غير متصلة (مثل النقاط في رسم مبعثر). 3. تختلف عن العلاقة المتصلة التي يكون مجالها فترة من الأعداد الحقيقية وتمثل بخط أو منحنى متصل.

تلميح: فكر في نوع المجال وطريقة التمثيل البياني.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما تعريف العلاقة المتصلة؟

• أ) هي العلاقة التي يكون مجالها مجموعة منفصلة من الأعداد الصحيحة.
• ب) هي العلاقة التي يمكن تمثيلها فقط بجدول قيم.
• ج) هي العلاقة التي يكون مجالها فترة جزئية من الأعداد الحقيقية ويمكن تمثيلها بيانيًا بمستقيم أو بمنحنى متصل.
• د) هي العلاقة التي لا تخضع لاختبار الخط الرأسي.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي العلاقة التي يكون مجالها فترة جزئية من الأعداد الحقيقية ويمكن تمثيلها بيانيًا بمستقيم أو بمنحنى متصل.

الشرح: 1. العلاقة المتصلة لها مجال يكون فترة (جزءًا متصلاً) من الأعداد الحقيقية. 2. يمكن تمثيلها بيانيًا بخط أو منحنى متصل دون رفع القلم. 3. تختلف عن العلاقة المنفصلة التي تمثل بنقاط معزولة.

تلميح: فكر في طبيعة المجال وخصائص التمثيل البياني.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما نص اختبار الخط الرأسي للتحقق مما إذا كانت العلاقة دالة؟

• أ) إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني في نقطة واحدة فقط، فالعلاقة دالة.
• ب) إذا لم يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة بأكثر من نقطة، فالعلاقة دالة.
• ج) إذا قطع خط أفقي التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فالعلاقة دالة.
• د) إذا كان التمثيل البياني خطًا مستقيمًا، فالعلاقة دالة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا لم يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة بأكثر من نقطة، فالعلاقة دالة.

الشرح: 1. اختبار الخط الرأسي هو طريقة بيانية لتحديد إذا ما كانت العلاقة تمثل دالة. 2. الشرط: ارسم خطوطًا رأسية على التمثيل البياني للعلاقة. 3. إذا قطع أي خط رأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة واحدة، فالعلاقة ليست دالة. 4. إذا لم يحدث ذلك (أي كل خط رأسي يقطع التمثيل في نقطة واحدة كحد أقصى)، فالعلاقة دالة.

تلميح: تذكر شرط التقاطع مع الخط الرأسي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

متى نستنتج أن العلاقة ليست دالة باستخدام اختبار الخط الرأسي؟

• أ) إذا لم يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني.
• ب) إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني في نقطة واحدة فقط.
• ج) إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة في أكثر من نقطة.
• د) إذا كان التمثيل البياني مكونًا من نقاط منفصلة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة في أكثر من نقطة.

الشرح: 1. إحدى طرق معرفة أن العلاقة ليست دالة هي اختبار الخط الرأسي. 2. الدالة تربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى. 3. إذا وجد خط رأسي (يمثل قيمة x واحدة) يقطع التمثيل البياني في نقطتين أو أكثر، فهذا يعني أن قيمة x الواحدة مرتبطة بأكثر من قيمة y. 4. هذه الحالة تنتهك تعريف الدالة، لذا نستنتج أن العلاقة ليست دالة.

تلميح: ما هو الشرط الذي ينقض تعريف الدالة؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من العبارات التالية صحيحة فيما يتعلق باختبار الخط الرأسي؟

• أ) يُستعمل فقط مع العلاقات المتصلة.
• ب) يُستعمل فقط مع العلاقات المنفصلة.
• ج) يمكن استعمال اختبار الخط الرأسي مع كل من العلاقات المتصلة والمنفصلة.
• د) لا يُستعمل مع أي نوع من العلاقات البيانية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يمكن استعمال اختبار الخط الرأسي مع كل من العلاقات المتصلة والمنفصلة.

الشرح: 1. اختبار الخط الرأسي هو أداة عامة لتحديد إذا ما كانت العلاقة تمثل دالة. 2. مبدأه يعتمد على فحص التقاطع مع الخطوط الرأسية، بغض النظر عن طبيعة التمثيل البياني. 3. لذلك، يمكن تطبيقه على العلاقات المتصلة (التي تمثل بخطوط أو منحنيات) والعلاقات المنفصلة (التي تمثل بنقاط معزولة). 4. في كلتا الحالتين، إذا قطع خط رأسي التمثيل في أكثر من نقطة، فالعلاقة ليست دالة.

تلميح: هل ينطبق الاختبار على نوع واحد من العلاقات أم على كليهما؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط