صفحة 179 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 العمليات على الدوال (استكمال)

المفاهيم الأساسية

التقاطع (∩): مجموعة العناصر المشتركة بين مجموعتين.

تركيب دالتين (f ∘ g): عملية دمج دالتين حيث تُستخدم قيم الدالة `g` لحساب قيم الدالة `f`. وتقرأ "f بعد g".

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 4

تبسيط العبارات الجذرية

مثال: تبسيط √(45/20)

#### خطوات الحل

  • ضرب البسط والمقام في √20
  • تبسيط √900 إلى 30
  • النتيجة: 3/2 أو 1.5

القسمة التركيبية

خطوات العمل

#### 1. تحديد قيمة r من المقسوم عليه (x - r)

#### 2. كتابة معاملات المقسوم

#### 3. إجراء خوارزمية القسمة التركيبية

#### 4. كتابة النتيجة (خارج القسمة + الباقي/المقسوم عليه)

مثال: (3x⁴ + 4x³ + x² + 9x - 6) ÷ (x + 2)

#### r = -2

#### النتيجة: 3x³ - 2x² + 5x - 1 - 4/(x+2)

تطبيقات حياتية

الطاقة الحركية

#### معادلة السرعة: v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}

#### تبسيط المعادلة عند معرفة الكتلة (m = 0.50 kg)

المبيعات

#### نموذج تقدير المبيعات: n = \frac{4000x²}{x² + 50}

#### حيث x: المبلغ المنفق على الدعاية (بمئات الريالات)

#### n: عدد السلع المبيعة

العمليات على الدوال

العمليات الحسابية

#### الجمع: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

#### الطرح: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

#### الضرب: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

#### القسمة: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0

مجال العمليات على الدوال

#### الجمع، الطرح، الضرب: تقاطع مجالَيْ f و g.

#### القسمة: تقاطع مجالَيْ f و g، مع استثناء قيم x التي تجعل المقام g(x) = 0.

تركيب دالتين

#### الرمز: (f \circ g)(x) أو f[g(x)]

#### التعريف: إذا كانت f و g دالتين وكان مدى g مجموعة جزئية من مجال f، فإن:

[f \circ g](x) = f[g(x)]

#### التمثيل البصري:

المدخل x → صندوق g → الناتج g(x) → صندوق f → الناتج النهائي f[g(x)]

```

نقاط مهمة

  • مجال ناتج قسمة دالتين هو تقاطع مجاليهما، مع استبعاد القيم التي تجعل المقام يساوي صفراً.
  • عند إيجاد ناتج قسمة دالتين (كثيرتي حدود)، يُكتفى بكتابتهما في صورة دالة نسبية وتحديد مجالها دون إجراء عملية القسمة الفعلية.
  • في تركيب الدوال، تُطبق الدالة الداخلية (g) أولاً، ثم تُستخدم نتيجتها كمدخل للدالة الخارجية (f).

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مراجعة المفردات --- التقاطع تقاطع مجموعتين هو مجموعة العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين، ويرمز له بالرمز ∩. --- SECTION: مثال 2 ضرب الدوال وقسمتها --- في المثال 1 الدالتان (x) و (f(x لهما المجال نفسه، وهو مجموعة الأعداد الحقيقية. وكذلك الدالتان (f + g)(x) و (f(x) مجالاهما مجموعة الأعداد الحقيقية. يتكون مجال جميع الدوال الناتجة عن عمليات الجمع أو الطرح أو الضرب للدالتين (x) و (f(x من تقاطع مجاليهما. كما أن مجال الدالة الناتجة عن قسمة هاتين الدالتين هو تقاطع مجاليهما أيضًا، مع استثناء القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. إذا كان 4 - 3x = g(x) ,f(x) = x² + 7x + 12 :فأوجد كل دالة مما يأتي: a. (f.g)(x) b. (x)() ضرب دالتين )fog)(x) = f(x) g(x( عوض = (x² + 7x + 12)(3x - 4) خاصية التوزيع = 3x3 + 21x2 + 36x4x²- 28x - 48 بسط = 3x3 + 17x2 + 8x - 48 قسمة دالتين (x)= g(x) x² + 7x + 12 3x-4 , x ≠ 4/3 عوض (x)() بما أن = x تجعل المقام 4 - 3x يساوي صفرا، فإن تستثنى من مجال الدالة (x) 4/3 --- SECTION: تنبيه ! --- قسمة دالتين بما أنه قد تم تعلم قسمة كثيرات الحدود في الفصل 3، فإنه سيكتفي عند إيجاد ناتج قسمة دالتين (في هذا الدرس بكتابتهما في صورة دالة نسبية، وتحديد مجالها من دون إجراء عملية القسمة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- f(x) = x²-7x + 2, g(x) = x + 4 2A. (f.g)(x) 2B. ((x) --- SECTION: قراءة الرياضيات --- تركيب دالتين هي إحدى الطرائق التي تستعمل لدمج دالتين. وعند تركيب دالتين فإن قيم دالة منهما تستعمل لحساب قيم الدالة الأخرى. تركيب دالتين يرمز إلى تركيب الدالتين أ و و بالرمز ]g(x([ أو fog وتقرأ f بعد و. --- SECTION: مفهوم أساسي --- تركيب دالتين التعبير اللفظي : إذا كانت f و و دالتين وكان مدى و مجموعة جزئية من مجال .. فإنه يمكن إيجاد دالة التركيب f o g بالشكل: [fog](x) = f[g(x)] --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: النموذج Description: Diagram showing the composition of functions f and g. There are three boxes labeled g, f, and [f o g](x). The first box labeled g has an input x and an output g(x). The second box labeled f has an input g(x) and an output f[g(x)]. The third box labeled [f o g](x) has an input x and an output f[g(x)]. (Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 23

سؤال 33: 33) (مسائل مهارات التفكير العليا) في إحدى مدن الألعاب، عمارة دوارة طول نصف قطرها 68ft، وترتفع عن سطح الأرض 15ft. بعد جلوس الشخص في العربة الدوارة، دارت العجلة بزاوية قياسها 202.5° عكس حركة عقارب الساعة قبل أن تتوقف. فكم يكون ارتفاع هذه العربة عن سطح الأرض عندما تتوقف العجلة عن الدوران؟

الإجابة: 145.8 ft

سؤال 36: 36) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 300°.

الإجابة: الربع الرابع

سؤال 37: 37) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 210°.

الإجابة: الربع الثالث

سؤال 38: 38) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 270°.

الإجابة: 270°

سؤال س: 40: 40) tan 570°

الإجابة: $ rac{1}{43}$

سؤال س: 41: 41) tan 270°

الإجابة: معرف

سؤال س: 42: 42) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 225°.

الإجابة: 4

سؤال س: 43: 43) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 100°.

الإجابة: 2

سؤال س: 44: 44) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 315°.

الإجابة: $ rac{\sqrt{2}}{2}$

سؤال س: 45: 45) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 180°.

الإجابة: X خطأ

سؤال س: 46: 46) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 240°.

الإجابة: 240°

سؤال س: 47: 47) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 360°.

الإجابة: 180°

سؤال س: 48: 48) حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها 120°.

الإجابة: 360°

سؤال 49: 49) (f.g)(x) إذا كان f(x) = x² - 7x + 2, g(x) = x + 4

الإجابة: 36 - 12I

سؤال 50: 50) حول قياس كل زاوية مكتوبة بالراديان فيما يأتي إلى الدرجات: $ rac{4\pi}{3}$

الإجابة: 240°

سؤال 51: 51) حول قياس كل زاوية مكتوبة بالراديان فيما يأتي إلى الدرجات: $ rac{11\pi}{6}$

الإجابة: 330°

سؤال 52: 52) حول قياس كل زاوية مكتوبة بالراديان فيما يأتي إلى الدرجات: $- rac{17\pi}{4}$

الإجابة: -765°

سؤال 53: 53) حل كلام من المعادلات الآتية علمًا بأن جميع الزوايا حادة: $\cos A = rac{12}{13}$

الإجابة: 13

سؤال 54: 54) حل كلام من المعادلات الآتية علمًا بأن جميع الزوايا حادة: $\sin B = rac{8}{17}$

الإجابة: 3:54

سؤال 55: 55) حل كلام من المعادلات الآتية علمًا بأن جميع الزوايا حادة: $ an C = rac{9}{4}$

الإجابة: 66.0°

سؤال 56: 56) حل كلام من المعادلات الآتية علمًا بأن جميع الزوايا حادة: $ rac{x+2}{9} = rac{x-2}{18}$

الإجابة: 6:56

سؤال 57: 57) حل كلام من المعادلات الآتية علمًا بأن جميع الزوايا حادة: $ rac{x+5}{4} = rac{x-1}{7}$

الإجابة: 9:57

سؤال 58: 58) حل كلام من المعادلات الآتية علمًا بأن جميع الزوايا حادة: $ rac{x+8}{2x+20} = rac{1}{5}$

الإجابة: 8-34

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما التعبير الرياضي الصحيح لتركيب الدالتين f و g (أي f بعد g)؟

  • أ) [f o g](x) = g[f(x)]
  • ب) [f o g](x) = f(x) + g(x)
  • ج) [f o g](x) = f[g(x)]
  • د) [f o g](x) = f(x) * g(x)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: [f o g](x) = f[g(x)]

الشرح: تركيب الدالتين f و g، ويرمز له بـ f o g، يعني تطبيق الدالة g أولاً على المدخل x للحصول على g(x)، ثم تطبيق الدالة f على الناتج g(x). لذلك، يكون التعبير الرياضي هو f(g(x)) أو [f o g](x) = f[g(x)].

تلميح: تطبق الدالة الداخلية (g) أولاً على x، ثم تطبق الدالة الخارجية (f) على الناتج.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما تعريف تقاطع مجموعتين في الرياضيات؟

  • أ) هو اتحاد جميع عناصر المجموعتين.
  • ب) هو مجموعة العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين.
  • ج) هو مجموعة العناصر الموجودة في المجموعة الأولى فقط.
  • د) هو عملية طرح عناصر مجموعة من أخرى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو مجموعة العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين.

الشرح: تقاطع مجموعتين A و B، ويرمز له بـ A ∩ B، هو مجموعة جديدة تضم جميع العناصر التي تنتمي إلى A وتنتمي إلى B في نفس الوقت. إذا لم يكن هناك عناصر مشتركة، يكون التقاطع هو المجموعة الخالية.

تلميح: فكر في العناصر التي تنتمي إلى المجموعتين معاً.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما مجال الدالة الناتجة عن قسمة دالتين f(x) و g(x)؟

  • أ) تقاطع مجال f ومجال g فقط، دون أي استثناءات.
  • ب) مجال الدالة f(x) فقط.
  • ج) تقاطع مجال f ومجال g، مع استثناء القيم التي تجعل مقام الدالة g(x) يساوي صفراً.
  • د) مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تقاطع مجال f ومجال g، مع استثناء القيم التي تجعل مقام الدالة g(x) يساوي صفراً.

الشرح: 1. أوجد مجال الدالة الأولى f(x). 2. أوجد مجال الدالة الثانية g(x). 3. مجال الدالة الناتجة عن القسمة (f/g)(x) هو تقاطع هذين المجالين. 4. استبعد من هذا التقاطع أي قيمة لـ x تجعل g(x) = 0، لأن القسمة على الصفر غير معرفة.

تلميح: تذكر شرطين: القيم يجب أن تنتمي لكلا المجالين، ويجب ألا تجعل المقام صفراً.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت f(x) = x² + 7x + 12 و g(x) = 3x - 4، فأوجد (f.g)(x).

  • أ) 3x³ + 21x² + 36x - 48
  • ب) 3x³ + 17x² + 8x - 48
  • ج) x³ + 10x² + 5x - 16
  • د) 3x³ - 4x² + 21x - 28

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3x³ + 17x² + 8x - 48

الشرح: 1. (f.g)(x) = f(x) * g(x) = (x² + 7x + 12)(3x - 4). 2. وزع: (x²)(3x) + (x²)(-4) + (7x)(3x) + (7x)(-4) + (12)(3x) + (12)(-4). 3. بسط: 3x³ - 4x² + 21x² - 28x + 36x - 48. 4. اجمع الحدود المتشابهة: 3x³ + (-4x²+21x²) + (-28x+36x) - 48 = 3x³ + 17x² + 8x - 48.

تلميح: اضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود الأولى في كل حد من حدود كثيرة الحدود الثانية، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الشرط الأساسي ليكون تركيب الدالتين f و g (أي f o g) معرفاً؟

  • أ) يجب أن يكون مجال f ومجال g متطابقين.
  • ب) يجب أن يكون مدى الدالة g مجموعة جزئية من مجال الدالة f.
  • ج) يجب أن تكون كل من f و g دوال خطية.
  • د) لا يوجد شرط، فتركيب أي دالتين ممكن دائماً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يجب أن يكون مدى الدالة g مجموعة جزئية من مجال الدالة f.

الشرح: لتركيب الدالتين f و g، نطبق g أولاً على x. الناتج هو g(x). بعد ذلك، نريد تطبيق f على هذا الناتج. لكي يكون هذا ممكنًا، يجب أن تنتمي جميع قيم g(x) (أي مدى g) إلى مجموعة الأعداد التي تقبلها الدالة f كمدخلات (أي مجال f). لذلك، يجب أن يكون مدى g ⊆ مجال f.

تلميح: لكي نطبق f على نواتج g، يجب أن تقبل f هذه النواتج كمدخلات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب