مسائل مهارات التفكير العليا

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 مسائل مهارات التفكير العليا ومراجعة

المفاهيم الأساسية

* قانون ديكارت للإشارات: أداة لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة الممكنة لدالة كثيرة الحدود (مذكور في السؤال ٤٢).

* التعويض التركيبي: طريقة لإيجاد قيمة الدالة عند عدد معين (مذكور في الأسئلة ٤٤-٤٦).

* كثيرة الحدود الأولية: كثيرة حدود لا يمكن تحليلها (مذكور في الأسئلة ٤٧-٤٩).

خريطة المفاهيم

```markmap

تمارين تطبيقية على كثيرات الحدود

1. حل المعادلات ووصف جذورها

مثال: حل المعادلة وذكر عدد الجذور ونوعها

#### معادلات تربيعية

#### معادلات تكعيبية

#### معادلات من درجات أعلى

2. تحديد الأصفار الحقيقية والتخيلية

قاعدة ديكارت للإشارات

#### عدد الأصفار الحقيقية الموجبة الممكنة

#### عدد الأصفار الحقيقية السالبة الممكنة

#### عدد الأصفار التخيلية الممكنة

3. كتابة دالة كثيرة الحدود من أصفارها

أصفار حقيقية

أصفار مركبة مترافقة

أقل درجة ممكنة

معاملات أعداد صحيحة

4. مطابقة الأصفار مع التمثيل البياني

تحديد الأصفار من الرسم البياني

مطابقة قائمة الأصفار مع الرسم المناسب

5. تحليل التمثيل البياني

تحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة

تحديد عدد الأصفار الحقيقية السالبة

تحديد عدد الأصفار التخيلية

6. مسائل مهارات تفكير عليا

تمثيل دوال بيانياً بناءً على مواصفات أصفارها

#### أصفار حقيقية وتخيلية

كتابة معادلة من عواملها بمواصفات محددة للأصفار

#### أصفار تخيلية وغير صحيحة وغير نسبية

تمييز المعادلات المختلفة وشرح السبب

كتابة أمثلة مضادة لعبارات خاطئة

تطبيق قانون ديكارت للإشارات

#### مثال: f(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 + 5x - 12

استخدام التمثيل البياني لتحديد العوامل

#### مثال: f(x) = x^5 + x^4 – 3x^3 - 3x^2 - 4x - 4

7. مراجعة تراكمية

إيجاد قيمة الدالة باستخدام التعويض التركيبي

تحليل كثيرات الحدود تحليلاً تاماً

#### استخدام قواعد التحليل (فرق بين مربعين، أخذ عامل مشترك)

#### التعرف على كثيرات الحدود الأولية

```

نقاط مهمة

تتضمن مسائل التفكير العليا إنشاء تمثيلات بيانية، وكتابة معادلات، وتمييز الأنماط، وتقديم أمثلة مضادة.
يمكن استخدام الرسم البياني للدالة (مثل f(x) = x^5 + x^4 – 3x^3 - 3x^2 - 4x - 4) لتحديد عواملها.
تتطلب المراجعة التراكمية إتقان مهارات سابقة مثل التعويض التركيبي وتحليل كثيرات الحدود.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

في كل مما يأتي، مثل بيانيا دالة كثيرة حدود بحيث يكون لها :

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب معادلة على صورة حاصل ضرب عوامل دالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة، لها صفران تخيليان، وصفر غير صحيح، وصفران غير نسبيين، ووضح إجابتك.

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد أي المعادلات الآتية تختلف عن الأخريات، ووضح إجابتك:

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب مثالاً مضادا لكل عبارة فيما يأتي:

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

وضح لزميلك كيف تستعمل قانون ديكارت للإشارات لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة الممكنة لدالة كثيرة الحدود: f(x) = x4 - 2x3 + 6x2 + 5x - 12

تدريب على اختبار

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

استعمل التمثيل البياني للدالة: f(x) = x5 + x4 – 3x3 - 3x2 - 4x - 4 وحدّد أيا مما يأتي لا يعد عاملاً لكثيرة الحدود ؟x5 + x4 – 3x3 - 3x2 - 4x - 4

مراجعة تراكمية

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد (4), (8) لكل دالة مما يأتي مستعملا التعويض التركيبي : (الدرس (7-3)

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد (4), (8) لكل دالة مما يأتي مستعملا التعويض التركيبي : (الدرس (7-3)

46

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد (4), (8) لكل دالة مما يأتي مستعملا التعويض التركيبي : (الدرس (7-3)

47

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلا تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب كثيرة حدود أولية: (الدرس 6-3)

48

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلا تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب كثيرة حدود أولية: (الدرس 6-3)

49

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلا تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب كثيرة حدود أولية: (الدرس 6-3)

🔍 عناصر مرئية

Overall visual characteristics: continuous curve with local min and max

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا

--- SECTION: 38 ---
في كل مما يأتي، مثل بيانيا دالة كثيرة حدود بحيث يكون لها :
a. 3 أصفار حقيقية وصفران تخيليان
b. 4 أصفار حقيقية
c. صفران تخيليان

--- SECTION: 39 ---
اكتب معادلة على صورة حاصل ضرب عوامل دالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة، لها صفران تخيليان، وصفر غير صحيح، وصفران غير نسبيين، ووضح إجابتك.

--- SECTION: 40 ---
حدد أي المعادلات الآتية تختلف عن الأخريات، ووضح إجابتك:
r4 + 1 = 0
r3 + 1 = 0
r2 - 1 = 0
r3-8=0

--- SECTION: 41 ---
اكتب مثالاً مضادا لكل عبارة فيما يأتي:
a. جميع دوال كثيرات الحدود التي تزيد درجتها على 2 لها على الأقل صفر حقيقي سالب.
b. جميع دوال كثيرات الحدود التي تزيد درجتها على 2 لها على الأقل صفر حقيقي موجب.

--- SECTION: 42 ---
وضح لزميلك كيف تستعمل قانون ديكارت للإشارات لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة الممكنة لدالة كثيرة الحدود: f(x) = x4 - 2x3 + 6x2 + 5x - 12

--- SECTION: تدريب على اختبار ---
تدريب على اختبار

--- SECTION: 43 ---
استعمل التمثيل البياني للدالة: f(x) = x5 + x4 – 3x3 - 3x2 - 4x - 4 وحدّد أيا مما يأتي لا يعد عاملاً لكثيرة الحدود ؟x5 + x4 – 3x3 - 3x2 - 4x - 4
A. x-2
B. x-1
C. x+2
D. x+1

--- SECTION: مراجعة تراكمية ---
مراجعة تراكمية

--- SECTION: 44 ---
أوجد (4), (8) لكل دالة مما يأتي مستعملا التعويض التركيبي : (الدرس (7-3)
f(x) = 4x3 + 6x2 – 3x + 2

--- SECTION: 45 ---
أوجد (4), (8) لكل دالة مما يأتي مستعملا التعويض التركيبي : (الدرس (7-3)
f(x) = 5x4 - 2x3 + 4x2 - 6x

--- SECTION: 46 ---
أوجد (4), (8) لكل دالة مما يأتي مستعملا التعويض التركيبي : (الدرس (7-3)
f(x) = 2x5 - 3x3 + x2 - 4

--- SECTION: 47 ---
حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلا تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب كثيرة حدود أولية: (الدرس 6-3)
x6 - y6

--- SECTION: 48 ---
حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلا تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب كثيرة حدود أولية: (الدرس 6-3)
4x²y + 8xy + 16y - 3x2z - 6xz - 12z

--- SECTION: 49 ---
حلل كل كثيرة حدود مما يأتي تحليلا تاما، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب كثيرة حدود أولية: (الدرس 6-3)
5a3 - 30a2 + 40a + 2a²b - 12ab + 16b

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: Overall visual characteristics: continuous curve with local min and max
X-axis: x
Y-axis: y
(Note: Some details are estimated)

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما عدد الأصفار الحقيقية والتخيلية الممكنة لدالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة؟

أ) يجب أن يكون لها 5 أصفار حقيقية فقط.
ب) مجموع عدد الأصفار الحقيقية والتخيلية يساوي 5، ويمكن أن يكون هناك 0 أو 2 أو 4 أصفار تخيلية.
ج) يجب أن يكون لها على الأقل 3 أصفار تخيلية.
د) عدد الأصفار التخيلية يمكن أن يكون فردياً (1 أو 3 أو 5).

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموع عدد الأصفار الحقيقية والتخيلية يساوي 5، ويمكن أن يكون هناك 0 أو 2 أو 4 أصفار تخيلية.

الشرح: 1. درجة كثيرة الحدود تحدد العدد الإجمالي للأصفار (حقيقية + تخيلية). 2. الأصفار التخيلية (المركبة) تظهر دائماً في أزواج مترافقة (مثل a+bi و a-bi). 3. لذلك، لدالة من الدرجة 5، يمكن أن يكون عدد الأصفار التخيلية 0 أو 2 أو 4. 4. العدد المتبقي سيكون أصفاراً حقيقية.

تلميح: تذكر أن الأصفار التخيلية تأتي في أزواج مترافقة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لتطبيق قانون ديكارت للإشارات على كثيرة حدود؟

أ) 1. أوجد نهايات الدالة. 2. أوجد المشتقة. 3. عدد الأصفار هو عدد جذور المشتقة.
ب) 1. عد تغيرات الإشارة بين حدود f(x). 2. عد تغيرات الإشارة بين حدود f(-x). 3. عدد الأصفار الموجبة ≤ عدد التغيرات في f(x). 4. عدد الأصفار السالبة ≤ عدد التغيرات في f(-x).
ج) 1. حل المعادلة f(x)=0. 2. استخدم الصيغة التربيعية. 3. عدد الأصفار هو عدد الحلول الحقيقية.
د) 1. ارسم التمثيل البياني. 2. عد نقاط التقاطع مع المحور x. 3. هذا هو عدد الأصفار.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. عد تغيرات الإشارة بين حدود f(x). 2. عد تغيرات الإشارة بين حدود f(-x). 3. عدد الأصفار الموجبة ≤ عدد التغيرات في f(x). 4. عدد الأصفار السالبة ≤ عدد التغيرات في f(-x).

الشرح: 1. اكتب كثيرة الحدود f(x) بالصيغة القياسية. 2. عد عدد مرات تغير إشارة المعاملات المتتالية (من + إلى - أو من - إلى +) في f(x). هذا يعطي الحد الأقصى لعدد الأصفار الحقيقية الموجبة. 3. عوّض x بـ -x لتحصل على f(-x). 4. عد تغيرات الإشارة في معاملات f(-x). هذا يعطي الحد الأقصى لعدد الأصفار الحقيقية السالبة. 5. القانون يعطي الحد الأقصى الممكن، وليس العدد الدقيق.

تلميح: يتعلق القانون بعدد مرات تغير إشارة معاملات الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

كيف يمكن التحقق مما إذا كان (x - c) عاملاً لكثيرة حدود f(x) باستخدام التعويض التركيبي؟

أ) إذا كانت قيمة f(c) موجبة، فإن (x - c) عامل.
ب) إذا كان باقي قسمة f(x) على (x - c) باستخدام التعويض التركيبي يساوي صفراً، فإن (x - c) عامل لـ f(x).
ج) إذا كان ميل المماس عند x=c يساوي صفراً، فإن (x - c) عامل.
د) إذا كان الحد الثابت في f(x) يقبل القسمة على c، فإن (x - c) عامل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا كان باقي قسمة f(x) على (x - c) باستخدام التعويض التركيبي يساوي صفراً، فإن (x - c) عامل لـ f(x).

الشرح: 1. اكتب قيمة c (من العامل x - c). 2. اكتب معاملات f(x) بالترتيب التنازلي للأسس. 3. نفذ خطوات التعويض التركيبي. 4. الرقم الأخير في السطر السفلي هو باقي القسمة. 5. إذا كان الباقي = 0، فإن f(c) = 0، وبالتالي (x - c) عامل لـ f(x). 6. إذا كان الباقي ≠ 0، فإن (x - c) ليس عاملاً.

تلميح: يرتبط هذا بمبرهنة الباقي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الفرق بين 'صفر غير صحيح' و 'صفر غير نسبي' في سياق أصفار دوال كثيرات الحدود؟

أ) كلاهما يشير إلى أصفار تخيلية.
ب) الصفر غير الصحيح هو عدد تخيلي، والصفر غير النسبي هو عدد حقيقي.
ج) الصفر غير الصحيح هو عدد نسبي ليس صحيحاً (كسر)، أما الصفر غير النسبي فهو عدد حقيقي لا يمكن كتابته على صورة كسر (مثل √2 أو π).
د) الصفر غير الصحيح هو صفر مضاعف، والصفر غير النسبي هو صفر بسيط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الصفر غير الصحيح هو عدد نسبي ليس صحيحاً (كسر)، أما الصفر غير النسبي فهو عدد حقيقي لا يمكن كتابته على صورة كسر (مثل √2 أو π).

الشرح: 1. أصفار كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية يمكن أن تكون: أ. أعداداً صحيحة. ب. أعداداً نسبية غير صحيحة (كسور). ج. أعداداً غير نسبية (جذور). د. أعداداً تخيلية (مركبة). 2. 'غير صحيح' يعني أنه عدد نسبي لكنه ليس صحيحاً، مثل 1/2 أو -3/4. 3. 'غير نسبي' يعني أنه عدد حقيقي لا يمكن التعبير عنه بكسر، مثل √5 أو 1+√3.

تلميح: فكر في تصنيفات الأعداد الحقيقية.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: سهل