📝 ملخص الصفحة
📚 الفصل 3: اختبار تراكمي (استكمال)
المفاهيم الأساسية
يحتوي هذا الجزء من الاختبار على أسئلة تطبيقية متنوعة تتطلب إجابات قصيرة ومطولة.
خريطة المفاهيم
```markmap
الفصل 3: كثيرات الحدود ودوالها
اختبار تراكمي
أسئلة الاختيار من متعدد
#### 1) تبسيط كثيرات الحدود
- طرح كثيرتي حدود: (5n² + 11n – 6) – (2n² – 5)
#### 2) حلول المعادلات
- إيجاد القيمة التي ليست حلاً للمعادلة: x³ – 37x – 84 = 0
#### 3) أصفار الدالة
- تحديد عدد الأصفار الحقيقية لدالة كثيرة حدود من التمثيل البياني (منحنى على شكل W)
#### 4) المصفوفات والنظير الضربي
- إيجاد قيمة x التي تجعل المصفوفة ليس لها نظير ضربي
#### 5) تطبيق دوال كثيرات الحدود
- استخدام دالة تربيعية لتقدير عدد السكان: P(x) = -0.000047x² + 0.027x + 3
#### 6) تبسيط الأعداد المركبة
- تبسيط المقدار: 1 / (1-5i)
#### 7) مميز المعادلة التربيعية
- حساب قيمة مميز المعادلة: x² – x – 20 = 0
#### 8) عمليات المصفوفات
- إيجاد المصفوفة X حيث X = 2A - B
أسئلة ذات إجابات قصيرة
#### 9) تطبيق هندسي (المساحة)
- إيجاد عرض ممر (x) حول حديقة بمعلومية المساحة الكلية (5582 م²).
#### 10) تحليل المقادير الجبرية
- تحليل المقدار تحليلاً تاماً:
64a⁴ + ab³
#### 11) تبسيط وقسمة كثيرات الحدود
- تبسيط المقدار وكتابته على صورة حاصل ضرب عوامل:
(3x³ - 4x² - 28x - 16) / (x + 2)
#### 12) حل معادلة مصفوفية
- إيجاد قيمة a من المعادلة:
\begin{bmatrix}4 & 3 \\\ 2 & 2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a \\\ b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}21 \\\ 9\end{bmatrix}
#### 13) تطبيق هندسي (الحجم)
- حساب عدد المرات لملء إناء مكعب باستخدام علبة أسطوانية.
أسئلة ذات إجابات مطولة
#### 14) كتابة دالة متعددة التعريف
- كتابة الدالة
y = f(x) من تمثيلها البياني (خط مكون من قطعتين).
```
نقاط مهمة
- يركز هذا الجزء من الاختبار على تطبيق المفاهيم (كثيرات الحدود، المصفوفات، الدوال) في مسائل هندسية وجبرية.
- تتطلب الأسئلة خطوات حل واضحة، خاصة في التحليل والتبسيط.
- السؤال 14 يتعامل مع الدوال المتعددة التعريف ويطلب كتابة قاعدة الدالة من تمثيلها البياني المرسوم.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
أسئلة ذات إجابات قصيرة
نوع: محتوى تعليمي
أسئلة ذات إجابات قصيرة
9
نوع: QUESTION_HOMEWORK
يبين الشكل الآتي حديقة محاطة بممر عرضه x مترًا. فإذا علمت أن مساحة الحديقة مع الممر 5582 ، فأوجد عرض الممر بالأمتار.
13
نوع: QUESTION_HOMEWORK
يريد صالح أن يملأ الإناء المكعب بالماء مستعملا العلبة الأسطوانية في الشكل أدناه. فكم مرة يستعمل العلبة؟
10
نوع: QUESTION_HOMEWORK
حلل المقدار : 64a⁴ + ab³ تحليلا تاما، وبين خطوات الحل.
11
نوع: QUESTION_HOMEWORK
بسط المقدار:
(3x³ - 4x² - 28x - 16) / (x + 2)
واكتب إجابتك على صورة حاصل ضرب عوامل مبينا خطوات الحل.
12
نوع: QUESTION_HOMEWORK
ما قيمة a في المعادلة المصفوفية الآتية؟
[4 3] . [a] = [21]
[2 2] [b] [9]
أسئلة ذات إجابات مطولة
نوع: محتوى تعليمي
أسئلة ذات إجابات مطولة
14
نوع: QUESTION_HOMEWORK
اكتب الدالة المتعددة التعريف التي لها التمثيل البياني أدناه:
هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟
نوع: محتوى تعليمي
هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟
نوع: METADATA
إذا لم تستطع حل سؤال ...
نوع: METADATA
فعد إلى الدرس ...
🔍 عناصر مرئية
The graph consists of two linear segments. The first segment starts with an open circle and goes down-left. The second segment starts with a closed circle and goes up-right.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 6 بطاقة لهذه الصفحة
حلل المقدار: 64a⁴ + ab³ تحليلاً تاماً، وبين خطوات الحل.
- أ) a(4a + b)(16a² + 4ab + b²)
- ب) a(4a + b)(16a² - 4ab + b²)
- ج) (4a + b)(16a² - 4ab + b²)
- د) a(8a² + b²)(8a² - b²)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: a(4a + b)(16a² - 4ab + b²)
الشرح: ١. نلاحظ وجود عامل مشترك هو a: a(64a³ + b³).
٢. المقدار داخل القوس هو مجموع مكعبين: (4a)³ + (b)³.
٣. نطبق قانون تحليل مجموع مكعبين: س³ + ص³ = (س + ص)(س² - س ص + ص²).
٤. بالتعويض: (4a + b)((4a)² - (4a)(b) + (b)²) = (4a + b)(16a² - 4ab + b²).
٥. الناتج النهائي: a(4a + b)(16a² - 4ab + b²).
تلميح: ابحث عن عامل مشترك أولاً، ثم طبق قانون مجموع مكعبين على ما تبقى.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسط المقدار: (3x³ - 4x² - 28x - 16) / (x + 2) واكتب إجابتك على صورة حاصل ضرب عوامل مبينا خطوات الحل.
- أ) (x + 4)(3x - 2)
- ب) (x - 4)(3x + 2)
- ج) (x - 2)(3x + 4)
- د) (x + 2)(3x² - 10x - 8)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: (x - 4)(3x + 2)
الشرح: ١. نقسم كثيرة الحدود (3x³ - 4x² - 28x - 16) على (x + 2).
٢. باستخدام القسمة التركيبية مع جذر القاسم س = -2:
المعاملات: 3, -4, -28, -16.
العملية: 3 → (-2×3=-6) → -4+(-6)=-10 → (-2×-10=20) → -28+20=-8 → (-2×-8=16) → -16+16=0.
٣. ناتج القسمة هو: 3x² - 10x - 8 والباقي 0.
٤. نحلل الناتج: 3x² - 10x - 8 = (3x + 2)(x - 4).
٥. الإجابة النهائية على صورة حاصل ضرب عوامل: (x - 4)(3x + 2).
تلميح: استخدم القسمة المطولة أو التركيبية لكثيرة الحدود على ذات الحدين (x+2).
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
ما نوع الدالة المتعددة التعريف التي يمثلها التمثيل البياني المكون من قطعتين مستقيمتين، إحداهما ذات ميل سالب والأخرى ذات ميل موجب؟
- أ) دالة تربيعية فقط
- ب) دالة خطية واحدة
- ج) دالة قيمة مطلقة أو دالة متعددة التعريف خطية
- د) دالة أسية
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: دالة قيمة مطلقة أو دالة متعددة التعريف خطية
الشرح: ١. الدالة المتعددة التعريف (Piecewise Function) هي دالة يُعبر عنها باستخدام عدة قواعد (معادلات) كل قاعدة تنطبق على فترة معينة من مجال الدالة.
٢. التمثيل البياني الموصوف: قطعة مستقيمة ذات ميل سالب (تنازلي) وقطعة مستقيمة ذات ميل موجب (تصاعدي).
٣. هذا النمط يشبه دالة القيمة المطلقة الأساسية (V-shaped) أو أي دالة خطية متعددة التعريف حيث تتغير المعادلة عند نقطة معينة (مثل x=0).
٤. مثال: f(x) = { -x + 2 for x < 1 ; x + 1 for x ≥ 1 } سيكون لها تمثيل بياني به قطعة ذات ميل سالب وأخرى ذات ميل موجب.
تلميح: الدالة المتعددة التعريف تُعرف بقواعد مختلفة على فترات مختلفة من مجالها.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
عند كتابة دالة متعددة التعريف من تمثيلها البياني، ما الخطوة الأولى التي يجب القيام بها؟
- أ) حساب ميل كل قطعة
- ب) تحديد النقاط الفاصلة (الحدود) بين القطع المختلفة على محور السينات.
- ج) كتابة المعادلة النهائية مباشرة
- د) إيجاد مجال الدالة الكلي
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: تحديد النقاط الفاصلة (الحدود) بين القطع المختلفة على محور السينات.
الشرح: ١. الخطوة الأولى والأساسية هي تحديد فترات (Intervals) مجال الدالة التي تختلف عليها القاعدة.
٢. ننظر إلى التمثيل البياني لإيجاد قيم x التي يحدث عندها تغير في اتجاه الخط أو نوعه (مثل نقاط الانكسار، أو الانتقال من خط إلى آخر).
٣. هذه القيم تسمى نقاط التقسيم أو الحدود (Breakpoints).
٤. بعد تحديد الفترات، نكتب معادلة مستقيمة (أو غيرها) لكل فترة بناءً على ميل الخط ونقطة عليه في تلك الفترة.
تلميح: ابحث عن قيم x التي يتغير عندها سلوك التمثيل البياني أو معادلته.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل
إذا كان التمثيل البياني لدالة متعددة التعريف يحتوي على دائرة مفرغة (○) عند نهاية قطعة، ودائرة ممتلئة (●) عند بداية القطعة التالية عند نفس قيمة x، فماذا يعني ذلك؟
- أ) الدالة لها قيمتان مختلفتان عند نفس النقطة x.
- ب) الدالة غير معرفة عند النقطة ذات الدائرة المفرغة، ولكنها معرفة عند النقطة ذات الدائرة الممتلئة.
- ج) هناك خطأ في التمثيل البياني.
- د) كلا القطعتين تشملان النقطة ذات القيمة x.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: الدالة غير معرفة عند النقطة ذات الدائرة المفرغة، ولكنها معرفة عند النقطة ذات الدائرة الممتلئة.
الشرح: ١. في التمثيل البياني للدوال المتعددة التعريف:
• الدائرة المفرغة (○) أو ( ) تعني أن النقطة (x, y) غير مشمولة في تعريف الدالة لتلك القطعة. أي f(x) لا تساوي تلك القيمة y عند ذلك x.
• الدائرة الممتلئة (●) أو (•) تعني أن النقطة (x, y) مشمولة في تعريف الدالة لتلك القطعة. أي f(x) تساوي تلك القيمة y عند ذلك x.
٢. إذا تقاطعت قطعتان عند نفس x وكانت إحداهما مفرغة والأخرى ممتلئة، فهذا يعني أن قيمة الدالة عند ذلك x هي القيمة الموضحة بالدائرة الممتلئة. الدالة معرفة عند تلك النقطة.
٣. هذا يضمن أن لكل قيمة x في المجال قيمة واحدة فقط لـ f(x) (ليكون دالة).
تلميح: الدائرة المفرغة تعني أن النقطة ليست جزءًا من التمثيل البياني لتلك القطعة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
حلل المقدار الجبري الآتي تحليلاً تاماً: 64a⁴ + ab³
- أ) a(4a + b)(16a² + 4ab + b²)
- ب) a(4a + b)(16a² - 4ab + b²)
- ج) (4a + b)(16a² - 4ab + b²)
- د) a(4a - b)(16a² + 4ab + b²)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: a(4a + b)(16a² - 4ab + b²)
الشرح: ١. نخرج العامل المشترك الأكبر 'a' من الحدين لتصبح العبارة: a(64a³ + b³).
٢. نلاحظ أن ما بداخل القوس يمثل مجموع مكعبين: (4a)³ + b³.
٣. نطبق قاعدة تحليل مجموع المكعبين [س³ + ص³ = (س + ص)(س² - س ص + ص²)].
٤. بالتعويض عن س بـ (4a) وص بـ (b): a(4a + b)((4a)² - (4a)(b) + b²).
٥. التبسيط النهائي: a(4a + b)(16a² - 4ab + b²).
تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم لاحظ وجود مجموع مكعبين.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط