📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: 3 ---
اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن، ومعاملات حدودها أعداد صحيحة، إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها :
--- SECTION: 27 ---
5,-2,-1
--- SECTION: 28 ---
-4,-3,5
--- SECTION: 29 ---
-1,-1, 2i
--- SECTION: 30 ---
-3, 1, -3i
--- SECTION: 31 ---
0,-5,3+i
--- SECTION: 32 ---
-2,-3,4-3i
اكتب بجانب التمثيل البياني للدالة الرمز الذي يمثل أصفارها في كل مما يأتي:
--- SECTION: 33 ---
-4, 3, i, -i (c
--- SECTION: 34 ---
-4,3 (b
--- SECTION: 35 ---
-3, 4, i, -i (a
حدد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل من الدالتين الممثلتين بيانيا فيما يأتي، ووضح إجابتك:
--- SECTION: 36 ---
الدرجة : 3
--- SECTION: 37 ---
الدرجة : 5
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: cubic function
X-axis: x
Y-axis: y
(Note: Some details are estimated)
**GRAPH**: Untitled
Description: parabola
X-axis: x
Y-axis: y
(Note: Some details are estimated)
**GRAPH**: Untitled
Description: W-shaped curve
X-axis: x
Y-axis: y
(Note: Some details are estimated)
**GRAPH**: Untitled
Description: continuous curve
X-axis: x
Y-axis: y
(Note: Some details are estimated)
**GRAPH**: Untitled
Description: continuous curve
X-axis: x
Y-axis: y
(Note: Some details are estimated)
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
إذا كانت أصفار دالة كثيرة الحدود هي 5، -2، -1، فما هي دالة كثيرة الحدود ذات الدرجة الأدنى والمعاملات الصحيحة التي تمثلها؟
- أ) f(x) = (x + 5)(x - 2)(x - 1)
- ب) f(x) = (x - 5)(x - 2)(x - 1)
- ج) f(x) = (x - 5)(x + 2)(x + 1)
- د) f(x) = (x + 5)(x + 2)(x + 1)
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: f(x) = (x - 5)(x + 2)(x + 1)
الشرح: 1. لكل صفر حقيقي r، نكتب العامل (x - r).
2. الأصفار هي 5، -2، -1.
3. العوامل هي: (x - 5)، (x - (-2)) = (x + 2)، (x - (-1)) = (x + 1).
4. دالة كثيرة الحدود هي حاصل ضرب هذه العوامل: f(x) = (x - 5)(x + 2)(x + 1).
تلميح: تذكر أن الصفر 'r' للدالة يقابل العامل (x - r).
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل
ما هي الخطوات الأساسية لكتابة دالة كثيرة حدود بمعاملات صحيحة عند معرفة أصفارها (بما في ذلك الأصفار التخيلية)؟
- أ) 1. جمع الأصفار. 2. كتابة معادلة مجموعها صفر. 3. تحويلها إلى صيغة قياسية.
- ب) 1. رسم التمثيل البياني. 2. إيجاد نقاط التقاطع. 3. كتابة المعادلة من الرسم.
- ج) 1. كتابة عامل (x - r) لكل صفر حقيقي. 2. إضافة الصفر التخيلي المرافق إذا لزم الأمر. 3. ضرب جميع العوامل معاً.
- د) 1. تحويل الأصفار إلى كسور. 2. إيجاد المضاعف المشترك الأصغر. 3. كتابة الدالة باستخدامه.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: 1. كتابة عامل (x - r) لكل صفر حقيقي. 2. إضافة الصفر التخيلي المرافق إذا لزم الأمر. 3. ضرب جميع العوامل معاً.
الشرح: 1. لكل صفر حقيقي 'r'، اكتب العامل (x - r).
2. لكل صفر تخيلي (مثل a+bi)، يجب إضافة صفر مرافق له (a-bi) لضمان معاملات حقيقية.
3. اكتب العاملين المقابلين للزوج المترافق: (x - (a+bi)) و (x - (a-bi)).
4. اضرب جميع العوامل (الحقيقية والتخيلية) معاً للحصول على دالة كثيرة الحدود.
تلميح: فكر في كيفية تحويل كل صفر إلى عامل، وكيفية التعامل مع الأزواج المترافقة.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
إذا كانت أصفار دالة كثيرة الحدود هي -3 و 1 و -3i، فما هي مجموعة جميع أصفار الدالة ذات المعاملات الصحيحة والدرجة الأدنى؟
- أ) {-3, 1, -3i}
- ب) {-3, 1, 3i}
- ج) {-3, 1, -3i, 3i}
- د) {-3, 1, -3i, -i}
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: {-3, 1, -3i, 3i}
الشرح: 1. الأصفار المعطاة: -3 (حقيقي)، 1 (حقيقي)، -3i (تخيلي).
2. بما أن معاملات الدالة يجب أن تكون أعداداً صحيحة (وبالتالي حقيقية)، فإن الأصفار التخيلية يجب أن تأتي على شكل أزواج مترافقة.
3. الصفر التخيلي المعطى هو -3i (يمكن كتابته كـ 0 - 3i).
4. الصفر المرافق له هو 0 + 3i = 3i.
5. لذلك، مجموعة الأصفار الكاملة للدالة هي: -3، 1، -3i، و 3i.
تلميح: تذكر قاعدة الأزواج المترافقة للأصفار التخيلية.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
وفقًا لنظرية الأصفار المركبة المترافقة، إذا كانت دالة كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية، وكان العدد `(a + bi)` أحد أصفارها، فأي مما يلي يجب أن يكون صفراً آخر لها بالضرورة؟
- أ) `-a - bi`
- ب) `a - bi` (المرافق المركب)
- ج) `-a + bi`
- د) `b + ai`
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: `a - bi` (المرافق المركب)
الشرح: تنص نظرية الأصفار المركبة المترافقة على أنه إذا كانت دالة كثيرة حدود معاملاتها أعدادًا حقيقية، فإن أصفارها المركبة (غير الحقيقية) تأتي دائمًا في أزواج مترافقة. فإذا كان `z = a + bi` صفرًا، فإن مرافقه `z̄ = a - bi` يجب أن يكون صفرًا أيضًا.
تلميح: النظرية تربط بين الصفر المركب ومرافقه. المرافق له نفس الجزء الحقيقي وجزء تخيلي معاكس في الإشارة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط