صفحة 178 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 العمليات على الدوال

المفاهيم الأساسية

تركيب دالتين: composition of functions.

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 4

تبسيط العبارات الجذرية

مثال: تبسيط √(45/20)

#### خطوات الحل

ضرب البسط والمقام في √20
تبسيط √900 إلى 30
النتيجة: 3/2 أو 1.5

القسمة التركيبية

خطوات العمل

#### 1. تحديد قيمة r من المقسوم عليه (x - r)

#### 2. كتابة معاملات المقسوم

#### 3. إجراء خوارزمية القسمة التركيبية

#### 4. كتابة النتيجة (خارج القسمة + الباقي/المقسوم عليه)

مثال: (3x⁴ + 4x³ + x² + 9x - 6) ÷ (x + 2)

#### r = -2

#### النتيجة: 3x³ - 2x² + 5x - 1 - 4/(x+2)

تطبيقات حياتية

الطاقة الحركية

#### معادلة السرعة: v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}

#### تبسيط المعادلة عند معرفة الكتلة (m = 0.50 kg)

المبيعات

#### نموذج تقدير المبيعات: n = \frac{4000x²}{x² + 50}

#### حيث x: المبلغ المنفق على الدعاية (بمئات الريالات)

#### n: عدد السلع المبيعة

العمليات على الدوال

العمليات الحسابية

#### الجمع: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

#### الطرح: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

#### الضرب: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

#### القسمة: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0

تركيب دالتين

```

نقاط مهمة

يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على الدوال، كما في كثيرات الحدود.
مثال تطبيقي: يمكن التعبير عن إجمالي الدخل السنوي لعائلة (f(x) للزوج، m(x) للزوجة) بالدالة f(x) + m(x).
عند القسمة، يجب أن يكون g(x) \neq 0.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: فيما سبق ---
درست إجراء العمليات على كثيرات الحدود.

--- SECTION: والآن ---
- أجد مجموع دالتين والفرق بينهما وحاصل ضربهما وقسمتهما.
- أجد تركيب دالتين.

--- SECTION: المفردات ---
تركيب دالتين
composition of functions

--- SECTION: لماذا ؟ ---
تبين التمثيلات البيانية المجاورة الدخل السنوي لعائلة منذ عام 1430هـ ؛ حيث (f(x تعبر عن الدخل السنوي للزوج، و (m(x تعبر عن الدخل السنوي للزوجة.
يمكن التعبير عن إجمالي الدخل السنوي لتلك العائلة بالدالة (f(x) + (x.

--- SECTION: العمليات الحسابية ---
لقد أجريت العمليات الحسابية على كثيرات الحدود في الفصل السابق. ويمكنك إجراء عمليات الجمع والطرح، والضرب والقسمة على الدوال أيضًا.
يمكنك الاعتماد على القواعد الآتية لإجراء العمليات الحسابية على الدوال:

--- SECTION: مفهوم أساسي ---
العمليات على الدوال

--- SECTION: مثال ---
لتكن f(x) = 2x, g(x) = -x + 5
الجمع. (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2x + (x + 5) = x + 5
الطرح. (f-g)(x) = f(x) - g(x)
2x - (x + 5) = 3x – 5
الضرب. (fog)(x) = f(x).g(x)
2x(x + 5) = -2x² + 10x
القسمة. (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
2x/-x+5,X≠5

--- SECTION: مثال 1 جمع الدوال وطرحها ---
إذا كان f(x) = x² - 4 ، g(x) = 2x + 1 ، فأوجد كل دالة فيما يأتي:
a. (f+g)(x)
جمع دالتين
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
عوض = (x² - 4) + (2x + 1)
بسط = x² + 2x - 3
b. (f-g)(x)
طرح دالتين
(f-g)(x) = f(x) - g(x)
عوض = (x²-4) - (2x + 1)
بسط = x²-2x-5

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
f(x) = x² + 5x-2, g(x) = 3x - 2
1A. (f+g)(x)
1B. (f-g)(x)

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: الدخل السنوي للعائلة
Description: No description
X-axis: الأعوام منذ 1430هـ
Y-axis: الدخل بآلاف الريالات)
(Note: Some details are estimated)

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

إذا كانت f(x) = x² + 5x - 2 و g(x) = 3x - 2، فأي مما يلي يمثل (f+g)(x)؟

أ) x² + 2x - 4
ب) x² + 8x - 4
ج) x² + 8x
د) 4x² + 2x - 4

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: x² + 8x - 4

الشرح: 1. (f+g)(x) = f(x) + g(x). 2. عوّض: (x² + 5x - 2) + (3x - 2). 3. بسط: x² + (5x+3x) + (-2-2). 4. النتيجة: x² + 8x - 4.

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة بعد جمع التعبيرين الجبريين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الشرط الأساسي لقسمة دالتين f على g، أي لإيجاد (f/g)(x)؟

أ) أن تكون f(x) ≠ 0
ب) أن تكون f(x) و g(x) موجبتين
ج) أن تكون g(x) ≠ 0
د) لا يوجد شرط

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن تكون g(x) ≠ 0

الشرح: دالة القسمة (f/g)(x) تُعرّف فقط عندما لا تساوي مقامها صفراً. أي أن (f/g)(x) = f(x)/g(x) بشرط أن g(x) ≠ 0. يجب تحديد قيم x التي تجعل g(x)=0 واستثناؤها من مجال الدالة الناتجة.

تلميح: القسمة على الصفر غير معرفة في الرياضيات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما تعريف تركيب دالتين (composition of functions)؟

أ) عملية جمع دالتين معاً.
ب) عملية تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى.
ج) عملية ضرب دالتين معاً.
د) عملية إيجاد معكوس دالة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عملية تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى.

الشرح: تركيب الدوال هو عملية رياضية يتم فيها تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى. إذا كانت لدينا الدالتين f و g، فإن تركيبها يُكتب (f∘g)(x) ويعني f(g(x)). أي أننا نطبق الدالة g أولاً على x، ثم نطبق الدالة f على الناتج.

تلميح: فكر في سلسلة من العمليات حيث يكون مخرج الدالة الأولى هو مدخل للدالة الثانية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الصيغة العامة لجمع دالتين f و g؟

أ) (f+g)(x) = f(x) - g(x)
ب) (f+g)(x) = f(x) * g(x)
ج) (f+g)(x) = f(x) + g(x)
د) (f+g)(x) = f(g(x))

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

الشرح: لإيجاد دالة المجموع (f+g)، نجمع قيمتي الدالتين f و g عند نفس القيمة x. الصيغة هي: (f+g)(x) = f(x) + g(x). مثال: إذا كانت f(x)=x²-4 و g(x)=2x+1، فإن (f+g)(x) = (x²-4) + (2x+1) = x²+2x-3.

تلميح: تذكر أن جمع الدوال يشبه جمع كثيرات الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما الصيغة العامة لطرح دالتين f و g؟

أ) (f-g)(x) = g(x) - f(x)
ب) (f-g)(x) = f(x) - g(x)
ج) (f-g)(x) = f(x) + g(x)
د) (f-g)(x) = f(x) / g(x)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

الشرح: لإيجاد دالة الفرق (f-g)، نطرح قيمة الدالة g من قيمة الدالة f عند نفس القيمة x. الصيغة هي: (f-g)(x) = f(x) - g(x). مثال: إذا كانت f(x)=x²-4 و g(x)=2x+1، فإن (f-g)(x) = (x²-4) - (2x+1) = x²-2x-5.

تلميح: تذكر أن ترتيب الطرح مهم، حيث تُطرح قيمة الدالة g من قيمة الدالة f.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل