مراجعة الدروس - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 مراجعة الفصل 3: كثيرات الحدود والأعداد المركبة

المفاهيم الأساسية

المميز: قيمة تحدد عدد ونوع جذور المعادلة التربيعية (موجود في قسم 3-2).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود والأعداد المركبة

1. الأعداد المركبة

الوحدة التخيلية (i)

العدد المركب (a+bi)

المركبات المترافقة

#### العمليات

##### الجمع والطرح

##### الضرب

##### تبسيط الجذور التربيعية للأعداد السالبة

2. حل المعادلات التربيعية

القانون العام

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

المميز

#### عدد الجذور وأنواعها

3. العمليات على كثيرات الحدود

الجمع والطرح (جمع الحدود المتشابهة)

الضرب (خاصية التوزيع)

القسمة (القسمة الطويلة أو التركيبية)

#### تبسيط خارج قسمة وحيدة حد

#### ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود

#### ضرب كثيرتي حدود

4. دوال كثيرات الحدود

تعريف (دالة متصلة)

كثيرة حدود بمتغير واحد

المعامل الرئيس

5. حل معادلات كثيرات الحدود

طرق التحليل

#### العامل المشترك الأكبر

#### تجميع الحدود

#### طرائق تحليل الدالة التربيعية

6. نظريتا الباقي والعوامل

نظرية الباقي

نظرية العوامل

التعويض التركيبي

7. الجذور والأصفار

نظرية الأصفار المركبة المترافقة

النظرية الأساسية في الجبر

```

نقاط مهمة

* لحل معادلة تربيعية مثل 3x^2 + 12 = 0، اعزل x^2 ثم استخدم خاصية الجذر التربيعي، مع تذكر أن \sqrt{-4} = 2i.

* لحل معادلة تربيعية باستخدام القانون العام:

1. حدد a، b، c.

2. عوّض في القانون العام.

3. بسط الناتج.

* لتبسيط تعبيرات كثيرات الحدود:

* الجمع/الطرح: اجمع الحدود المتشابهة.

* الضرب: استخدم خاصية التوزيع أو قواعد ضرب القوى.

* تطبيقات: يمكن استخدام المعادلات التربيعية لحل مسائل واقعية مثل إيجاد المعاوقة الكلية في دائرة كهربائية أو حساب الزمن اللازم لوصول كرة إلى الأرض.

مراجعة الدروس

3-1 الأعداد المركبة (الصفحات: 116-110 )

بسط كلا مما يأتي:

(13) كهرباء تبلغ المعاوقة في أحد أجزاء دائرة كهربائية 2 + 3 أوم، وفي الجزء الآخر منها 31 – 4 أوم. اجمع هذين العددين لتجد المعاوقة الكلية في الدائرة الكهربائية.

حل كلا من المعادلات الآتية:

مثال 1 حل المعادلة: 0 = 12 + 3x2 المعادلة الأصلية 3x² + 12 = 0 اطرح 12 من كلا الطرفين 3x2 = -12 اقسم كلا الطرفين على 3 x² = -4 خاصية الجذر التربيعي x = ±√-4 √-4=√4-1 x = ± 2i

3-2 القانون العام والمميز (الصفحات: 124-117 )

أجب عن الفروع a-c لكل معادلة تربيعية فيما يأتي: a) أوجد قيمة المميز. b) أوجد عدد الجذور المختلفة، وحدد أنواعها. c) حل المعادلة باستعمال القانون العام.

(20) فيزياء قذف محمد كرة رأسيا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها 40. إذا علمت أن ارتفاع الكرة عن الأرض (h) بالأقدام يعطى بالمعادلة 5 + h = - 16t2 + 40t ، حيث t: الزمن بالثواني، فأوجد الزمن اللازم لتصل الكرة إلى الأرض.

مثال 2 x2 - 4x - 45 = 0 :حل المعادلة a = 1, b = -4, c = -45 القانون العام x = -b±√b2-4ac 2a = -(-4) ± √(-4)² - 4(1)(-45) 2(1) a = 1, b = -4, c = -45 = 4±14 2 x = 4 +14 , x = 4-14 2 = 9 = -5 إذن الحلان هما : 59 .

3-3 العمليات على كثيرات الحدود (الصفحات: 132-127 )

بسط كلا مما يأتي مفترضًا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا:

مثال 3 بسط كلا مما يأتي: (a) (-4a³b⁵)(5ab³) (-4a³b⁵)(5ab³) = (-4)(5)a³⁺¹b⁵⁺³ = -20a⁴b⁸ (b) (2x²+3x-8) + (3x²-5x-7) (2x²+3x-8) + (3x² – 5x - 7) = (2x² + 3x²) + (3x - 5x) + [-8 + (-7)] = 5x²-2x - 15

--- SECTION: مراجعة الدروس --- مراجعة الدروس --- SECTION: 3-1 --- 3-1 الأعداد المركبة (الصفحات: 116-110 ) بسط كلا مما يأتي: 9. √-8 10. (2-i)+(13+4i) 11. (6+2i) – (4-3i) 12. (6+5i)(3-2i) --- SECTION: 13 --- (13) كهرباء تبلغ المعاوقة في أحد أجزاء دائرة كهربائية 2 + 3 أوم، وفي الجزء الآخر منها 31 – 4 أوم. اجمع هذين العددين لتجد المعاوقة الكلية في الدائرة الكهربائية. حل كلا من المعادلات الآتية: 14. 2x² + 50 = 0 15. 4x²+1=0 --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 حل المعادلة: 0 = 12 + 3x2 المعادلة الأصلية 3x² + 12 = 0 اطرح 12 من كلا الطرفين 3x2 = -12 اقسم كلا الطرفين على 3 x² = -4 خاصية الجذر التربيعي x = ±√-4 √-4=√4-1 x = ± 2i --- SECTION: 3-2 --- 3-2 القانون العام والمميز (الصفحات: 124-117 ) أجب عن الفروع a-c لكل معادلة تربيعية فيما يأتي: a) أوجد قيمة المميز. b) أوجد عدد الجذور المختلفة، وحدد أنواعها. c) حل المعادلة باستعمال القانون العام. 16. x² - 10x + 25 = 0 17. x² + 4x - 32 = 0 18. 2x² + 3x - 18 = 0 19. 4x² - 4x + 1 = 0 --- SECTION: 20 --- (20) فيزياء قذف محمد كرة رأسيا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها 40. إذا علمت أن ارتفاع الكرة عن الأرض (h) بالأقدام يعطى بالمعادلة 5 + h = - 16t2 + 40t ، حيث t: الزمن بالثواني، فأوجد الزمن اللازم لتصل الكرة إلى الأرض. --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 x2 - 4x - 45 = 0 :حل المعادلة a = 1, b = -4, c = -45 القانون العام x = -b±√b2-4ac 2a = -(-4) ± √(-4)² - 4(1)(-45) 2(1) a = 1, b = -4, c = -45 = 4±14 2 x = 4 +14 , x = 4-14 2 = 9 = -5 إذن الحلان هما : 59 . --- SECTION: 3-3 --- 3-3 العمليات على كثيرات الحدود (الصفحات: 132-127 ) بسط كلا مما يأتي مفترضًا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: 21. 14x⁴y 2x³y⁵ 22. 3t(tn-5) 23. (4r² + 3r - 1) – (3r² - 5r + 4) 24. (x⁴)³ 25. (m + p)(m² - 2mp + p²) 26. 3b(2b-1) + 2b(b + 3) --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 بسط كلا مما يأتي: (a) (-4a³b⁵)(5ab³) (-4a³b⁵)(5ab³) = (-4)(5)a³⁺¹b⁵⁺³ = -20a⁴b⁸ (b) (2x²+3x-8) + (3x²-5x-7) (2x²+3x-8) + (3x² – 5x - 7) = (2x² + 3x²) + (3x - 5x) + [-8 + (-7)] = 5x²-2x - 15