📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
تأكد
نوع: محتوى تعليمي
تأكد
مثال 1
نوع: محتوى تعليمي
حل كل معادلة مما يأتي، واذكر عدد جذورها، ونوعها:
4x² + 1 = 0 (13)
-3x² - 5x + 8 = 0 (15)
16x⁴ - 625 = 0 (17)
x³ - 6x² + 7x = 0 (18)
x⁵ - 8x³ + 16x = 0 (19)
x⁵ + 2x³ + x = 0 (20)
مثال 2
نوع: محتوى تعليمي
اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل دالة مما يأتي:
f(x) = x⁴ - 5x³ + 2x² + 5x + 7 (21)
f(x) = 2x³ - 7x² - 2x + 12 (22)
f(x) = -3x⁵ + 5x⁴ + 4x² - 8 (23)
f(x) = x⁴ - 2x² - 5x + 19 (24)
f(x) = 4x⁶ - 5x⁴ - x² + 24 (25)
f(x) = -x⁵ + 14x³ + 18x - 36 (26)
مثال 3
نوع: محتوى تعليمي
اكتب دالة كثيرة حدود من درجتها أقل ما يمكن، ومعاملات حدودها أعداد صحيحة، إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:
3, -1, 1, 2 (10)
4, -1, 6 (9)
-4, 4 + i (12)
-2, 5, -3i (11)
تدرب وحل المسائل
نوع: محتوى تعليمي
تدرب وحل المسائل
مثال 1
نوع: محتوى تعليمي
حل كل معادلة مما يأتي، واذكر عدد جذورها، ونوعها:
x³ + 12x² + 32x = 0 (2)
0 = x³ - 8 (4)
x² - 3x - 10 = 0 (1)
16x⁴ - 81 = 0 (3)
مثال 2
نوع: محتوى تعليمي
اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل دالة مما يأتي:
f(x) = x³ - 2x² + 2x - 6 (5)
f(x) = 6x⁴ + 4x³ - x² - 5x - 7 (6)
f(x) = 3x⁵ - 8x³ + 2x - 4 (7)
f(x) = -2x⁴ - 3x³ - 2x - 5 (8)
مثال 3
نوع: محتوى تعليمي
اكتب دالة كثيرة حدود من درجتها أقل ما يمكن، ومعاملات حدودها أعداد صحيحة، إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:
3, -1, 1, 2 (10)
-4, 4 + i (12)
4, -1, 6 (9)
-2, 5, -3i (11)
وزارة التعليم
نوع: METADATA
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها
نوع: METADATA
الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 164
📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: تأكد ---
تأكد
--- SECTION: مثال 1 ---
حل كل معادلة مما يأتي، واذكر عدد جذورها، ونوعها:
4x² + 1 = 0 (13)
-3x² - 5x + 8 = 0 (15)
16x⁴ - 625 = 0 (17)
x³ - 6x² + 7x = 0 (18)
x⁵ - 8x³ + 16x = 0 (19)
x⁵ + 2x³ + x = 0 (20)
--- SECTION: مثال 2 ---
اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل دالة مما يأتي:
f(x) = x⁴ - 5x³ + 2x² + 5x + 7 (21)
f(x) = 2x³ - 7x² - 2x + 12 (22)
f(x) = -3x⁵ + 5x⁴ + 4x² - 8 (23)
f(x) = x⁴ - 2x² - 5x + 19 (24)
f(x) = 4x⁶ - 5x⁴ - x² + 24 (25)
f(x) = -x⁵ + 14x³ + 18x - 36 (26)
--- SECTION: مثال 3 ---
اكتب دالة كثيرة حدود من درجتها أقل ما يمكن، ومعاملات حدودها أعداد صحيحة، إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:
3, -1, 1, 2 (10)
4, -1, 6 (9)
-4, 4 + i (12)
-2, 5, -3i (11)
--- SECTION: تدرب وحل المسائل ---
تدرب وحل المسائل
--- SECTION: مثال 1 ---
حل كل معادلة مما يأتي، واذكر عدد جذورها، ونوعها:
x³ + 12x² + 32x = 0 (2)
0 = x³ - 8 (4)
x² - 3x - 10 = 0 (1)
16x⁴ - 81 = 0 (3)
--- SECTION: مثال 2 ---
اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل دالة مما يأتي:
f(x) = x³ - 2x² + 2x - 6 (5)
f(x) = 6x⁴ + 4x³ - x² - 5x - 7 (6)
f(x) = 3x⁵ - 8x³ + 2x - 4 (7)
f(x) = -2x⁴ - 3x³ - 2x - 5 (8)
--- SECTION: مثال 3 ---
اكتب دالة كثيرة حدود من درجتها أقل ما يمكن، ومعاملات حدودها أعداد صحيحة، إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:
3, -1, 1, 2 (10)
-4, 4 + i (12)
4, -1, 6 (9)
-2, 5, -3i (11)
--- SECTION: وزارة التعليم ---
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
--- SECTION: الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها ---
الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 164
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة
ما قاعدة ديكارت للإشارات المستخدمة لتحديد العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة في دالة كثيرة الحدود؟
- أ) عدد التغيرات في إشارات معاملات حدود الدالة f(-x).
- ب) عدد التغيرات في إشارات معاملات حدود الدالة f(x) مرتبة تنازلياً، أو أقل منه بعدد زوجي.
- ج) درجة الدالة ناقص عدد الأصفار التخيلية.
- د) أكبر أس في كثيرة الحدود.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: عدد التغيرات في إشارات معاملات حدود الدالة f(x) مرتبة تنازلياً، أو أقل منه بعدد زوجي.
الشرح: 1. اكتب دالة كثيرة الحدود بالصيغة القياسية (ترتيب الأسس تنازلياً). 2. احسب عدد المرات التي تتغير فيها إشارة المعاملات من حد إلى الحد التالي. 3. العدد الممكن للأصفار الموجبة يساوي عدد التغيرات أو أقل منه بعدد زوجي (مثل: العدد، العدد-2، العدد-4، ... حتى 0 أو 1).
تلميح: فكر في عدد المرات التي يتغير فيها إشارة المعاملات عند كتابة الدالة بالصيغة القياسية.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
كيف يمكن إيجاد العدد الممكن للأصفار الحقيقية السالبة لدالة كثيرة حدود باستخدام قاعدة ديكارت؟
- أ) بتطبيق القاعدة مباشرة على معاملات f(x).
- ب) بحساب نهاية الدالة عندما تؤول x إلى سالب ما لا نهاية.
- ج) بتطبيق القاعدة على الدالة f(-x) (أي استبدال x بـ -x في الدالة الأصلية).
- د) بجمع عدد الأصفار الموجبة والدرجة الكلية.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: بتطبيق القاعدة على الدالة f(-x) (أي استبدال x بـ -x في الدالة الأصلية).
الشرح: 1. ابدأ بالدالة الأصلية f(x). 2. استبدل كل x بـ -x لتحصل على f(-x). 3. طبق قاعدة ديكارت للإشارات على معاملات f(-x) المرتبة تنازلياً. 4. عدد التغيرات في إشارات f(-x) (أو أقل منه بعدد زوجي) يمثل العدد الممكن للأصفار الحقيقية السالبة لـ f(x).
تلميح: تتعلق الأصفار السالبة بالدالة بعد تعويض المتغير بقيمته السالبة.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما الخطوات الأساسية لكتابة دالة كثيرة حدود بأقل درجة ممكنة ومعاملات صحيحة، إذا علمت أصفارها (بما في ذلك الأصفار التخيلية ومرافقاتها)؟
- أ) 1. جمع الأصفار. 2. كتابة الدالة على الصورة x - (مجموع الأصفار).
- ب) 1. كتابة كل صفر على الصورة (x + الصفر). 2. جمع هذه العوامل.
- ج) 1. التأكد من وجود جميع الأصفار التخيلية المرافقة. 2. كتابة كل صفر على الصورة (x - الصفر). 3. ضرب هذه العوامل معاً. 4. تبسيط الناتج.
- د) 1. إيجاد مميز المعادلة. 2. استخدام الصيغة التربيعية.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: 1. التأكد من وجود جميع الأصفار التخيلية المرافقة. 2. كتابة كل صفر على الصورة (x - الصفر). 3. ضرب هذه العوامل معاً. 4. تبسيط الناتج.
الشرح: 1. لكل صفر حقيقي 'r'، يكون العامل المقابل هو (x - r). 2. لكل صفر تخيلي 'a + bi' (ومرافقه a - bi)، يكون العاملان المقابلان هما (x - (a+bi)) و (x - (a-bi))، وضربهما يعطي عاملاً تربيعياً ذا معاملات حقيقية: (x² - 2ax + (a²+b²)). 3. اضرب جميع العوامل معاً. 4. قم بتوسيع الضرب وتبسيط الناتج للحصول على كثيرة الحدود بالصيغة القياسية.
تلميح: ابدأ بتحويل كل صفر إلى عامل خطي، ثم اضرب العوامل.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب
أي مما يلي يمثل دالة كثيرة الحدود (بمعاملات حقيقية) بأقل درجة ممكنة، إذا علم أن أصفارها هي 3 و -1؟
- أ) f(x) = (x + 3)(x - 1) = x² + 2x - 3
- ب) f(x) = (x - 3)(x + 1) = x² - 2x - 3
- ج) f(x) = (x - 3)(x - 1) = x² - 4x + 3
- د) f(x) = (x + 3)(x + 1) = x² + 4x + 3
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: f(x) = (x - 3)(x + 1) = x² - 2x - 3
الشرح: 1. الصفر 3 يعطي العامل (x - 3). 2. الصفر -1 يعطي العامل (x - (-1)) = (x + 1). 3. دالة كثيرة الحدود بأقل درجة هي حاصل ضرب هذه العوامل: f(x) = (x - 3)(x + 1). 4. بتوسيع الضرب: (x)(x) + (x)(1) + (-3)(x) + (-3)(1) = x² + x - 3x - 3 = x² - 2x - 3.
تلميح: استخدم العلاقة بين أصفار الدالة وعواملها الخطية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
إذا كان العدد المركب a + bi هو أحد أصفار دالة كثيرة حدود معاملاتها أعداد صحيحة، فما الصفر الآخر الذي يجب أن يكون للدالة بناءً على نظرية الأصفار المركبة المترافقة؟
- أ) المعكوس الجمعي للعدد وهو -a - bi
- ب) مرافق العدد المركب وهو a - bi
- ج) مقلوب العدد المركب وهو 1 / (a + bi)
- د) الجزء الحقيقي فقط من العدد وهو a
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: مرافق العدد المركب وهو a - bi
الشرح: 1. تنص نظرية الأصفار المركبة المترافقة على أنه إذا كان a + bi صفراً للدالة، فإن مرافقه a - bi يجب أن يكون صفراً أيضاً.
2. يُستخدم هذا المبدأ عند كتابة دالة كثيرة الحدود من درجتها أقل ما يمكن (كما في المثال 3 بالصفحة).
3. المرافق يعني تغيير إشارة الجزء التخيلي فقط، فمثلاً إذا كان 4 + i صفراً، فإن 4 - i صفر حتمي أيضاً.
تلميح: تذكر أن الأصفار التخيلية في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية تظهر دائماً في أزواج مرتبطة ببعضها.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط