3-7 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 نظرية الباقي والعوامل & الجذور والأصفار

المفاهيم الأساسية

نظرية الباقي: إذا قسمت كثيرة الحدود \( f(x) \) على \( x - c \)، فإن الباقي هو \( f(c) \).

نظرية العوامل: \( x - c \) هو عامل من عوامل \( f(x) \) إذا وفقط إذا كان \( f(c) = 0 \).

التعويض التركيبي: طريقة مختصرة لإيجاد قيمة \( f(c) \) أو خارج القسمة على \( x - c \).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 3: كثيرات الحدود والأعداد المركبة

1. الأعداد المركبة

الوحدة التخيلية (i)

العدد المركب (a+bi)

المركبات المترافقة

#### العمليات

##### الجمع والطرح

##### الضرب

##### تبسيط الجذور التربيعية للأعداد السالبة

2. حل المعادلات التربيعية

القانون العام

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

المميز

#### عدد الجذور وأنواعها

3. العمليات على كثيرات الحدود

الجمع والطرح (جمع الحدود المتشابهة)

الضرب (خاصية التوزيع)

القسمة (القسمة الطويلة أو التركيبية)

#### تبسيط خارج قسمة وحيدة حد

#### ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود

#### ضرب كثيرتي حدود

4. دوال كثيرات الحدود

تعريف (دالة متصلة)

كثيرة حدود بمتغير واحد

المعامل الرئيس

إيجاد قيمة الدالة عند عدد معين (مثل p(2))

5. حل معادلات كثيرات الحدود

طرق التحليل

#### العامل المشترك الأكبر

#### تجميع الحدود

#### طرائق تحليل الدالة التربيعية

خاصية الضرب الصفري

6. نظريتا الباقي والعوامل

نظرية الباقي

نظرية العوامل

التعويض التركيبي

#### خطواته

#### استخدامه لإيجاد قيمة الدالة

#### استخدامه للتحقق من العوامل

7. الجذور والأصفار

تحديد عدد الأصفار الحقيقية

#### قاعدة ديكارت للإشارات

##### الأصفار الحقيقية الموجبة

##### الأصفار الحقيقية السالبة

##### الأصفار التخيلية

```

نقاط مهمة

* التعويض التركيبي يستخدم لإيجاد قيمة كثيرة الحدود عند عدد معين (مثل \( f(4) \)) أو للتحقق مما إذا كان \( x - c \) عاملاً.

* إذا كان باقي قسمة \( f(x) \) على \( x - c \) يساوي صفرًا، فإن \( x - c \) هو عامل من عوامل \( f(x) \).

* قاعدة ديكارت للإشارات تُستخدم لتحديد العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة والتخيلية لدالة كثيرة الحدود، عن طريق عد مرات تغير إشارة معاملات \( f(x) \) و \( f(-x) \).

نظرية الباقي والعوامل (الصفحات: 156-161)

أوجد (4)f، (2-)f لكلٍّ مما يأتي مستعملًا التعويض التركيبي: $f(x) = x^2 - 3$ (41)

$f(x) = x^2 - 5x + 4$ (42)

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 2$ (43)

$f(x) = 2x^4 - 3x^3 + 1$ (44)

في كلٍّ مما يأتي كثيرة حدود وأحد عواملها. أوجد عواملها الأخرى:

$3x^3 + 20x^2 + 23x - 10$, $x + 5$ (45)

$2x^3 + 11x^2 + 17x + 5$, $2x + 5$ (46)

$x^3 + 2x^2 - 23x - 60$, $x - 5$ (47)

حدد ما إذا كان 6 – x عاملاً من عوامل كثيرة الحدود: $x^3 - 2x^2 - 21x - 18$ 6 | 1 -2 -21 -18 | 6 24 18 ------------------ 1 4 3 0 6 – x عامل من عوامل كثيرة الحدود؛ لأن باقي قسمة كثيرة الحدود عليه يساوي صفرًا.

الجذور والأصفار (الصفحات: 162-168)

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكلٍّ مما يأتي دالة مما يأتي:

$f(x) = -2x^3 + 11x^2 - 3x + 2$ (48)

$f(x) = -4x^4 - 2x^3 - 12x^2 - x - 23$ (49)

$f(x) = x^6 - 5x^3 + x^2 + x - 6$ (50)

$f(x) = -2x^5 + 4x^4 + x^2 - 3$ (51)

$f(x) = -2x^6 + 4x^4 + x^2 - 3x - 3$ (52)

تتغير إشارة الدالة $f(x)$ مرة واحدة؛ لذا يوجد صفر حقيقي موجب واحد. تتغير إشارة الدالة $(-x)f$ ثلاث مرات؛ لذا يوجد صفر حقيقي سالب واحد، أو ثلاثة أصفار حقيقية سالبة، أو لها صفران تخيليان. الدالة ليس لها أصفار تخيلية.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 170

--- SECTION: 3-7 --- نظرية الباقي والعوامل (الصفحات: 156-161) --- SECTION: مثال 8 --- أوجد (4)f، (2-)f لكلٍّ مما يأتي مستعملًا التعويض التركيبي: $f(x) = x^2 - 3$ (41) $f(x) = x^2 - 5x + 4$ (42) $f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 2$ (43) $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + 1$ (44) في كلٍّ مما يأتي كثيرة حدود وأحد عواملها. أوجد عواملها الأخرى: $3x^3 + 20x^2 + 23x - 10$, $x + 5$ (45) $2x^3 + 11x^2 + 17x + 5$, $2x + 5$ (46) $x^3 + 2x^2 - 23x - 60$, $x - 5$ (47) --- SECTION: مثال 8 --- حدد ما إذا كان 6 – x عاملاً من عوامل كثيرة الحدود: $x^3 - 2x^2 - 21x - 18$ 6 | 1 -2 -21 -18 | 6 24 18 ------------------ 1 4 3 0 6 – x عامل من عوامل كثيرة الحدود؛ لأن باقي قسمة كثيرة الحدود عليه يساوي صفرًا. --- SECTION: 3-8 --- الجذور والأصفار (الصفحات: 162-168) اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكلٍّ مما يأتي دالة مما يأتي: $f(x) = -2x^3 + 11x^2 - 3x + 2$ (48) $f(x) = -4x^4 - 2x^3 - 12x^2 - x - 23$ (49) $f(x) = x^6 - 5x^3 + x^2 + x - 6$ (50) $f(x) = -2x^5 + 4x^4 + x^2 - 3$ (51) $f(x) = -2x^6 + 4x^4 + x^2 - 3x - 3$ (52) تتغير إشارة الدالة $f(x)$ مرة واحدة؛ لذا يوجد صفر حقيقي موجب واحد. تتغير إشارة الدالة $(-x)f$ ثلاث مرات؛ لذا يوجد صفر حقيقي سالب واحد، أو ثلاثة أصفار حقيقية سالبة، أو لها صفران تخيليان. الدالة ليس لها أصفار تخيلية. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 170