📝 ملخص الصفحة
📚 دليل الدراسة والمراجعة (صفحة 169)
المفاهيم الأساسية
قسمة كثيرات الحدود: عملية تبسيط خارج قسمة كثيرة حدود على أخرى، باستخدام القسمة الطويلة.
كثيرة حدود بمتغير واحد: كثيرة حدود تحتوي على متغير واحد فقط.
درجة كثيرة الحدود: أكبر أس للمتغير في كثيرة الحدود.
المعامل الرئيس: معامل الحد ذو الأس الأكبر (الدرجة الأعلى) في كثيرة الحدود.
حل معادلات كثيرات الحدود: إيجاد قيم المتغير التي تحقق المعادلة، غالباً بالتحليل إلى العوامل واستخدام خاصية الضرب الصفري.
خريطة المفاهيم
```markmap
الفصل 3: كثيرات الحدود والأعداد المركبة
1. الأعداد المركبة
الوحدة التخيلية (i)
العدد المركب (a+bi)
المركبات المترافقة
#### العمليات
##### الجمع والطرح
##### الضرب
##### تبسيط الجذور التربيعية للأعداد السالبة
2. حل المعادلات التربيعية
القانون العام
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
المميز
#### عدد الجذور وأنواعها
3. العمليات على كثيرات الحدود
الجمع والطرح (جمع الحدود المتشابهة)
الضرب (خاصية التوزيع)
القسمة (القسمة الطويلة أو التركيبية)
#### تبسيط خارج قسمة وحيدة حد
#### ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود
#### ضرب كثيرتي حدود
4. دوال كثيرات الحدود
تعريف (دالة متصلة)
كثيرة حدود بمتغير واحد
المعامل الرئيس
إيجاد قيمة الدالة عند عدد معين (مثل p(2))
5. حل معادلات كثيرات الحدود
طرق التحليل
#### العامل المشترك الأكبر
#### تجميع الحدود
#### طرائق تحليل الدالة التربيعية
خاصية الضرب الصفري
6. نظريتا الباقي والعوامل
نظرية الباقي
نظرية العوامل
التعويض التركيبي
7. الجذور والأصفار
نظرية الأصفار المركبة المترافقة
النظرية الأساسية في الجبر
```
نقاط مهمة
- قسمة كثيرات الحدود تعطي ناتجاً وباقياً، ويكتب الناتج على الصورة: `(خارج القسمة) + (الباقي)/(المقسوم عليه)`.
- لتحديد درجة كثيرة حدود، ابحث عن أكبر أس للمتغير.
- لتحديد المعامل الرئيس، انظر إلى معامل الحد ذي الدرجة الأعلى.
- لحل معادلة كثيرة حدود، حللها إلى عوامل ثم طبّق خاصية الضرب الصفري: إذا كان `a * b = 0`، فإن `a = 0` أو `b = 0`.
- يمكن تطبيق مفاهيم كثيرات الحدود في مسائل هندسية لحساب الأبعاد أو المساحات أو الأحجام.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة
ما الخطوات الأساسية لقسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود باستخدام القسمة الطويلة؟
- أ) 1. قسمة الحدود. 2. جمع النتائج. 3. كتابة الإجابة.
- ب) 1. ترتيب الحدود تنازلياً حسب الأسس. 2. قسمة الحد الأول للمقسوم على الحد الأول للمقسوم عليه. 3. ضرب الناتج في المقسوم عليه. 4. طرح الناتج من المقسوم. 5. إنزال الحد التالي. 6. التكرار.
- ج) 1. تحليل كل كثيرة حدود. 2. اختصار العوامل المشتركة. 3. كتابة الناتج.
- د) 1. ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه. 2. تبسيط العبارة الناتجة.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 1. ترتيب الحدود تنازلياً حسب الأسس. 2. قسمة الحد الأول للمقسوم على الحد الأول للمقسوم عليه. 3. ضرب الناتج في المقسوم عليه. 4. طرح الناتج من المقسوم. 5. إنزال الحد التالي. 6. التكرار.
الشرح: 1. رتب كثيرتي الحدود تنازلياً حسب الأسس. 2. اقسم الحد الأول للمقسوم (6x³) على الحد الأول للمقسوم عليه (2x) لتحصل على 3x². 3. اضرب 3x² في المقسوم عليه (2x - 1) لتحصل على 6x³ - 3x². 4. اطرح الناتج من المقسوم الأصلي لتحصل على -28x² - 34x + 22. 5. أنزل الحد التالي (-34x) إذا لزم الأمر. 6. كرر العملية مع -28x² ÷ 2x = -14x، وهكذا حتى يصبح الباقي (-2) من درجة أقل من درجة (2x - 1).
تلميح: تذكر أن تبدأ بالحد ذي الأس الأعلى في كل خطوة.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
إذا كانت p(x) = 3x + 2x² - x³، فأي مما يلي يمثل قيمة p(a-2) بعد التبسيط؟
- أ) a³ - 8a² + 17a - 10
- ب) -a³ + 8a² - 17a + 10
- ج) -a³ + 4a² - 5a + 2
- د) a³ + 2a² + 3a - 6
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: -a³ + 8a² - 17a + 10
الشرح: 1. p(a-2) = 3(a-2) + 2(a-2)² - (a-2)³. 2. وسّع: = 3a - 6 + 2(a² - 4a + 4) - (a³ - 6a² + 12a - 8). 3. وسّع أكثر: = 3a - 6 + 2a² - 8a + 8 - a³ + 6a² - 12a + 8. 4. اجمع الحدود المتشابهة: الحدود ذات a³: -a³. الحدود ذات a²: 2a² + 6a² = 8a². الحدود ذات a: 3a - 8a - 12a = -17a. الحدود الثابتة: -6 + 8 + 8 = 10. 5. الناتج النهائي: -a³ + 8a² - 17a + 10.
تلميح: استبدل x بـ (a-2) في الدالة، ثم وسّع واجمع الحدود المتشابهة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
ما درجة كثيرة الحدود 4 + 4x - 7x⁷ + 3x² + 4x³؟ وما معاملها الرئيس؟
- أ) الدرجة: 3، المعامل الرئيس: 4
- ب) الدرجة: 7، المعامل الرئيس: 7
- ج) الدرجة: 7، المعامل الرئيس: -7
- د) الدرجة: 4، المعامل الرئيس: -7
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: الدرجة: 7، المعامل الرئيس: -7
الشرح: 1. رتب كثيرة الحدود تنازلياً حسب الأسس: -7x⁷ + 4x³ + 3x² + 4x + 4. 2. أكبر أس للمتغير x هو 7، لذا درجة كثيرة الحدود هي 7. 3. الحد ذو الدرجة 7 هو -7x⁷، ومعامله هو -7، وهذا هو المعامل الرئيس.
تلميح: الدرجة هي أكبر أس للمتغير x بعد ترتيب الحدود. المعامل الرئيس هو معامل الحد ذي الدرجة الأعلى.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
أي من الخطوات التالية هي الأصح لبدء حل المعادلة 4x⁴ - 25x² + 36 = 0 باستخدام التحليل؟
- أ) أخذ x عاملًا مشتركًا: x(4x³ - 25x + 36/x) = 0
- ب) تحليلها إلى (2x² - 5)(2x² - 5) = 0
- ج) تحليلها إلى (x² - 4)(4x² - 9) = 0
- د) استخدام القانون العام للمعادلة التربيعية على 4x⁴ - 25x² + 36 = 0
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: تحليلها إلى (x² - 4)(4x² - 9) = 0
الشرح: 1. المعادلة 4x⁴ - 25x² + 36 = 0 هي معادلة من الدرجة الرابعة، ولكنها تربيعية في x². 2. يمكن تحليلها مباشرة بإيجاد عددين حاصل ضربهما 4*36=144 ومجموعهما -25. هذان العددان هما -16 و -9. 3. إعادة الكتابة: 4x⁴ -16x² -9x² +36 = 0. 4. التحليل بالتجميع: 4x²(x²-4) -9(x²-4)=0. 5. أخذ العامل المشترك (x²-4): (x²-4)(4x²-9)=0. هذه هي الخطوة الأولى الصحيحة.
تلميح: لاحظ أن المعادلة تربيعية في x². يمكنك التعويض بـ y = x² لتبسيطها ثم التحليل.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
عند قسمة كثيرة حدود على أخرى، متى نتوقف في عملية القسمة الطويلة؟
- أ) عندما يصبح عدد حدود الباقي مساوياً لعدد حدود المقسوم عليه.
- ب) عندما يصبح معامل الحد الرئيس في الباقي مساوياً لمعامل الحد الرئيس في المقسوم عليه.
- ج) عندما تصبح درجة باقي القسمة أقل من درجة المقسوم عليه.
- د) عندما يصبح ناتج القسمة عدداً صحيحاً.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: عندما تصبح درجة باقي القسمة أقل من درجة المقسوم عليه.
الشرح: الهدف من القسمة الطويلة هو التعبير عن المقسوم على شكل: (المقسوم عليه × ناتج القسمة) + الباقي. نستمر في عملية القسمة (القسمة، الضرب، الطرح، الإنزال) حتى يصبح التعبير المتبقي (الباقي) إما صفراً، أو كثيرة حدود درجة حدودها أقل من درجة المقسوم عليه. في المثال: (6x³ - 31x² - 34x + 22) ÷ (2x - 1)، توقفنا عند الباقي (-2) لأن درجة (-2) وهي 0 أقل من درجة (2x-1) وهي 1.
تلميح: فكر في أن الباقي يجب أن يكون أبسط من المقسوم عليه ولا يمكن قسمته عليه.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل