صفحة 162 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال س: ٤: بنايات: في الشكل المجاور بنايتان، ارتفاع إحداهما 18m وارتفاع الأخرى 37m. وقياس المسافة الأفقية بينهما، وضع سعد أداة (مقياس زاوية الميل) على قمة البناية الصغرى، فوجد أن قياس الزاوية المحصورة بين الأفق والخط الواصل بين قمة البناية الصغرى وقمة البناية الكبرى هو 25°. فما المسافة الأفقية بين البنايتين؟

الإجابة: س: ٤. فرق الارتفاع = ٣٧ - ١٨ = ١٩ فرق الارتفاع tan25°xtrmo = ١٩ d = ١٩ tan25° d = ٤٠.٧ m

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - ارتفاع البناية الصغرى: 18 m - ارتفاع البناية الكبرى: 37 m - الزاوية المحصورة بين الأفق والخط الواصل بين القمتين: 25° - المطلوب: المسافة الأفقية (d) بين البنايتين.
2. **الخطوة 2 (الفكرة):** نلاحظ أن فرق الارتفاع بين القمتين يشكل الضلع المقابل للزاوية 25° في مثلث قائم الزاوية. المسافة الأفقية المطلوبة هي الضلع المجاور لهذه الزاوية.
3. **الخطوة 3 (الحساب):** أولاً، نحسب فرق الارتفاع: $$\text{فرق الارتفاع} = 37 - 18 = 19 \, \text{m}$$ ثانياً، نستخدم دالة الظل (tan) التي تربط الضلع المقابل بالضلع المجاور: $$\tan(25°) = \frac{\text{فرق الارتفاع}}{\text{المسافة الأفقية}} = \frac{19}{d}$$ ثالثاً، نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد d: $$d = \frac{19}{\tan(25°)}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $$\tan(25°) \approx 0.4663$$ $$d = \frac{19}{0.4663} \approx 40.7$$ إذن المسافة الأفقية بين البنايتين ≈ **40.7 متر**

سؤال س: أ: 27. أوجد قياس الزاوية x في كل مما يأتي، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. أ) sin x = 0.4

الإجابة: إذا كان sin x = ٠.٤، فإن: x = sin⁻¹ ٠.٤ x ≈ ٢٣.٥٨°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن دالة الجيب (sin) تربط الزاوية في المثلث القائم بنسبة الضلع المقابل إلى الوتر. إذا عرفنا قيمة الجيب، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام الدالة العكسية للجيب (sin⁻¹ أو arcsin).
2. **الخطوة 2 (الحل):** المعطى: $$\sin x = 0.4$$ لإيجاد الزاوية x، نستخدم الدالة العكسية: $$x = \sin^{-1}(0.4)$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 23.578°$$ بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة (منزلة عشرية واحدة): إذن قياس الزاوية x ≈ **23.6°**

سؤال س: ب: 27. أوجد قياس الزاوية x في كل مما يأتي، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. ب) cos x = 0.8

الإجابة: إذا كان cos x = ٠.٨، فإن: x = cos⁻¹ ٠.٨ x ≈ ٣٦.٨٧°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن دالة جيب التمام (cos) تربط الزاوية في المثلث القائم بنسبة الضلع المجاور إلى الوتر. إذا عرفنا قيمة جيب التمام، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام الدالة العكسية (cos⁻¹ أو arccos).
2. **الخطوة 2 (الحل):** المعطى: $$\cos x = 0.8$$ لإيجاد الزاوية x، نستخدم الدالة العكسية: $$x = \cos^{-1}(0.8)$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 36.870°$$ بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة (منزلة عشرية واحدة): إذن قياس الزاوية x ≈ **36.9°**

سؤال س: ج: 27. أوجد قياس الزاوية x في كل مما يأتي، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. ج) tan x = 0.9

الإجابة: إذا كان tan x = ٠.٩، فإن: x = tan⁻¹ ٠.٩ x ≈ ٤١.٩٩°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن دالة الظل (tan) تربط الزاوية في المثلث القائم بنسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. إذا عرفنا قيمة الظل، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام الدالة العكسية (tan⁻¹ أو arctan).
2. **الخطوة 2 (الحل):** المعطى: $$\tan x = 0.9$$ لإيجاد الزاوية x، نستخدم الدالة العكسية: $$x = \tan^{-1}(0.9)$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 41.987°$$ بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة (منزلة عشرية واحدة): إذن قياس الزاوية x ≈ **42.0°**

سؤال س: أ: أ) أوجد قياس الزاوية N في المثلث القائم الزاوية NOP، وطول الوتر، استعمل دالة الجيب.

الإجابة: sin N = ٦ ١٠ sin N = ٠.٦ N = sin⁻¹ ٠.٦ N ≈ ٣٦.٩°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن دالة الجيب (sin) تربط الزاوية في المثلث القائم بنسبة الضلع المقابل إلى الوتر. إذا عرفنا قيمة الجيب، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام الدالة العكسية للجيب (sin⁻¹ أو arcsin).
2. **الخطوة 2 (الحل):** المعطى: $$\sin x = 0.4$$ لإيجاد الزاوية x، نستخدم الدالة العكسية: $$x = \sin^{-1}(0.4)$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 23.578°$$ بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة (منزلة عشرية واحدة): إذن قياس الزاوية x ≈ **23.6°**

سؤال س: ب: ب) أوجد قياس الزاوية M في المثلث القائم الزاوية MQR، وطول الوتر، استعمل دالة الظل.

الإجابة: tan M = ٨ ٥ tan M = ١.٦ M = tan⁻¹ ١.٦ M ≈ ٥٧.٩٩°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن دالة جيب التمام (cos) تربط الزاوية في المثلث القائم بنسبة الضلع المجاور إلى الوتر. إذا عرفنا قيمة جيب التمام، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام الدالة العكسية (cos⁻¹ أو arccos).
2. **الخطوة 2 (الحل):** المعطى: $$\cos x = 0.8$$ لإيجاد الزاوية x، نستخدم الدالة العكسية: $$x = \cos^{-1}(0.8)$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 36.870°$$ بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة (منزلة عشرية واحدة): إذن قياس الزاوية x ≈ **36.9°**

ما هو قانون ديكارت للإشارات فيما يتعلق بعدد الأصفار الحقيقية الموجبة لدالة كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية؟

• أ) عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي درجة الدالة.
• ب) عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات حدود الدالة، أو أقل منه بعدد فردي.
• ج) عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات حدود الدالة، أو أقل منه بعدد زوجي.
• د) عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي دائمًا عدد المعاملات الموجبة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات حدود الدالة، أو أقل منه بعدد زوجي.

الشرح: 1. ينص قانون ديكارت على علاقة بين إشارات معاملات كثيرة الحدود وأصفارها الحقيقية. 2. للأصفار الموجبة: عدّ مرات تغير الإشارة بين المعاملات عند كتابة الدالة بالصيغة القياسية. 3. العدد الفعلي للأصفار الموجبة إما يساوي هذا العدد أو يقل عنه بمقدار عدد زوجي (2، 4، ...).

تلميح: فكر في قاعدة تربط تغير إشارة المعاملات بعدد الحلول الموجبة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

وفقًا لقانون ديكارت للإشارات، إذا كانت معاملات دالة كثيرة الحدود تتغير إشارتها 5 مرات، فما هي الاحتمالات الممكنة لعدد أصفارها الحقيقية الموجبة؟

• أ) 5 فقط.
• ب) 5 أو 4 أو 3.
• ج) 5، 3، أو 1.
• د) 6، 4، أو 2.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 5، 3، أو 1.

الشرح: 1. عدد مرات تغير الإشارة هو 5. 2. وفقًا للقانون، العدد الفعلي للأصفار الموجبة يساوي هذا العدد أو يقل عنه بعدد زوجي. 3. طرح عدد زوجي من 5: 5 - 2 = 3، و 5 - 4 = 1. 4. إذن الاحتمالات هي: 5، 3، أو 1.

تلميح: تذكر أن العدد يمكن أن يقل بمقدار عدد زوجي.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

كيف يُطبق قانون ديكارت للإشارات لإيجاد العدد الممكن للأصفار الحقيقية السالبة لدالة كثيرة حدود f(x)؟

• أ) بعد كتابة f(x)، عدد الأصفار السالبة يساوي عدد المعاملات السالبة.
• ب) بعد كتابة f(-x)، عدد الأصفار السالبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات f(-x)، أو أقل منه بعدد زوجي.
• ج) بعد كتابة f(x)، عدد الأصفار السالبة يساوي درجة الدالة ناقص عدد الأصفار الموجبة.
• د) بعد كتابة f(-x)، عدد الأصفار السالبة يساوي دائمًا عدد مرات تغير إشارة معاملات f(x).

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بعد كتابة f(-x)، عدد الأصفار السالبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات f(-x)، أو أقل منه بعدد زوجي.

الشرح: 1. لإيجاد الأصفار السالبة للدالة f(x)، نكوّن الدالة f(-x). 2. نكتب معاملات f(-x) بالصيغة القياسية. 3. نعد عدد مرات تغير إشارة هذه المعاملات. 4. عدد الأصفار السالبة لـ f(x) يساوي هذا العدد، أو يقل عنه بعدد زوجي.

تلميح: فكر في خطوة تحويل تُطبق على الدالة قبل عد تغيرات الإشارة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب